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標題: 111香山高中 [打印本頁]

作者: Sandy 時間: 2022-6-11 23:07 標題: 111香山高中

如題

1110613更新公告:
有關本校111學年度教師甄選初試試題：
一、高中部英文科第28題：作答C或作答D，或同時作答CD者皆給分。
二、高中部數學科第14題答案原公告C，經更正該題為送分。
以上皆於成績查詢系統完成更正。
https://www.hhjh.hc.edu.tw/nss/m ... te&static=false

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作者: bugmens 時間: 2022-6-12 07:53

11.
試問\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\)？
(A)0　(B)1　(C)2　(D)3　(E)4
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

13.
設\(n\)為正整數，如果二次函數\( y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1 \)的圖形與\(x\)軸交於二點\( A_n \)、\( B_n \)，令線段\( \overline{A_nB_n} \)之長為\( L_n \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}L_n= \)？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{4}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)　(E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)

設\( y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1 \)( \( n \in N \) )之圖形與\(x\)軸交於\( A_n \)與\( B_n \)兩點，若\( \overline{A_nB_n} \)之長為\( l_n \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}l_n \)之和為？
(101台中女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=2#pid5463)
連結有解答

作者: Ellipse 時間: 2022-6-12 11:49

選3
3.
試問方程組\(\cases{sin^2x+cos^2y=y^2\cr sin^2y+cos^2x=x^2}\)的所有實數對解\((x,y)\)共有幾組？
(A)3　(B)4　(C)6　(D)8　(E)9
[解答]
比較不嚴謹的解法~
(sinx)² +(cosy)² =y² --------(1)
(siny)² +(cosx)² =x² --------(2)
(1)+(2)得x²+y²=2-------(3)
又令x=y代入(1)得(2)
令x=-y代入(2)得(1)
所以其解符合x=y-----(4) ,x=-y-----(5)
由(3)&(4)&(5)畫圖可知有四個交點
(註:還需說明沒有其他解存在)

圖片附件: 1655005410711.jpg (2022-6-12 11:49, 102.48 KB) / 該附件被下載次數 2585
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6417&k=7f2ac53ec20fbfe9f84ef10e26f85bc3&t=1732276845

作者: Ellipse 時間: 2022-6-12 12:52

選14:
已知\(a\)為整數，且\(0\le x,y,z\le 2\pi\)，試問滿足方程式\(a(cos2x+cos2y+cos2z)+2(1-a)(cosx+cosy+cosz)=9a-6\)的實數解\((x,y,z)\)共有幾組？
(A)1　(B)2　(C)3　(D)4　(E)5
[解答]
我覺得他選項出錯了
光是當a=1時,代入原式
得cos(2x)+cos(2y)+cos(2z)=3
cos(2x)=1,cos(2y)=1,cos(2z)=1
x,y,z=0°或180°
在這a=1情況下,(x,y,z)就會有8組解------(*)

作者: godofsong 時間: 2022-6-12 14:26

想請教第8題跟第15題，謝謝
其中，第15題的(m,n)我只有解出(6,5)、(5,6)兩組解，不知第三個解是？

作者: Ellipse 時間: 2022-6-12 14:58

引用:

原帖由 godofsong 於 2022-6-12 14:26 發表
想請教第8題跟第15題，謝謝
其中，第15題的(m,n)我只有解出(6,5)、(5,6)兩組解，不知第三個解是？

選8:
\(\Delta ABC\)中，若三邊長\(a,b,c\)分別是\(\angle A,\angle B,\angle C\)的對邊，且\(a,b,c\)成等差數列，則\(\displaystyle tan\frac{A}{2}\cdot tan\frac{C}{2}\)的值為何？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{4}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)　(E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
[解答]
是考古題
假設圓I 是△ABC的內切圓,r為內切圓半徑
D,E,F分別是圓I在BC,CA,AB的切點
令AF=AE=x,BD=BF=y,CD=CE=z
因為a.b.c成等差,所以x+z=2y------------(1)
tan(A/2)*tan(C/2)=r² /(xz) -------------(2)
又r²=△² /s² =(x+y+z)(xyz)/ (x+y+z)² =(xyz)/ (x+y+z)
[△表示△ABC面積,s=(a+b+c)/2=x+y+z ]
代入(2)得所求=y/ (x+y+z) =y/ [y+(x+z)] =y/3y= 1/3 (by(1))

作者: thepiano 時間: 2022-6-12 17:31 標題: 回覆 5# godofsong 的帖子

第 15 題
還有一組解 (4，4)

作者: huangcy1217 時間: 2022-6-13 10:47 標題: 多選4 (C)

已知\(\displaystyle z_1=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},z_2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\)，則\(z_1^{101}+z_2^{101}=\)？
(A)\(-1\)　(B)\(-i\)　(C)1　(D)\(i\)　(E)2

若f(x)= -x^2 -2
g(x)= abs(x) / x

在x=0 是否為反例, 故此選項為錯誤.

請教各位老師. 謝謝

作者: ChuCH 時間: 2022-6-13 10:53 標題: 回覆 8# huangcy1217 的帖子

若有問題可以提疑義，但疑義時間簡章沒給.....

