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標題: 111臺中女中 [打印本頁]

作者: Jimmy92888 時間: 2022-6-18 17:23 標題: 111臺中女中

學校公告的試題與解答

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作者: bugmens 時間: 2022-6-18 17:52

2.
\(\Delta ABC\)中，令\(\overline{BC}=a\)，\(\overline{AC}=b\)，\(\overline{AB}=c\)。若\(a,b,c\)成等差，試求\(\displaystyle tan\frac{A}{2}\cdot tan\frac{C}{2}\)之值。

\(\Delta ABC\)中，\(\overline{BC}=a,\overline{AC}=b,\overline{AB}=c\)，若\(a\)、\(b\)、\(c\)成等差數列，則\(\displaystyle tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}=\)　　　。
(105鳳山高中，https://math.pro/db/thread-2511-1-1.html)

16.
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^6}\sum_{k=1}^n [(n^2+nk+k^2)(n+k)^3]=\)　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

作者: 5pn3gp6 時間: 2022-6-18 22:36

計算3
考慮一系列方程式\(x-1=0\)、\(x^2-x-1=0\)、\(x^3-x^2-x-1=0\)、\(\ldots\)、\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)、\(\ldots\)，若已知：對任意正整數\(k\)，方程式\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)都恰有一個正實根。
(1)設方程式\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)的唯一正實根為\(\alpha_k\)(\(k\)為任意正整數)，試證：無窮數列\(\langle\;\alpha_k\rangle\;\)為收斂數列。
(2)試證\(\displaystyle \lim_{k\to \infty}\alpha_k=2\)。
[解答]
\(x^k-x^{k-1}-......-x-1=x^k-(x^{k-1}+......+x+1)=x^k-\frac{x^k-1}{x-1}=\frac{x^{k+1}-2x^k+1}{x-1}\)
所以\(\alpha_k\)為\(x^{k+1}-2x^k+1=0\)的一個正根。

設
\(f_k(x)=x^{k+1}-2x^k+1\)
\(f_k^\prime(x)=(k+1)x^{k}-2kx^{k-1}=(k+1)x^{k-1}(x-(2-\frac{2}{k+1}))\)
則\(f_k(x)\)在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)遞減，在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)遞增
且\(f_k(0)=1,\;f_k(1)=0,\;f_k(2)=1\)

注意到當k>1時，
\(1<2-\frac{2}{k+1}<2\)

因為\(f_k(x)\)在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)遞減且\(f_k(0)=1,\;f_k(1)=0,\)
所以在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)，\(f_k(x)=0\)恰有一根，即為1。

同時，因為\(f_k(x)\)在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)遞增且\(f_k(1)=0,\;f_k(2)=1,\)
所以在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)，\(f_k(x)=0\)恰有一根，此根必為\(\alpha_k\)，且
\(2-\frac{2}{k+1}<\alpha_k<2\)
同取極限，即可得極限值為2。

作者: peter0210 時間: 2022-6-19 10:33

計算一
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(D\)在\(\overline{BC}\)上且\(E\)在\(\overline{AD}\)上，若\(\angle BED=2\angle CED=\angle A\)，求證：\(\overline{BD}=2\overline{CD}\)。
[解答]

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作者: Superconan 時間: 2022-6-19 17:10

填充第 6 題
可以將 AC 分別與 AB, AD 內積以後，得到聯立方程式去解 x, y。
但是這樣有點暴力，想請問有沒有漂亮一點的方法？

作者: PDEMAN 時間: 2022-6-19 17:31 標題: 回覆 5# Superconan 的帖子

填充6.
已知\(ABCD\)為圓內接四邊形，且\(\overline{AB}=2\)、\(\overline{BC}=3\)、\(\overline{CD}=4\)、\(\overline{AD}=4\)，若\(\vec{AC}=x\vec{AB}+y\vec{AD}\)，則\(x-y\)之值為　　　。
[解答]
令\(E\)為線段\(BD\)和\(AC\)的交點
由線段\(AE\):線段\(CE\)\(=2\times 4:3\times 4=2:3\)
線段\(BE\):線段\(DE\)\(=2\times 3:4\times 4=3:8\)
推得向量\(AE=\frac{3}{11}\)向量\(AE+\frac{8}{11}\)向量\(AB\)和向量\(AE=\frac{2}{5}\)向量\(AC\)
向量\(AC=\frac{5}{2}(\frac{3}{11}AD+\frac{8}{11}AB)\)
最後整理一下即可算出

作者: Superconan 時間: 2022-6-19 19:07

填充第 11 題
一圓周上有六個等分點按順時針順序依次記為\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)。考慮如下遊戲：開始時將一石子放在出發點\(A\)，令投擲一骰子，若擲出偶數點，則石子順時針前進兩個等分點；若出現奇數點，則石子順時針前進一個等分點。當石子恰好停在\(A\)點時，則遊戲結束。試問遊戲結束時，石子恰繞圓兩圈的機率為　　　。

請問這樣算，錯在哪？

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作者: PDEMAN 時間: 2022-6-19 19:18 標題: 回覆 7# Superconan 的帖子

您第一圈有包含踩到A點就結束了。
要考慮先採到F點，跨過A點踩到B點回到A點，
所以方法數為\((C_{2}^{3}(\frac{1}{2})^3+C_{1}^{4}(\frac{1}{2})^4+(\frac{1}{2})^5)^2\times\frac{1}{2}\)

作者: Superconan 時間: 2022-6-19 21:54

填充第 15 題
設\(x,y,z\)為實數，且滿足\(\cases{-2\le x+y+2z\le 3\cr -3\le 　y+2z\le 1\cr -4\le x+2y+5z\le 3}\)。當\((x,y,z)=(p,q,r)\)時，\(2x-3y-8z\)有最大值為\(m\)，則序組\((p,q,r,m)=\)　　　。

請問這樣算，有辦法求 p, q, r 嗎？

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作者: PDEMAN 時間: 2022-6-19 22:02 標題: 回覆 9# Superconan 的帖子

您不是求出來了嗎?
當有最大值時，\(x+y+2z=3,y+2z=-3,x+2y+5z=-4\)解出來就可以了!

