Board logo

標題: 109台中一中數理資優 [打印本頁]

作者: byron0729    時間: 2023-1-13 10:47     標題: 109台中一中數理資優

想詢問各位老師12和16題,感謝指導~~

附件: 109-數理資優試題卷-數學_公告版_.pdf (2023-1-13 10:47, 471.26 KB) / 該附件被下載次數 986
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6516&k=be5bdd9f5585f64332f94bc5111aff1f&t=1713574050
作者: s7908155    時間: 2023-1-13 13:04

12.
設\(n\)是正整數且使得\((31.5)^n+(32.5)^n\)為正整數,則所有可能值\(n\)的總和為   
[提示]
考慮(32+0.5)^n+(32-0.5)^n
作者: satsuki931000    時間: 2023-1-13 19:24

12.
設\(n\)是正整數且使得\((31.5)^n+(32.5)^n\)為正整數,則所有可能值\(n\)的總和為   
[解答]
有錯還請指教
\(\displaystyle (32+\frac{1}{2})^n+(32-\frac{1}{2})^n\),易知\(n\)為奇數
利用二項式定理化簡展開
可得\(\displaystyle 2\cdot 32^n +2\ C^n_{2} (\frac{1}{2})^2 \cdot 32^{n-2}+\cdots +2\ C^n_{n-1} (\frac{1}{2})^{n-1} \cdot 32\)

可知\(\displaystyle 2\times (\frac{1}{2})^{n-1} \cdot 32 \in \mathbb{N} \Rightarrow n-1<6 \Rightarrow n<7 \)
取\(n=1,3,5\),總和9

1/17 更正
感謝cut6997老師的指正
作者: satsuki931000    時間: 2023-1-13 19:38

16.
求方程式\(\sqrt{2x^2+x+5}+\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x^2-3x+13}\)的所有實數解(根)之和為   。(化為最簡分數)
[解答]
令\(\displaystyle A=\sqrt{2x^2+x+5}, B=\sqrt{x^2+x+1}\)
原式=\(\displaystyle A+B=\sqrt{4A^2-7B^2}\)
\(\Rightarrow \displaystyle 3A^2-2AB-8B^2=0\)
\(\Rightarrow  \displaystyle (3A+4B)(A-2B)=0\)
\(\Rightarrow  \displaystyle A=2B \ or   A=\frac{4}{-3}B\) (後者不合)
利用\(\displaystyle A=2B \Rightarrow 2x^2+x+5=4x^2+4x+4 \Rightarrow 2x^2+3x-1=0\)
所求兩實根和為\(\displaystyle \frac{-3}{2}\)
作者: cut6997    時間: 2023-1-17 07:03     標題: 回覆 3# satsuki931000 的帖子

尾項應是 2C(n,1)*0.5^(n-1)*32,得n=7




歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0