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標題: 112台中一中 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2023-4-15 14:45 標題: 112台中一中

112台中一中教甄數學科試題及答案

附件: 112中一中教甄數學科答案卷.pdf (2023-4-15 14:45, 255.97 KB) / 該附件被下載次數 2847
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作者: peter0210 時間: 2023-4-15 17:34

第11題
設方程式\(x^3-4x+1=0\)的三個相異複數根為\(a,b,c\)，則\(\displaystyle \frac{a+1}{(a-1)^4}+\frac{b+1}{(b-1)^4}+\frac{c+1}{(c-1)^4}\)之值為　　　。
[解答]

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作者: g112 時間: 2023-4-15 18:39

想請問14和15 謝謝各位老師

作者: peter0210 時間: 2023-4-15 19:40

第14題
設坐標平面上有兩定點\(A(2,3)\)，\(B(-9,6)\)。若點\(P\)為圓\(\Gamma\)：\(x^2+y^2=52\)上之動點，則\(3\overline{PA}-2\overline{PB}\)之最小值為　　　。
[解答]
抱歉最後一行筆誤
應為3(PA線段-PC線段)>=3*-AC線段

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作者: Ellipse 時間: 2023-4-15 20:35

引用:

原帖由 g112 於 2023-4-15 18:39 發表
想請問14和15 謝謝各位老師

#15
設\(\displaystyle A=\sum_{k=1000}^{3375}\frac{1}{\root 3\of{k}}\)，則\(A\)四捨五入至小數點後第一位的近似值為　　　。
[解答]
由範圍解可知所求
A 四捨五入至小數點後第一位的近似值為187.6

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作者: anyway13 時間: 2023-4-15 20:46 標題: 請問第2題

版上老師好
請問第二題要怎麼做阿? 一直湊不出來實在弄太久了

作者: g112 時間: 2023-4-15 20:50

引用:

原帖由 anyway13 於 2023-4-15 20:46 發表
版上老師好
請問第二題要怎麼做阿? 一直湊不出來實在弄太久了

2.
設實數\(\alpha\)、\(\beta\)滿足\(\cases{\alpha^3-6\alpha^2+13\alpha=6\cr \beta^3-6\beta^2+13\beta=14}\)，則\(\alpha+\beta\)的值為　　　。
[解答]
先把兩個都換成x-2的多項式
(a-2)^3+(a-2)+4=0
(b-2)^3+(b-2)-4=0
再兩個相加就差不多出來了

作者: Ellipse 時間: 2023-4-15 21:04

引用:

原帖由 anyway13 於 2023-4-15 20:46 發表
版上老師好
請問第二題要怎麼做阿? 一直湊不出來實在弄太久了

2.
設實數\(\alpha\)、\(\beta\)滿足\(\cases{\alpha^3-6\alpha^2+13\alpha=6\cr \beta^3-6\beta^2+13\beta=14}\)，則\(\alpha+\beta\)的值為　　　。
[解答]
令f(x)=(x-2)^3+(x-2)+10
f(x)的反曲點為(2,10)
且(α,6)與(β,14)對稱於(2,10)
所以α+β =2*2=4

作者: peter0210 時間: 2023-4-15 21:07

第7題
將2023個點\(P_1\)、\(P_2\)、\(\ldots\)、\(P_{2023}\)依序排在一直線上，並使得\(P_k\)與\(P_{k+1}\)兩點的距離為\(\displaystyle \frac{1}{k}\)，其中\(k=1,2,3,\ldots,2022\)，則從這2023個點中，任取兩點的所有距離總和為　　　。
[解答]

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作者: anyway13 時間: 2023-4-15 21:35 標題: 回覆 4# peter0210 的帖子

老師可以麻煩請您再講詳細一點嗎? 請問為什麼知道2PB=3PC

還有最後一個式子3PA-2PB=3(PA-PB)好像不相等ㄟ可是您的答案對的

作者: anyway13 時間: 2023-4-15 21:37 標題: 感謝g112和Ellipse老師

謝謝兩位老師了解了

作者: peter0210 時間: 2023-4-15 21:49

第12題
設\(a\)為正整數，且使得方程式\(\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}=a\)有實數解，則所有\(a\)之總和為　　　。
[解答]

