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標題: 112桃園聯招 [打印本頁]
作者: QBey    時間: 2023-4-22 21:32     標題: 112桃園聯招

112桃園聯招

附件: 桃聯08.數學科-公告試題.pdf (2023-4-22 21:32, 207.33 KB) / 該附件被下載次數 1919
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附件: 桃聯08.數學科-參考解答.pdf (2023-4-22 21:32, 132.09 KB) / 該附件被下載次數 1614
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作者: DavidGuo    時間: 2023-4-23 00:10     標題: 11題答案

第11題答案應改為67
作者: bugmens    時間: 2023-4-23 19:34

9.
一正方形\(ABCD\)，在正方形內一點\(P\)。已知\(\overline{PA}=1\)，\(\overline{PB}=12\)，\(\overline{PC}=17\)，試求正方形面積。

已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點，若\( \overline{AP}=7 \)，\( \overline{BP}=5 \)，\( \overline{CP}=1 \)，試求正方形\(ABCD\)的面積。
(100彰化藝術高中,田中高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973)
作者: Ellipse    時間: 2023-4-24 10:56

引用:
原帖由 bugmens 於 2023-4-23 19:34 發表
9.
一正方形\(ABCD\)，在正方形內一點\(P\)。已知\(\overline{PA}=1\)，\(\overline{PB}=12\)，\(\overline{PC}=17\)，試求正方形面積。

已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點，若\( \overline{AP}=7 \)，\( \overline{BP}=5 \) ...
這題目至少20年前教甄就考過了....
作者: CYC    時間: 2023-4-24 14:59

請問填充第七題
作者: 5pn3gp6    時間: 2023-4-24 17:15

想問填充12

目前思路是分成好幾組，總和為6,12,18,24，然後往下分成千位數字是0,1，再分支成結尾為0,2,4,6,8

不算太難算，因為各組的結果數都在10以下，

但是就是要分成好幾組，我這樣分了31組，最後雖然答案正確，但覺得在考場上分成３１組還要再相加，依我的狀況很有可能會粗心在某個地方。

所以想問問其他解法。

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-4-24 17:17 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2023-4-24 21:18     標題: 回覆 6# 5pn3gp6 的帖子

第 12 題
先計算小於 2000 的有幾個

設此數為 abcd，其中 a，b，c 是 0 到 9 的整數，d 是 0 到 9 的偶數，且不全為 0
(1) d = 0
(i) a = 0，b + c = 6，12，18，有 7 + 7 + 1 = 15 種情形
(ii) a = 1，b + c = 5，11，17，有 6 + 8 + 2 = 16 種情形
計 31 種情形

(2) d = 2
(i) a = 0，b + c = 4，10，16，有 5 + 9 + 3 = 17 種情形
(ii) a = 1，b + c = 3，9，15，有 4 + 10 + 4 = 18 種情形
計 35 種情形

(3) d = 4
(i) a = 0，b + c = 2，8，14，有 3 + 9 + 5 = 17 種情形
(ii) a = 1，b + c = 1，7，13，有 2 + 8 + 6 = 16 種情形
計 33 種情形

(4) d = 6
同  (1)，但多 1 種 b + c = 0 的情形，有 32 種情形

(5) d = 8
同  (2)，有 35 種情形

2000 以上的有 2004 和 2022 這 2 個

所求 = 31 + 35 + 33 + 32 + 35 + 2 = 168 個

[ 本帖最後由 thepiano 於 2023-4-24 21:19 編輯 ]
作者: lisa2lisa02    時間: 2023-4-24 21:24

想問填充1，謝謝
作者: tsusy    時間: 2023-4-24 22:50     標題: 回覆 6# 5pn3gp6 的帖子

填充 12. 花了不少時間，想了一個可能比較好算的作法，但考試時好像沒這麼多時間想

我們先將這樣的正整數補齊四位，如 0024，此時將千位數定為 0、百位數定為 0。
「6的倍數，且每個位數和也是6的倍數」等價於「個位數為偶數，且每個位數和也是6的倍數」

(1) 考慮千位數為 2 的情況，6的倍數有 2004, 2010, 2016, 2022，其中 2004, 2022 兩者符合題意。

(2) 考慮千位數為 0,1，個位數為偶數的情況：
將百位數 b 與十位數 c 之和，模 6 進行分類
當 b=4,5,..,9, c =0,1,2,...9，各同餘類均出現 10 次。
當 b=0,1,2,3, c =4,5,..,9，各同餘類均出現 4 次。
當 b=0,1,2,3, c =0,1,2,3， \( b+c \) 模 6 與 0,1,2,3,4,5 同餘，分別出現 2,2,3,4,3,2 次

