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標題: 111建功高中國中部 [打印本頁]
作者: thepiano    時間: 2022-5-30 22:30     標題: 111建功高中國中部

請參考附件

官方只有公布題目，沒有答案

參考答案是小弟隨意寫的，有錯請指正

其中第二部份第 4 題出得不好，其實會有無限多組解

附件: 111 建功高中國中部.pdf (2022-5-30 22:30, 649.32 KB) / 該附件被下載次數 2837
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https://math.pro/db/attachment.php?aid=6399&k=83d66d2b4f47ab9bfee0402f8791fa15&t=1714044680
作者: ChuCH    時間: 2022-5-31 17:17

請教第二部分填充2.5.7
作者: bugmens    時間: 2022-5-31 18:08

填充第二部分
4.
假設：\(\displaystyle \frac{3^2-1^2}{1\times 2\times 3}+\frac{4^2-2^2}{2\times 3\times 4}+\frac{5^2-3^2}{3\times 4\times 5}+\ldots+\frac{111^2-109^2}{109\times 110\times 111}=a-\frac{1}{b}-\frac{2}{c}\)，則\(a+b+c=\)　　　。
[解答]
\(\displaystyle \sum_{k=2}^{110}\frac{(k+1)^2-(k-1)^2}{(k-1)k(k+1)}=\sum_{k=2}^{110}\frac{4k}{(k-1)k(k+1)}=\sum_{k=2}^{110}\frac{4}{(k-1)(k+1)}=2\sum_{k=2}^{110}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right)\)
作者: thepiano    時間: 2022-5-31 20:35     標題: 回覆 2# ChuCH 的帖子

第 2 部份
第 2 題
\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(\angle A=40^{\circ}\)，且\(P\)為\(\overline{AB}\)邊上的一點使得\(\angle APC=120^{\circ}\)，則\(\displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{BC}}=\)　　　。
[解答]
令 BC = 1，所求為 AP
∠A = 40 度，∠B = 70 度，∠BPC = 60 度，∠ACP = 20 度

以下度省略
PC / sin70 = 1 / sin60
PC / sin40 = AP / sin20

AP * sin40 / sin20 = sin70 / sin60
AP = (sin70 * sin20) / (sin40 * sin60) = (cos20 * sin20) / (2sin20cos20 * sin60) = √3 / 3


第 5 題
已知三角形三個高分別為\(\sqrt{7}\)、\(\sqrt{5}\)、\(h\)，若\(h\)的範圍為\(a<h<b\)，則\(a+b=\)　　　。
[解答]
設三邊分別為 x，y，z
√7x = √5y = hz
x：y：z = 1/√7：1/√5：1/h

1/√5 - 1/√7 ＜ 1/h ＜ 1/√5 + 1/√7
1 / (1/√5 + 1/√7) ＜ h ＜ 1 / (1/√5 - 1/√7)
(7√5 - 5√7) / 2 ＜ h ＜ (7√5 + 5√7) / 2

a + b = 7√5


第 7 題
兩圓分別為\(C_1\)：\(x^2+y^2=25\)與\(C_2\)：\((x-10)^2+y^2=4\)，已知此二圓有四條公切線，其中兩條之斜率為正，且其交角為\(\theta\)，則\(sin\theta\)之值為　　　。
[解答]
設公切線為 y = ax + b，其中 a ＞ 0，b ＜ 0
| b | / √(a^2 + 1) = 5，| 10a + b | / √(a^2 + 1) = 2

解以下方程
(- b) / √(a^2 + 1) = 5，(10a + b) / √(a^2 + 1) = 2
(- b) / √(a^2 + 1) = 5，- (10a + b) / √(a^2 + 1) = 2

可得兩公切線為 y = (7/√51)x - (50/√51) 和 y = (3/√91)x - (50/√91)

tanθ = (7/√51 - 3/√91) / [ 1 + (7/√51)(3/√91)] = (7√91 - 3√51) / (√51 * √91 + 21)

sinθ =  (7√91 - 3√51) / 100
作者: pollens    時間: 2022-5-31 20:52

想請問第一大題第10題
因為a，b皆大於1，所以-1/4應該不合？
還是我想錯了？
謝謝
作者: thepiano    時間: 2022-5-31 21:03     標題: 回覆 5# pollens 的帖子