作者: godofsong 時間: 2022-6-13 15:04

謝謝鋼琴老師解惑！
今天更新公告，單選14題送分！
謝謝橢圓老師的例子

作者: Harris 時間: 2022-6-15 00:03 標題: 回覆 5# godofsong 的帖子

想請問15題
目前只想到
m^2-4n=p^2
n^2-4m=q^2
(m+2)^2-(n+2)^2=p^2-q^2
此外便無其他想法了，請問該如何求出(6,5)與(5,6)兩解？

作者: thepiano 時間: 2022-6-15 05:40 標題: 回覆 11# Harris 的帖子

第 15 題
試問滿足\(m^2-4n\)及\(n^2-4m\)皆為完全平方數的正整數解對\((m,n)\)共有幾組？
(A)1　(B)2　(C)3　(D)4　(E)5
[解答]
m^2 - 4n 和 n^2 - 4m 都是完全平方數

(1) 當 m < 5，僅有 (m，n) = (4，4) 一解

(2) 當 m ≧ 5
m^2 - 4m - (m - 3)^2 = 2m - 9 > 0
m^2 - 4m > (m - 3)^2

不失一般性，設 m ≧ n
m^2 > m^2 - 4n ≧ m^2 - 4m > (m - 3)^2

(i) m^2 - 4n = (m - 1)^2
2m - 4n = 2(m - 2n) = 1，不合

(ii) m^2 - 4n = (m - 2)^2
m - n = 1
n^2 - 4m = n^2 - 4(n + 1) = (n - 2)^2 - 8 = t^2
(n + t - 2)(n - t - 2) = 8
n = 5，m = 6

故有 (m，n) = (6，5)、(5，6)、(4，4) 三解

作者: Harris 時間: 2022-6-15 10:30 標題: 回覆 12# thepiano 的帖子

原來如此，關於不等式的處理我想需要再細品細品。
謝謝老師回應！

作者: pad1214 時間: 2022-6-15 13:41

請問多選4(D)選項
f(x)=2x²,g(x)=x²就是反例對不對？
當x≠0時，f(x)>g(x)
但x→0時，f(x)=g(x)

但是總覺得怪怪的
這個情況在x不等於0時候f都大於g，
就算x無限靠近0，但x還是不為0呀
為什麼此時卻變成相等了？
是我極限的概念沒學好嗎？
求解釋謝謝

作者: Lopez 時間: 2022-6-15 22:46 標題: 回覆 14# pad1214 的帖子

作者: jackyxul4 時間: 2022-6-20 10:48 標題: 回覆 15# Lopez 的帖子

這題"想考"的數學觀念的確如此，不過我認為這題更大的問題是

f,g兩個函數的極限沒先定義存在性

如果極限都不存在了，那還怎麼比較?

作者: Lopez 時間: 2022-6-20 14:48 標題: 回覆 16# jackyxul4 的帖子

若可找到滿足D選項前二句...f<g,但極限不存在的反例,自然無法比較,
故D選項不一定成立,題目本身沒問題.

作者: jackyxul4 時間: 2022-6-21 20:37 標題: 回覆 17# Lopez 的帖子

所以我認為C選項是有問題的
CD兩個選項應該都要定義才是C對D錯
沒定義兩者皆錯

作者: anyway13 時間: 2022-6-30 18:22 標題: 選3

版上老師好選3 是不是要問整數對解有幾個阿實數解不是有無窮多個嗎?

作者: thepiano 時間: 2022-7-1 06:58 標題: 回覆 19# anyway13 的帖子

圖長這樣
第一式是紅色，第二式是綠色

圖片附件: 20220701.jpg (2022-7-1 06:58, 65.54 KB) / 該附件被下載次數 1224
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6430&k=9ac0105b1bc4852d8441611622e7560c&t=1732276845

作者: anyway13 時間: 2022-7-1 19:59 標題: 回覆 20# thepiano 的帖子

原來是這樣阿我把題目想簡單了謝謝鋼琴老師

作者: ㄨㄅㄒ 時間: 2022-7-8 13:43

老師們想請問多選5

作者: PDEMAN 時間: 2022-7-8 13:54 標題: 回覆 22# ㄨㄅㄒ的帖子

已知實數\(a,b,c\)滿足條件\(a=\sqrt{2}+b\)，且\(2ab+2\sqrt{2}c^2+1=0\)，試問下列何者正確？
(A)\(\displaystyle a=\frac{-\sqrt{2}}{2}\)　(B)\(\displaystyle a=\frac{\sqrt{2}}{2}\)　(C)\(\displaystyle b=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)　(D)\(\displaystyle b=\frac{\sqrt{2}}{2}\)　(E)\(a+b+c=0\)
[解答]
將\(a=\sqrt{2}+b\)代入 \(2ab+2\sqrt{2}c^2+1=0\)
得到\(2(b^2+\sqrt{2}b+\frac{1}{2})+2\sqrt{2}c^2=0\)
在配方得到\(2(b+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+2\sqrt{2}c^2=0\)
所以\(b=-\frac{\sqrt{2}}{2},c=0\)
最後檢查選項即可

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