Math Pro 數學補給站

標題: 112武陵高中 [打印本頁]

作者: craig100 時間: 2023-4-17 08:41 標題: 112武陵高中

終於公告了....，但填充題只有25分，剩下要靠大家了～

我印象中有一題，
a_0 >= a_1 >= ... >= a_n >= 0
求證，若 a_0x^n+.....+a_{n-1}x + a_n = 0 有複數根 z，
則 |z|=1

附件: 112武陵高中填充題.pdf (2023-4-17 08:43, 98.5 KB) / 該附件被下載次數 4089
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6601&k=755e1fd8a0b9b1d62e00666d30d461ab&t=1732558571

作者: Ellipse 時間: 2023-4-17 09:28

引用:

原帖由 craig100 於 2023-4-17 08:41 發表
終於公告了....，但填充題只有25分，剩下要靠大家了～

我印象中有一題，
a_0 >= a_1 >= ... >= a_n >= 0
求證，若 a_0x^n+.....+a_{n-1}x + a_0 = 0 有複數根 z，
則 |z|=1 ...

填五
這題不就跟110全國聯招單選2 一樣?
連數據都不改(描述方式幾乎一樣)
這出題老師真的很敢...

作者: mojary 時間: 2023-4-17 10:06 標題: 其中一題為玫瑰花

媽媽要求小明前往花園摘取最美的玫瑰花，在花園裡共有僅僅的八朵玫瑰花，有最醜的1分到最美的8分。
花園只有一條路，且玫瑰花沒有依照美醜順序，但只能摘一朵，且摘了之後，如果發現後面還有更美的，
則不能進行更換，因此，
小明內心已經擁有一套策略，
知道如何摘取最美的玫瑰花，
此策略為，一開始路過的三朵，直接省略不摘，將之當為範例，
往後若有發現比先前的更美的，將摘下後回家，即便遇到，後續還有更美的，也不進行更換。
試問，此策略小明能順利將最美的玫瑰花摘回家的機率是？

題意大概是這樣.....敬請見諒。

作者: thepiano 時間: 2023-4-17 10:25 標題: 回覆 3# mojary 的帖子

前年新竹的西瓜變成今年桃園的玫瑰花了

作者: craig100 時間: 2023-4-17 10:40

2.
已知函數\(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})+2x^2+x}{2x^2+cosx}\)有最大值\(M\)，最小值\(m\)，則\(M+m\)的值=　　　
[解答]
整理後得到 1+ (x+sinx)/(2x^2+cosx)
設 g(x)=(x+sinx)/(2x^2+cosx)
最大值設為 g(a)，由奇偶性，最小值發生在 g(-a) = -g(a)

所求 M+m = 1+g(a) + 1-g(a) = 2

作者: mojary 時間: 2023-4-17 20:41 標題: 謝謝鋼琴老師

西瓜變成玫瑰花

110新竹高中路徑

作者: bugmens 時間: 2023-4-25 15:39

1.
\(\displaystyle \int_0^2 \lim_{n\to \infty}\frac{(2-x)(x+x^n)}{1+x^n}dx=\)　　　。
99彰化女中，99中正預校，解答在http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=10#p4039

3.
設\(z\)為一複數，若\(z\)是方程式\(x^5+x^4+1=0\)的根，試求滿足\(|\;z|\;=1\)的所有根之和=　　　。

5.
甲、乙、丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有　　　種不同的傳球方法。

甲乙丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有幾種不同的傳球方法？
(A)156　(B)258　(C)342　(D)514
(110全國高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3530&page=1#pid23123)

作者: 5pn3gp6 時間: 2023-4-25 23:48

幫朋友問
好像有一題是複數的，大致上是長這樣：
==
三完全相異的複數\(z_1,z_2,z_3\)，且\(\displaystyle |z_1|=|z_2|=|z_3|=1，\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}=1\)，
若\(a,b,c\)皆為實數，則\(|az_1+bz_2+cz_3|=?\)
==

想要問這一題，或者看有沒有老師對這題還有印象，可以補完題目

作者: thepiano 時間: 2023-4-26 07:48 標題: 回覆 8# 5pn3gp6 的帖子

這題跟今年師大附中的填充第 7 題一樣
原題出自 1999 年大陸的全國高中數學聯賽
z_1、z_2、z_3 應該非完全相異

為打字方便，把 z_1、z_2、z_3 分別以 p、q、r 表示，其共軛複數分別是 p'、q'、r'

p/q + q/r + r/p = (p/q + q/r + r/p)' = (p/q)' + (q/r)' + (r/p)' = p'/q' + q'/r' + r'/p'

|p| = |q| = |r| = 1
p' = 1/p、q' = 1/q、r' = 1/r 代入上式可得
p/q + q/r + r/p = q/p + r/q + p/r
同乘以 pqr
p^2r + q^2p + r^2q = q^2r + r^2p + p^2q
(p - q)(q - r)(r - p) = 0
p = q 或 q = r 或 r = p

若 p = q
1 + p/r + r/p = 1
r/p = ±i

|ap + bq + cr| = |p||a + b ± ci| = √[(a + b)^2 + c^2]

同理
若 q = r，|ap + bq + cr| = √[(b + c)^2 + a^2]
若 r = p，|ap + bq + cr| = √[(c + a)^2 + b^2]

作者: DavidGuo 時間: 2023-4-26 22:25 標題: 第一題

1.
\(\displaystyle \int_0^2 \lim_{n\to \infty}\frac{(2-x)(x+x^n)}{1+x^n}dx=\int_0^1(2x-x^2)dx+\int_1^2 (2-x)dx=\frac23+\frac12=\frac76\)
因為\(\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{(2-x)(x+x^n)}{1+x^n}=\begin{cases}
(2-x)x & x\in[0,1) \\
1 & x=1\\
(2-x) & x\in(1,2]
\end{cases}=\begin{cases}
(2-x)x & x\in[0,1] \\
(2-x) & x\in[1,2]
\end{cases}\)
\(x=1\)另外處理，剛好連續，但其實沒差，即使不連續也可以用瑕積分。

作者: 5pn3gp6 時間: 2023-4-27 15:21 標題: 回覆 9# thepiano 的帖子

感謝老師解題

作者: jperica05 時間: 2023-4-27 22:11 標題: 請問第4題

想請問第4題該如何做？謝謝！

作者: thepiano 時間: 2023-4-27 22:37 標題: 回覆 12# jperica05 的帖子

第 4 題
已知\(a\)為整數，且\(f(x)=x^3+x\)，對任意實數\(x\)，\(f(ax^2+1)>f(ax)\)皆成立，則滿足上述條件的\(a\)有　　　個。
[解答]
f(x) = x^3 + x

(1) a = 0
f(1) > f(0) 成立

(2) a 不為 0
由於 f(x) 嚴格遞增
ax^2 + 1 > ax
ax^2 - ax + 1 > 0
a > 0 且（-a)^2 - 4a < 0
0 < a < 4

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0