標題: 112竹北高中 [打印本頁]

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作者: Superconan    時間: 2023-4-21 22:27     標題: 112竹北高中

感覺最低錄取分數會很高

附件: 附件五 112年數學科試題(公告用).pdf (2023-4-21 22:27, 283.8 KB) / 該附件被下載次數 3317
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6610&k=7ebca78e48838b81589e14c92130a4e9&t=1732279162

附件: 附件六 112年數學科填充題參考答案(公告用).pdf (2023-4-21 22:27, 57.81 KB) / 該附件被下載次數 2681
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6611&k=e3dc57c8c260970d37971251064e8aca&t=1732279162

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作者: bugmens    時間: 2023-4-22 07:55

填充題
6.
已知\(a,b\)皆為正實數，且\(a+b=k\)，則\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\)的最小值為　　　。(答案請以\(k\)表示)
(我的教甄準備之路　\(a+b=1\)求極值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079)

設\(a\)與\(b\)皆為正實數，且\(a+b=s\)。
(1)試求出\(ab\)的最大值(以\(s\)表示)。
(2)若\(s=2\)，試求出\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\)的最小值。
(3)若\(s=2\sqrt{6}\)，試求出\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\)的最小值。
(110高中數學能力競賽第五區筆試一，https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)

5.
已知\(x,y,z\)滿足聯立方程式：\(\cases{log_4 x+log_8(yz)=2\cr log_4 y+log_8(xz)=4 \cr log_4 z+log_8(xy)=5}\)，且\(xyz=2^k\)，則\(k=\)　　　。

7.
\(x^{100}\)除以\(x^3+x^2+x\)的餘式為　　　。

計算證明題
2.
坐標空間中有兩不相交直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}
{1}\)，\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-2}{-1}\)。另一直線\(L_3\)與\(L_1\)、\(L_2\)皆相交且垂直。若\(P\)、\(Q\)兩點分別在\(L_1\)、\(L_2\)上且與\(L_3\)之距離分別為\(4\sqrt{3}\)及\(5\sqrt{2}\)，則\(\overline{PQ}=\)　　　。

坐標空間中有兩不相交直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}
{1}\)，\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-2}{-1}\)。另一直線\(L_3\)與\(L_1\)、\(L_2\)皆相交且垂直。若\(P\)、\(Q\)兩點分別在\(L_1\)、\(L_2\)上且與\(L_3\)之距離分別為\(3\sqrt{2}\)及\(2\sqrt{3}\)，則\(\overline{PQ}=\)　　　。
(112高雄中學，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3727&page=2#pid24686)

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作者: EnenBall    時間: 2023-4-22 15:40

想問填充8、10，謝謝老師

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作者: thepiano    時間: 2023-4-22 17:32

第 8 題
已知\(P(8,0)\)是圓\(C\)：\(x^2+y^2=144\)內部一點，\(A\)、\(B\)分別為圓上的點，且滿足\(\angle APB=90^{\circ}\)，試求所有\(\overline{AB}\)中點\(M\)所形成的軌跡圖形所滿足的方程式為　　　。
[提示]
M(x，y)
利用 PM^2 = AM^2 = OA^2 - OM^2
(x - 8)^2 + y^2 = 144 - (x^2 + y^2)
......

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作者: tsusy    時間: 2023-4-22 20:26     標題: 回覆 3# EnenBall 的帖子

第 10 題
已知方程式\(3|\;|\;x-\sqrt{3}y|\;-8|\;+|\;|\;\sqrt{3}x+y|\;-18|\;=72\)在平面上定義了一個由若干線段所構成的封閉曲線\(\Gamma\)，以原點為中心，將\(\Gamma\)逆時針旋轉\(60^{\circ}\)可得封閉曲線\(\Gamma'\)，則封閉曲線\(\Gamma'\)所包圍的面積為　　　。
[解答]
將坐標軸順時針旋轉 \( 60^{\circ} \)，令 \( x'=\frac{x-\sqrt{3}y}{2}, y'=\frac{\sqrt{3}x+y}{2} \)。