作者: Superconan 時間: 2022-6-19 23:33 標題: 回覆 10# PDEMAN 的帖子

啊，太白癡了，感謝。
那請問這題還有別的方法嗎？

作者: Superconan 時間: 2022-6-20 10:14

供考生參考

圖片附件: 4考生初試成績直方圖.png (2022-6-20 10:14, 60.91 KB) / 該附件被下載次數 1566
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附件: 111學年度第二次教師甄選數學科初試成績公告.pdf (2022-6-20 10:14, 70.43 KB) / 該附件被下載次數 1450
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作者: Gary 時間: 2022-6-23 16:02 標題: 想問一下第17題謝謝

作者: PDEMAN 時間: 2022-6-23 18:34 標題: 回覆 13# Gary 的帖子

填充17.
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為正實數且\(a+b^2+c^4=28\)，\(abc=64\)，則\(a+b+c=\)　　　。
[解答]
由算幾不等式知\(\displaystyle \frac{8\frac{a}{8}+4\frac{b^2}{4}+2\frac{c^4}{2}}{14}\geq \sqrt[14]{\frac{a^8 b^8 c^8}{2^{34}}}\)
剛好會等號成立得\(\displaystyle \frac{a}{8}=\frac{b^2}{4}=\frac{c^4}{2}\)
再帶回題目即可求出

作者: anyway13 時間: 2022-7-5 00:56 標題: 請教填充4

板上老師好請問第四題的柯西不等式要怎麼˙算呢?

應該是想問說 P點到點到AD 、 DH 、CD三邊的距離不是各個(EX:平面HCD)平面上的高

求指點關係式?

作者: PDEMAN 時間: 2022-7-5 07:24 標題: 回覆 15# anyway13 的帖子

填充4.
在長方體\(ABCD-EFGH\)中，\(P\)點為\(ACH\)平面上的一點，若\(\overline{AD}=12\)、\(\overline{DH}=6\)、\(\overline{CD}=6\)，設\(P\)點到\(\overline{AD}\)、\(\overline{DH}\)、\(\overline{CD}\)三邊的距離分別為\(d_1\)、\(d_2\)、\(d_3\)，則\(d_1^2+d_2^2+d_3^2\)的最小值為　　　。
[解答]
由題目可知半平面\(ACP\)為\(\frac{x}{12}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1\)。
令\(p(x,y,z)\) 則\(d_1=\sqrt{y^2+z^2},d_2=\sqrt{x^2+y^2},d_3=\sqrt{x^2+z^2}\)
這時就可用柯西，
\((d_1^2+d_2^2+d_3^2)(\frac{1}{2}+2+2)\geq(x+2y+2z)^2 \Rightarrow d_1^2+d_2^2+d_2^2\geq 32\)
當\(\frac{\sqrt{2}x}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}y}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}z}{\sqrt{2}}\)時，有最小值。

作者: anyway13 時間: 2022-7-5 17:16 標題: 回覆 16# PDEMAN 的帖子

謝謝PDEMAN老師詳細解說

作者: enlighten0626 時間: 2022-7-29 12:14 標題: 回覆 4# peter0210 的帖子

請問角ＡＢＥ＝角ＣＡＥ是題目少給的條件還是應該要如何推論出來？

作者: Lopez 時間: 2022-7-30 00:39 標題: 回覆 18# enlighten0626 的帖子

∠ABE + ∠BAE = ∠BED = ∠A = ∠CAE + ∠BAE
因此 ∠ABE=∠CAE

作者: enlighten0626 時間: 2022-8-1 11:12 標題: 回覆 19# Lopez 的帖子

謝謝老師解惑

作者: koeagle 時間: 2022-9-20 23:29

想請教填充1，謝謝。

作者: thepiano 時間: 2022-9-21 07:39 標題: 回覆 21# koeagle 的帖子

填充第 1 題
某家蛋捲店有五種口味的蛋捲，分別為原味、抹茶、巧克力、芝麻與咖啡五種；購買時以兩包為一組裝成禮盒，這兩包口味可以一樣，也可以不同。某人想同時買三盒禮盒，試問他有　　　種組合方式。
[解答]
有 H(5，2) = 15 種不同禮盒
所求 = H(15，3)

作者: koeagle 時間: 2022-9-21 09:32 標題: 回覆 22# thepiano 的帖子

謝謝 thepiano 老師。

作者: jackyxul4 時間: 2023-11-9 09:32 標題: 回覆 11# Superconan 的帖子

填充15.
設\(x,y,z\)為實數，且滿足\(\cases{-2\le x+y+2z\le 3\cr -3\le 　y+2z\le 1\cr -4\le x+2y+5z\le 3}\)。當\((x,y,z)=(p,q,r)\)時，\(2x-3y-8z\)有最大值為\(m\)，則序組\((p,q,r,m)=\)　　　。
[提示]
有其他的作法，但是我想你沒有電腦的情況下不會想用

把這題當作空間版的線性規劃

滿足題目條件的區域是平行六面體，把8個頂點解聯立算出來，再把頂點代入求最大最小值

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