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作者: thepiano 時間: 2023-4-15 22:09 標題: 回覆 3# g112 的帖子

第 14 題
設坐標平面上有兩定點\(A(2,3)\)，\(B(-9,6)\)。若點\(P\)為圓\(\Gamma\)：\(x^2+y^2=52\)上之動點，則\(3\overline{PA}-2\overline{PB}\)之最小值為　　　。
[解答]
OP = 2√13，OB = 3√13
在圓內找一點 C，使 △POB 和 △COP 相似
PC = (2/3)PB

-AC ≦ PA - PC ≦ AC
在 OB 上取一點 C，使 OC = (2/3)OP = (4/9)OB，易知 C(-4，8/3)
再取直線 AC 與圓在第一象限的交點為 P
此時 3PA - 2PB = 3[PA - (2/3)PB] = 3(PA - PC) = -3AC = -5√13 為最小值

作者: cut6997 時間: 2023-4-15 22:41 標題: 回覆 2# peter0210 的帖子

老師您好，想請問11題倒數第二步的f'(t)/f(t)如何得到後面結果?
我只會用根與系數再藉由餘式定理求得

作者: peter0210 時間: 2023-4-16 09:33

第13題
設\(F_1\)、\(F_2\)為雙曲線\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)之兩焦點，\(F_1\)在\(F_2\)之左側，\(P\)在雙曲線\(\Gamma\)上，且\(P\)、\(F_1\)、\(F_2\)不共線。若\(G\)、\(I\)分別為\(\Delta PF_1F_2\)之重心與內心，且直線\(\overline{GI}\)垂直\(x\)軸，則\(\Delta PF_1F_2\)的內切圓半徑為　　　。

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作者: farmer 時間: 2023-4-16 12:58

這想法主要是找看看是否存在這樣的C點使原本那個圓上的任意P點都滿足2PB=3PC，
(使原本的圓與滿足2PB=3PC的P點形成的阿波羅尼斯圓是同一個，這需要數據配合才能做到)
若存在這樣的C點，把它找到之後就可以把倍數轉換成一樣(3倍)，
而一樣倍數(3倍)提出後形成兩線段(PA與PC)之差，
由三角不等式可得最大或最小值。
而這類題目都會設計成存在這樣的C點。

引用:

原帖由 anyway13 於 2023-4-15 21:35 發表
老師可以麻煩請您再講詳細一點嗎? 請問為什麼知道2PB=3PC

還有最後一個式子3PA-2PB=3(PA-PB)好像不相等ㄟ可是您的答案對的

作者: peter0210 時間: 2023-4-16 13:23

第8題
有一四角錐\(A-BCDE\)，底面\(BCDE\)為正方形，且\(\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{AE}\)，若四角錐\(A-BCDE\)的表面積總和為96平方單位，則四角錐\(A-BCDE\)的體積最大值為　　　立方單位。
[解答]

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作者: farmer 時間: 2023-4-16 14:01

查詢"牛頓恆等式長除法"
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/% ... 6%E7%AD%89%E5%BC%8F
在推證k階牛頓恆等式(k小於等於n)的過程中，所使用的一個方法技巧。

引用:

原帖由 cut6997 於 2023-4-15 22:41 發表
老師您好，想請問11題倒數第二步的f'(t)/f(t)如何得到後面結果?
我只會用根與系數再藉由餘式定理求得

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=6590&k=a47882e54d9fc8466b1d482ea985bb3e&t=1714689753

作者: anyway13 時間: 2023-4-16 16:53 標題: 回覆 16# farmer 的帖子

謝謝farmer老師的熱心補充

作者: anyway13 時間: 2023-4-16 17:16 標題: 回覆 15# peter0210 的帖子

請問老師一下為什麼 s/3=a 呢? 程度有差可否進一步協助說明

作者: peter0210 時間: 2023-4-16 19:34

可參考本篇
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1311174906.A.506.html

作者: anyway13 時間: 2023-4-16 19:59 標題: 回覆 21# peter0210 的帖子

原來還有這個性質謝謝老師
不足的地方得趕快學起來

作者: sda966101 時間: 2023-4-17 09:52 標題: 想問第3題

想問第3題

作者: Ellipse 時間: 2023-4-17 10:08

引用:

原帖由 sda966101 於 2023-4-17 09:52 發表
想問第3題

(α-β)²+ 4(β-γ)² =0
整理後可知向量α-β 與向量β-γ互相垂直
且|α-β|=4 ,所以|β-γ|=2
所求=4*2/2=4

作者: s7908155 時間: 2023-4-17 19:48

想問第五題和第六題

作者: anyway13 時間: 2023-4-17 20:44 標題: 第6題請參考

已知方程式\(x^4+x=-1\)的四根為\(a,b,c,d\)，則\((a^2-3)(b^2-3)(c^2-3)(d^2-3)\)的值為　　　。
[解答]
請參考第五題用暴力法就不現醜了

附件: 第6題.pdf (2023-4-17 20:44, 103.6 KB) / 該附件被下載次數 872
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6604&k=6ca9bcef57e4a74e2efd81e903f74dbd&t=1714689753

作者: yosong 時間: 2023-4-17 20:46 標題: 回覆 25# s7908155 的帖子

第五題
設\(n\in N\)，\(\displaystyle f(n)=\left(\frac{4}{5}\right)^n(n^2+4n)\)，則使\(f(n)\)為最大的\(n\)為　　　。
[解答]
解 [f(n+1)/f(n)]<1 應該就可以得到n,因為要找到在哪一項開始遞減

第六題
已知方程式\(x^4+x=-1\)的四根為\(a,b,c,d\)，則\((a^2-3)(b^2-3)(c^2-3)(d^2-3)\)的值為　　　。
[解答]
令四根為a,b,c,d 再令f(x)=x^4+x+1=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
將(a^2-3)=(a+√3)(a-√3) 拆解其他三個比照辦理
所求即為 f(√3)f(-√3)=(10+√3)(10-√3)=97

作者: thepiano 時間: 2023-4-17 21:15 標題: 回覆 25# s7908155 的帖子

第 5 題
設\(n\in N\)，\(\displaystyle f(n)=\left(\frac{4}{5}\right)^n(n^2+4n)\)，則使\(f(n)\)為最大的\(n\)為　　　。
[提示]
f(n) > f(n + 1) 且 f(n) > f(n - 1)

作者: enlighten0626 時間: 2023-4-19 22:36 標題: 回覆 5# Ellipse 的帖子

請問這是用到什麼樣的數學概念？

作者: wenyu 時間: 2023-4-19 23:07

14題
設坐標平面上有兩定點\(A(2,3)\)，\(B(-9,6)\)。若點\(P\)為圓\(\Gamma\)：\(x^2+y^2=52\)上之動點，則\(3\overline{PA}-2\overline{PB}\)之最小值為　　　。
[解答]

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作者: DavidGuo 時間: 2023-4-26 21:23 標題: 第15題

引用:

原帖由 g112 於 2023-4-15 18:39 發表
想請問14和15 謝謝各位老師

15.
設\(\displaystyle A=\sum_{k=1000}^{3375}\frac{1}{\root 3\of{k}}\)，則\(A\)四捨五入至小數點後第一位的近似值為　　　。
[解答]
15題是大學微積分的，像integral test的證明的方法。
因為\(\displaystyle\frac1{\sqrt[3]{x}}\)為遞減函數
所以\(\displaystyle\int_{1000}^{3375}\frac1{\sqrt[3]{x}}dx+\frac1{15}<A<\int_{1000}^{3375}\frac1{\sqrt[3]{x}}dx+\frac1{10}\)
其中積分\(\displaystyle\int_{1000}^{3375}\frac1{\sqrt[3]{x}}dx=187.5\)
因此
上界：\(187.5+\frac1{10}=187.6\)。
下界：\(187.5+\frac1{15}>187.5666\)
所以答案為\(187.6\)。

作者: Ellipse 時間: 2023-4-26 22:09

引用:

原帖由 enlighten0626 於 2023-4-19 22:36 發表
請問這是用到什麼樣的數學概念？

用黎曼和積分與上矩形,下矩形面積和的大小不等式比較,來估計所求範圍
那個上矩形,下矩形面積和,我有設計過都可以用手算出來
只不過有點懶,直接用Mathematica算