對，小弟疏忽了
作者: pollens    時間: 2022-5-31 21:06

謝謝鋼琴老師熱情分享喔^_____^
作者: chen3553    時間: 2022-5-31 22:28

想請教第一部份的3及第二部分的1
作者: Harris    時間: 2022-5-31 23:22     標題: 回覆 8# chen3553 的帖子

第一部分的3
已知\(36a^2+6a+1=0\)，求\(\displaystyle (6a)^{10}+\frac{1}{(6a)^7}=\)　　　。
[解答]
令t=6a，t^2+t+1=0，解得t=-1+-√3i/2
所求=t^10+t^-7用隸美弗定理即可求出。

第二部分的1
三個半徑為1的圓切於扇形內且彼此外切，試求此扇形的半徑=　　　。
[解答]
假設扇形圓心O，三小圓心A、B、C（由上開始逆時針編號），BC中點M
觀察出扇形圓心角60度，角BOA=15度，r=OB+1=OM*sec15度+1剩下交給你！

另外想問第二部分3、8以及計算題2。
作者: tsusy    時間: 2022-6-1 07:38     標題: 回覆 9# Harris 的帖子

第二部分填充3.
疫情影響，學校教職員分流上班(部分教職員居家辦公，部分到校辦公)，考慮一周五個工作天，若學校希望教務主任及2位組長，3人每天至少有2人到校辦公，每人當周最多3 天居家辦公(其中最多連續 2 天)，則 3 人的居家辦公安排方式共　　　種。
[解答]
先考慮每天至少2人到校辦公，居家辦公的人選為3人其中之一或無人居家
故有 \( 4^5 = 1024 \) 種

其中會有不符合題意的情況：有人居家辦公 4 天、5天或連續居家辦公 3天
示意如 AAAAX, AAAAA, AAAXX,...
說明AAAAX 表示 A 連續四天居家辦公，第五天X為非A或沒人居家辦公

因此不合的有 \( (C^5_4 \times 3 + C^5_5 + 3 \times 3^2) \times 3 = 129\)
故所求 \( =1024 - 129 = 895 \)
作者: tsusy    時間: 2022-6-1 07:51     標題: 回覆 9# Harris 的帖子

計算 2.
已知對於每一個正整數\(n\)，有\(a_n>0\)且\(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^3=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2\)，試證：\(a_n=n\)。
[解答]
以數學歸納法證明 \( a_n = n \) 均成立。
當 \( n=1 \) 時，易得  \( a_1 = 1 \)

假設 \( n \le k \) 時，\( a_n = n \) 均成立，其中 \( k \) 為某正整數

將左式記作 \( L_n \), 右式記作 \( R_n \)

則當 \( n = k+1 \)  時
\( L_{k+1} - L_{k} = R_{k+1} - R_{k} \)
\( \Rightarrow a_{k+1}^3 = a_{k+1} (a_{k+1} + n(n+1)) \)
\( \Rightarrow a_{k+1}(a_{k+1} - k-1)(a_{k+1}+k) = 0 \)
因 \( a_{k+1} > 0 \)，故 \( a_{k+1} = k+1 \)

由數學歸納法得，\( a_n = n \) 對所有正整數 \( n \) 均成立
作者: thepiano    時間: 2022-6-1 07:53     標題: 回覆 9# Harris 的帖子

第二部分 第 8 題
現有編號1、2、3、…、9的卡片9張，甲從其中任選3張，乙再從剩下的卡片選3張，並且依下列規則比大小：
第一回合：兩人手中最大號碼的卡片比較數字大小；
第二回合：兩人手中第二大號碼的卡片比較數字大小；
第三回合：兩人手中最小號碼的卡片比較數字大小；
每回合數字大者該回合獲勝，三回合獲勝較多者為贏家。則甲有兩回合獲勝的情況有　　　種。
[解答]
從 9 張牌中取 6 張牌有 C(9，6) = 84 種方法
3 張給甲，3 張給乙