故百位數 b 與十位數 c 之和，模 6 的可能：
\( b+c \) 模 6 與 0,1,2,3,4,5 同餘，分別出現 16,16,17,18,17,16 次

因個位數為偶數，故 \( b+c \) 為奇數時必須搭配千位數 1， \( b+c \) 為偶數時必須搭配千位數 0
將千位數記為 a, 故 \( a+b+c \) 模 6 與 0,2,4 同餘，分別出現 32,33,35, 次

\( a+b+c \equiv 0 \) (mod 6) 時，個位數為 0 或 6
\( a+b+c \equiv 2 \) (mod 6) 時，個位數為 4
\( a+b+c \equiv 4 \) (mod 6) 時，個位數為 2 或 8
其中 0000 非正整數。

綜合以上，所求 \( = 2 + 32 \cdot 2 + 33 + 35 \cdot 2 -1 = 168 \)
作者: thepiano    時間: 2023-4-24 22:58     標題: 回覆 8# lisa2lisa02 的帖子

填充第 1 題
令 |z| = k
k(3z + 2i) = 2(iz - 6)
z = (-12 - 2ki) / (3k - 2i)
k^2 = |z|^2 = (144 + 4k^2) / (9k^2 + 4)
|z| = k = 2
作者: 5pn3gp6    時間: 2023-4-25 10:03

引用:
原帖由 CYC 於 2023-4-24 14:59 發表
請問填充第七題
設 \(g(x)=f(x)\cdot (x+1)\)　，在 \(x>0\) 的情況下，我們所要找的就是\(g(x)>k\)恆成立
　
想法是那就找g(x)的最小值。利用導數為0去找。

而解 \(g'(x)=0\) ， 即是解 \(x^2-x\ln (x+1)-\ln (x+1)-1=0\) ，

而不難看出 \(x=-1\) 是個看起來可用的解，但實際上卻不能用，不過可以靠他幫我們因式分解，即得到

解 \((x+1)(x-1-\ln (x+1))=0\)  推得導數為0之處，會有 \(x-1=\ln (x+1)\) ，

接著畫圖找兩圖形 \(y=x-1\text{ and }y=\ln (x+1)\) 的交點，可得到兩點， 取x座標為正的那點，設其x座標為 \(a\)

由圖形也不難推得，\(g'(x)\) 在 \(x=a\) 附近是由負轉正，故 \(g(x)\) 在 \(x=a\) 有最小值。

代x=a 到g(x)中，記得利用 \(a-1=\ln (a+1)\)  ，即可得到 \(g(a)=a+1\)　

而比較 \(x-1\text{ and }\ln (x+1)\) ， 可得\(2-1=1<\ln(2+1)\text{ and }3-1=2>\ln(3+1)\)，故a介於2~3之間

故g(x)在x>0的最小值介於2+1~3+1之間，取k=3

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作者: CYC    時間: 2023-4-25 10:13     標題: 回覆 11# 5pn3gp6 的帖子

謝謝老師回覆
作者: 5pn3gp6    時間: 2023-4-25 12:28

感謝鋼琴老師和寸絲老師回覆第12題

感覺上這類題目 mod 同餘 是很好用的武器。

鋼琴老師的方法雖然看起來也分很多分支，但是 d=0 , d=6 同餘，　d=2,d=8同餘
就已經比我原本的分支省掉非常多計算步驟了

寸絲老師的方法去看b+c模6的分類，也真的是很漂亮的觀察，而且看起來就更簡潔了

謝謝兩位老師

==以下為我的方法==
2000以上的窮舉就好，只有2004和2022

因為是6的倍數，故個位數字必定是偶數，
接下來以各位數之和去分類，然後固定住千位數字和個位數字去計算：

總和為6：
0 _ _ 0 ：7種、　0 _ _ 2 ：5種、　0 _ _ 4 ：3種、　0 _ _ 6 ：1種　；
1 _ _ 0 ：6種、　1 _ _ 2 ：4種、　1 _ _ 4 ：2種　。
共28種

總和為12：
0 _ _ 0 ：7種、　0 _ _ 2 ：9種、　0 _ _ 4 ：9種、　0 _ _ 6 ：7種、　0 _ _ 8 ：5種　；　
1 _ _ 0 ：8種、　1 _ _ 2 ：10種、　1 _ _ 4 ：8種、　1 _ _ 6 ：6種、　1 _ _ 8 ：4種　。　
共73種