則 \( 3||2x'|-8|+2|2|y'|-18|=72\Leftrightarrow3||x'|-4|+2||y'|-9|=36 \)。

考慮其在第一象限之情形，即假設 \( x'\ge0, y'\ge0 \)，化簡得

\( 3|x'-4|+2|y'-9|=36 \)，其在第一象限所圍圖形為一五邊形，頂點分別為 \( (0,0),(0,21),(4,27),(16,9),(10,0) \)

在第一象限所圍面積為 \( 16\cdot27-\frac{1}{2}\cdot(4\cdot6+12\cdot18+6\cdot9)=285 \)。

由對稱性可得 \( \Gamma \) 為圍面積為 \( 285\cdot4=1140 \)。

而旋轉面積不變，故 \( \Gamma' \) 所圍面積亦為 \( 1140 \)。

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作者: CYC    時間: 2023-4-24 12:52

請問填充第九題

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作者: CYC    時間: 2023-4-24 13:19

計算
2.  3根號7 or 根號143
3.  3/4

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作者: tsusy    時間: 2023-4-24 21:54     標題: 回覆 6# CYC 的帖子

填充 9.
空間中有一平面\(E\)及兩不在平面\(E\)上的固定點\(A\)、\(B\)，其中\(\overline{AB}\)長為10，\(\overline{AB}\)與平面\(E\)平行且距離為6。設平面\(E\)上有一單位圓，其上有兩動點\(P\)、\(Q\)，則四面體\(ABPQ\)的最大體積為　　　。
[解答]
令 \( L \) 為直線 \( AB \) 在平面 \( E \) 上的投影，\( C \) 為 \( L \) 和直線 \( PQ \) 的交點。

四面體體積 \( =\frac{1}{6}|\begin{vmatrix}\vec{PB}\\
\vec{PA}\\
\vec{PQ}
\end{vmatrix}|=\frac{1}{6}|\begin{vmatrix}\vec{PB}-\vec{PC}\\
\vec{PA}-\vec{PC}\\
\vec{PQ}
\end{vmatrix}|=\frac{1}{6}|\begin{vmatrix}\vec{CB}\\
\vec{CA}\\
\vec{PQ}
\end{vmatrix}|\le\frac{1}{6}|\vec{CB}\times\vec{CA}|\cdot\overline{PQ}=\frac{1}{6}\cdot10\cdot6\cdot\overline{PQ}\le20 \)。

當 \( \vec{AB}\perp\vec{PQ} \) 且 \( \overline{PQ}=2 \) 時，有最大值 20。

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作者: CYC    時間: 2023-4-25 09:56

謝謝寸絲老師回覆

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作者: a5385928    時間: 2023-4-26 17:49

想請問一下填充第六題

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作者: thepiano    時間: 2023-4-26 20:05

第 6 題
已知\(a,b\)皆為正實數，且\(a+b=k\)，則\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\)的最小值為　　　。(答案請以\(k\)表示)
[解答]
(a + 1/a)(b + 1/b)
= ab + 1/(ab) + b/a + a/b
= ab + 1/(ab) + (a^2 + b^2)/(ab)
= ab + 1/(ab) + [(a + b)^2 - 2ab]/(ab)
= ab + (k^2 + 1)/(ab)  - 2
≧ 2√(k^2 + 1) - 2

k ≧ √(8 + 4√5) ，這題才會是這個答案

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作者: DavidGuo    時間: 2023-4-26 22:48     標題: 第7題

\(x^{100}\)除以\(x^3+x^2+x\)的餘式為　　　。
[解答]
因為\(x^{99}\)除以\(x^2+x+1\)餘\(1\)，
所以\(x^{100}\)除以\(x^3+x^2+x\)餘\(x\)。

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作者: coco0128    時間: 2023-9-9 21:30

您好
想請問填充1，謝謝

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作者: thepiano    時間: 2023-9-10 10:27     標題: 回覆 13# coco0128 的帖子

填充第 1 題
今有1~10十個數，任取3個相異數，最大和最小差距大於5的機率為　　　。
[解答]
恰差 6，(最小，最大) = (1，7)、(2，8)、(3，9)、(4，10)，有 5 * 4  種
恰差 7，有 6 * 3 種
恰差 8，有 7 * 2 種
恰差 9，有 8 * 1 種

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