取出的 6 張牌可由小到大排列

設取出的 6 張牌為 1、2、3、4、5、6
有以下 5 種情形，甲有兩回合獲勝

甲：6、5、1
乙：4、3、2

甲：6、4、1
乙：5、3、2

甲：6、3、2
乙：5、4、1

甲：5、4、3
乙：6、2、1

甲：5、4、2
乙：6、3、1

所求 = 84 * 5 = 420
作者: Harris    時間: 2022-6-1 09:08     標題: 回覆 12# thepiano 的帖子

看來我排組需要再加強，謝謝兩位老師的回應
作者: tsusy    時間: 2022-6-1 10:42     標題: 回覆 12# thepiano 的帖子

第二部分，第 8 題，這裡我覺得有趣的地方是
甲三回合獲勝、二回合獲勝、一回合獲勝、零回點獲勝的情況數是一樣多的
也就全部情況數四分之一，即 \( C^9_3C^6_3\cdot \frac14 = 420\)
作者: chen3553    時間: 2022-6-1 10:51     標題: 回覆 9# Harris 的帖子

謝謝解惑~
考試太急忘了連一次項的6a一起處理
作者: Superconan    時間: 2022-8-7 12:35

請教填充第二部分的第 6 題
作者: tsusy    時間: 2022-8-7 17:07     標題: 回覆 16# Superconan 的帖子

第二部分，第6題
已知\(\Delta ADO\)、\(\Delta OBC\)皆為正三角形，\(\overline{AO}=2\)、\(\overline{BO}=4\)且\(D\)、\(O\)、\(B\)三點共線，\(M\)、\(N\)、\(P\)分別為\(\overline{AO}\)、\(\overline{BO}\)、\(\overline{DC}\)中點，則\(\Delta MNP\)面積=　　　。
[解答]
先將三角形切成三個部分，再利用共用底邊、共用高或共用頂角的方式及線段長比，計算面積比

\( \triangle OMN+\triangle ONP+\triangle OPM \)
\( =\frac{1}{4}\triangle OAB+\frac{1}{3}\triangle PBD+\frac{1}{6}\triangle PCA \)
\( =\frac{1}{4}\triangle OAB+\frac{1}{6}\triangle CBD+\frac{1}{12}\triangle DCA \)
\( =\frac{1}{4}\cdot2\sqrt{3}+\frac{1}{6}\cdot6\sqrt{3}+\frac{1}{12}\cdot3\sqrt{3}=\frac{7}{4}\sqrt{3} \)
作者: Lopez    時間: 2022-8-7 17:36     標題: 回覆 16# Superconan 的帖子

填充第二部分的第 6 題
已知\(\Delta ADO\)、\(\Delta OBC\)皆為正三角形，\(\overline{AO}=2\)、\(\overline{BO}=4\)且\(D\)、\(O\)、\(B\)三點共線，\(M\)、\(N\)、\(P\)分別為\(\overline{AO}\)、\(\overline{BO}\)、\(\overline{DC}\)中點，則\(\Delta MNP\)面積=　　　。
另解
作者: Superconan    時間: 2022-8-7 18:43     標題: 回覆 17# tsusy 的帖子

謝謝！看懂了！
不過想請問最後的面積，是用 1/2 ab sinθ 算出來的嗎？（聽說這題好像國中生就可以解
作者: tsusy    時間: 2022-8-7 21:44     標題: 回覆 19# Superconan 的帖子

角度到處都是 60°, 120°，國中生畫個高，也是可以算

樓樓上坐標、向量做起來超快
作者: thepiano    時間: 2022-8-7 23:37     標題: 回覆 19# Superconan 的帖子

第二部分的第 6 題
已知\(\Delta ADO\)、\(\Delta OBC\)皆為正三角形，\(\overline{AO}=2\)、\(\overline{BO}=4\)且\(D\)、\(O\)、\(B\)三點共線，\(M\)、\(N\)、\(P\)分別為\(\overline{AO}\)、\(\overline{BO}\)、\(\overline{DC}\)中點，則\(\Delta MNP\)面積=　　　。
[解答]
國中生的作法
取 OC 中點 Q，OD 中點 R
OM = RM = QP = 1，ON = RP = QN = 2 ，∠MON =  ∠MRP =  ∠PQN = 120 度
△MON、△MRP、△PQN 全等
△MPN 是正三角形
再算出邊長 √7，就有面積了



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