總和為18：
0 _ _ 0 ：1種、　0 _ _ 2 ：3種、　0 _ _ 4 ：5種、　0 _ _ 6 ：7種、　0 _ _ 8 ：9種　；　
1 _ _ 0 ：2種、　1 _ _ 2 ：4種、　1 _ _ 4 ：6種、　1 _ _ 6 ：8種、　1 _ _ 8 ：10種　。　
共55種


總和為24： 各數字不能在4以下
0 _ _ 6 ：1種、　0 _ _ 8 ：3種　；　
1 _ _ 6 ：2種、　1 _ _ 8 ：4種　。　
共10種

故共有28+73+55+10+2=168種

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-4-25 12:31 編輯 ]
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-25 14:59     標題: 第8,9,10題

這次桃園只有一個IB缺，缺就是主辦單位的缺，所以可能不想考太難。

第8題是課內的，一般情況用正弦加餘弦即可。
這題更快，用5,12,13與12, 16, 20的直角三角形拼起來，可知三角形面積為\(126\)
所以外接圓半徑為\(\frac{20\times21\times13}{4\times126}=\frac{65}6\)

第9題, 老題目了，


第10題，先分甲乙，再分丙丁，\(C^7_4\times H^4_3=700\)

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-4-25 16:51 編輯 ]

圖片附件: 螢幕擷取畫面 2023-04-25 145843.png (2023-4-25 14:59, 29.04 KB) / 該附件被下載次數 600
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6616&k=428a3d747d2c62d167ceab4bbcb2ff63&t=1714136957

作者: DavidGuo    時間: 2023-4-25 15:05     標題: 第11題

三位數以內的\(H^1_6+H^2_6+H^3_6=36\)種
四位數的，第一位數為1的情況\(H^3_6=28\)種
第一位數為2的，2005, 2014, 2023三種
加起來為67。
作者: tsusy    時間: 2023-4-25 15:08     標題: 回覆 13# 5pn3gp6 的帖子

第12題，我一開做的時候，基本上和鋼琴老師的過程一樣
但想到先前提問時，說分了 31 組，我就不想繼續分類。
然後花了一些時間，才有反過來，用 \( b+c \) 來分類的作法

再看一下，重新改寫成生成函數的寫法

將四位數 abcd 與 \( x^a \cdot x^b \cdot x^c \cdot x^d \) 的形式對應

因此小於 2000的非負整數情況，可以用生成函數
\( f(x) = (1+x)(1+x+^2+\ldots+x^9)(1+x+x^2+\ldots+x^9)(1+x^2+x^4+x^6+x^8) \)
的展開式中，係數表示 \( a+b+c+d \) 之和為冪次的情況數

\( f(x) = (1+x+^2+\ldots+x^9)^3 \)
令 \( \omega = \cos 60^\circ + i \sin 60^\circ \)
則所求為 \( \displaystyle \frac16 \left( f(1) + f(\omega) + f(\omega^2) + f(\omega^3) + f(\omega^4) + f(\omega^5) \right) -1 +2 \)
其中，減 1 為 0000 不合，加 2 為 2004、2022

所求 \( = \displaystyle \frac16 \left( 10^3 + (\omega+\omega^2)^3 + 1^3 + 0 + 1^3 + (\omega^4+\omega^5)^3 \right) + 1\)
\( = \displaystyle \frac16 \left( 1000 + 1 + 1 \right) + 1 = 168\)
其中 \( \omega^4+\omega^5 = -(\omega+\omega^2) \)，因此 \( (\omega^4+\omega^5)^3 + (\omega+\omega^2)^3 =0 \)
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-25 15:13     標題: 第12題

超過1999的話，數字和驟減，不好控制。
所以，我們先看小於等於1999的。跟7樓鋼琴老師一樣。
1999以前6的倍數，依下面的方式分成167組，
{0000,1998},{0006,1992},{0012,1986},…{0996,1002}
上面每一組中的8個數字和皆為27，為奇數。
每組中的兩個數，數字和皆為3的倍數，又數字和為一奇一偶，偶數的那個數，即為數字和為6的倍數。
也就是說167組中，每組恰有一個是我們要的，另一個不是。所以共167個數，但第一組{0000,1998}中0000不是正整數，所以是166個。

超過2000的，一一驗算，只有2004與2022符合所求，
所以答案是166+2=168個。
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-25 15:17     標題: 第貳部份第1題