作者: a5385928 時間: 2023-5-11 11:04 標題: 回覆 20# anyway13 的帖子

我也對這個很困惑，不過幸運的在網路上找到解釋了，分享一下
https://zhuanlan.zhihu.com/p/585883053

作者: a5385928 時間: 2023-5-11 20:10

分享一下第六題

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作者: mojary 時間: 2024-2-7 11:00 標題: 分享一下第十題

設四面體\(O-ABC\)，底面為邊長12的正三角形\(\Delta ABC\)，且\(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\)，令\(O\)在\(\Delta ABC\)的投影點為\(H\)，\(\overline{OH}=6\)，又\(A\)在側面\(\Delta OBC\)的投影點為\(K\)，於\(\overline{AK}\)上取一點\(P\)，使得\(\overline{AP}:\overline{PK}=5:1\)。若過\(P\)點有一平面\(E\)與底面\(\Delta ABC\)平行，則平面\(E\)與四面體\(O-ABC\)所截圖形之面積為　　　。
[解答]
架設坐標
\(B=(0,0,0)\)、\(C=(12,0,0)\)、\(A=(6,6\sqrt{3} ,0)\)
因為\(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}  \)
能有\(H=(6,2\sqrt{3},0) \)
又 \(\overline{OH}=6\)，得\(O=(6,2\sqrt{3},6)\)
平面\( \bigtriangleup ABC  \)：\(  3y-\sqrt{3}z=0 \)
利用投影點公式，得\( K=(6,{\large\frac{3\sqrt{3} }{2}} ,{\large\frac{9}{2}})  \)
\(\overline{AP}：\overline{PK}=5：1 \)利用內分點公式，找到\(P=(6,{\large\frac{9\sqrt{3} }{4}} ,{\large\frac{15}{4}}) \)
由於點P到\( xy \)平面的高度為\({\large\frac{15}{4}}  \)
所以點O到所求所截出來的面的高度為\({\large\frac{9}{4}}  \)
\(\Rightarrow {\large\frac{9}{4}}  \)：\(\overline{OH} \)＝\( 3 \)：\( 8 \)

因此所求的截面積與底面\( \bigtriangleup ABC  \)的比為
\(邊長^{2}比＝面積比 \)
\(3^{2}：8^{2}＝所求截面積：36\sqrt{3} \)
所求截面積＝\( \Large\frac{81\sqrt{3}}{16}  \)

作者: royan0837 時間: 2024-2-20 14:49

請教填充第九題

作者: tsusy 時間: 2024-2-20 15:42 標題: 回覆 36# royan0837 的帖子

填充 9.
\([x]\)定義為小於或等於\(x\)的最大整數，則\(\displaystyle \left[\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{2}{3}\right]+\left[\frac{2^2}{3}\right]+\left[\frac{2^3}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{2^{2023}}{3}\right]\)的個位數字為　　　。
[解答]
注意到 \( n \in \mathbb N \cup \{ 0 \} \) 時，

\( 2^{2n} \equiv 1 \)  (mod 3), \( 2^{2n+1} \equiv 2 \) (mod 3)

故有 \( \displaystyle \left[\frac{1}{3}\right] + \left[\frac{2}{3}\right] + \left[\frac{2^2}{3}\right] + \cdots \left[\frac{2^{2023}}{3}\right] = \frac{1 + 2 + 2^2 + \cdots  + 2^{2023} - 1012 - 1012 \cdot 2}{3} = \frac{2^{2024} - 3037}{3} \)

令 \(  \displaystyle A = \frac{2^{2024} - 3037}{3} \)

則 \( 3A = 2^{2024} - 3037 \equiv 2^4 -3037 \equiv 6 - 3037 \equiv 9 \) (mod 10)
( \( 2^n \) 模 10，每四項一個循環)

\( \Rightarrow A \equiv 21A = 7 \cdot 3A \equiv 7 \cdot 9 = 63 \equiv 3 \) (mod 10)

故所求個位數字即為 3 (A 除以 10 所得之餘數，即其個位數)。

作者: Hawlee 時間: 2024-4-11 17:56

請問第八題除了三角函數+拉格朗日算子求極值外有沒有其他更簡潔的方法?

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