奇數位和與偶數位和的差最大為(4+5+6+7)-(1+2+3)=16，兩者的差只有可能是-11, 0, 11
但由於1+...+7=28，所以兩者的差必為偶數，也就是只有0的可能。
所以奇數位和=偶數位和=14
只有167,257,347,356這四種情況，
所以方法數為\(4\times 3!\times4!=576\)種
作者: jperica05    時間: 2023-4-30 17:19

請教填充2、6，謝謝～
作者: Drum    時間: 2023-4-30 17:48

想請教第4、5題，謝謝
作者: thepiano    時間: 2023-4-30 19:22     標題: 回覆 20# Drum 的帖子

第 4 題
每個人有 4 種結果
利用排容
4^6 - C(3，1) * 3^6 + C(3，2) * 2^6 - C(3，3)

第 5 題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=33317#p33317
作者: Lopez    時間: 2023-4-30 22:06     標題: 回覆 19# jperica05 的帖子

填充2
設\( \left\{{a}_{n}\right\},\left\{{b}_{n}\right\}\)的公差分別為d , D
\( {S}_{n} = \frac{\left[2{a}_{1} + (n - 1)d\right] \cdot n}{2},{T}_{n} = \frac{\left[2{b}_{1} + (n - 1)D\right] \cdot n}{2}\)
\( \frac{{S}_{n}}{{T}_{n}} = \frac{2{a}_{1} + (n - 1)d}{2{b}_{1} + (n - 1)D} = \frac{2n + 1}{4n - 2}\)
\( \frac{{S}_{1}}{{T}_{1}} = \frac{{a}_{1}}{{b}_{1}} = \frac{3}{2},\mathrm{故可設}{a}_{1} = 3k,{b}_{1} = 2k,\mathrm{其中}k \neq 0\)
\( \frac{{S}_{2}}{{T}_{2}} = \frac{6k + d}{4k + D} = \frac{5}{6}\Rightarrow 5D - 6d = 16k\)
\( \frac{{S}_{3}}{{T}_{3}} = \frac{6k + 2d}{4k + 2D} = \frac{7}{10}\Rightarrow 14D - 20d = 32k\)
32k = 2( 5D - 6d ) = 14D - 20d , 可得 D = 2d
16k = 5D - 6d = 4d , d = 4k
\(\mathrm{求值式} = \frac{{a}_{1} + 9d}{{b}_{1} + 2D + {b}_{1} + 17D} + \frac{{a}_{1} + 10d}{{b}_{1} + 5D + {b}_{1} + 14D} = \frac{2{a}_{1} + 19d}{2{b}_{1} + 19D} = \frac{6k + 19d}{4k + 38d} = \frac{6k + 19 \cdot 4k}{4k + 38 \cdot 4k} = \frac{82k}{156k} = \frac{41}{78} \)
作者: Ellipse    時間: 2023-4-30 22:13

引用:
原帖由 jperica05 於 2023-4-30 17:19 發表
請教填充2、6，謝謝～
#2
b_3+b_18=b_6+b_15=b_1+b_20
所求=(a_10+a_11)/(b_1+b_20)
=(a_1+a_20)/(b_1+b_20)
=(20/2)(a_1+a_20)/[(20/2)(b_1+b_20)]
=S_20/T_20
=(2*20+1)/(4*20-2)
=41/78
作者: jperica05    時間: 2023-4-30 22:56     標題: 回覆 23# Ellipse 的帖子

謝謝Lopez老師和Ellipse老師～～
作者: thepiano    時間: 2023-4-30 23:45     標題: 回覆 19# jperica05 的帖子

第 6 題
| √(x^2 - 2x + 4) - √(x^2 - 10x + 28) |
= | √[(x - 1)^2 + (0 - √3)^2] - √[(x - 5)^2 + (0 - √3)^2] |
視為 x 軸上一點 (x，0) 到 (1，√3) 和 (5，√3) 的距離差

| √(x^2 - 2x + 4) - √(x^2 - 10x + 28) | = 2 的圖形是
雙曲線 (x - 3)^2 - (y - √3)^2/3 = 1 與 x 軸的交點 (3 + √2，0) 和 (3 - √2，0)

-2 < √(x^2 - 2x + 4) - √(x^2 - 10x + 28) < 2 的解集合為 (3 - √2，3 + √2)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2023-4-30 23:52 編輯 ]
作者: Drum    時間: 2023-5-1 10:09     標題: 回覆 21# thepiano 的帖子

謝謝老師解惑



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