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標題: 111新北市高中聯招 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2022-5-7 14:49 標題: 111新北市高中聯招

　

附件: 111新北市高中聯招題目.pdf (2022-5-7 14:49, 538.98 KB) / 該附件被下載次數 4418
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附件: 111新北市高中聯招答案.pdf (2022-5-7 14:49, 312.23 KB) / 該附件被下載次數 3752
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6350&k=62c8c0a2fbdcf9cb6193ea448b509324&t=1714056708

作者: bugmens 時間: 2022-5-7 14:49

2.
已知\(\overline{AC}\)為半圓之直徑，若將弧\(AB\)沿弦\(\overline{AB}\)往下折使其跟\(\overline{AC}\)相交於\(D\)點且\(\overline{AD}=9\)，\(\overline{DC}=7\)，則\(\overline{AB}\)的長度為何？

作者: Gary 時間: 2022-5-8 09:04 標題: 可以問一下填充6、7、10嗎?感謝

作者: satsuki931000 時間: 2022-5-8 10:50 標題: 回復 3# Gary 的帖子

借串問一下第2題，小弟幾何真的爛到極點.............

10. 不確定能不能這樣寫姑且還是打出來接受一下檢驗

原式等同 \(\displaystyle cos^2\ X+cos^2\ Y +cos^2\ Z\)的最小值，且\(X+Y+Z=0\)

整串式子經過整理化簡後，可得

\(\displaystyle 1+2\ cos^2X\ cos^2Y-\frac{1}{2}\sin\ 2X sin\ 2Y\)

之後用二倍角和和差化積
整理成:\(\displaystyle cos^2 \ Z +cos\ (X-Y)\ cosZ +1\)

易猜的出來等號成立在\(\displaystyle cos(X-Y)=\pm 1\)的時候

如果\(\displaystyle cos(X-Y)= 1 \Rightarrow cos^2 Z+cos\ Z+1 \geq \frac{3}{4}\)，此時取\(\displaystyle Z=\frac{2\pi}{3}\)

如果\(\displaystyle cos(X-Y)= -1 \Rightarrow cos^2 Z-cos\ Z+1 \geq \frac{3}{4}\)，此時取\(\displaystyle Z=\frac{\pi}{3}\)

所以所求的最小值為\(\displaystyle \frac{3}{4}\)

作者: Gary 時間: 2022-5-8 11:14 標題: 回復 4# satsuki931000 的帖子

第二題
架設座標系

圖片附件: E7BA9D8A-96A6-4FA5-B726-6044C035D016.jpeg (2022-5-8 11:14, 902.72 KB) / 該附件被下載次數 1726
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作者: lisa2lisa02 時間: 2022-5-8 11:41 標題: 回復 3# Gary 的帖子

填充10 不知道這樣寫ok嗎?請版上老師們幫忙指點
也想一同詢問填充4的作法

圖片附件: 2333867.jpg (2022-5-8 21:25, 296.33 KB) / 該附件被下載次數 2028
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作者: cyxhola 時間: 2022-5-8 11:49

版上的老師們好，想請教填充的5,8,9題
謝謝解惑！

作者: Gary 時間: 2022-5-8 11:50 標題: 回復 6# lisa2lisa02 的帖子

牛頓插值法

圖片附件: 89202C78-49B1-4E75-80B4-2A1B978C666E.jpeg (2022-5-8 11:50, 635.44 KB) / 該附件被下載次數 1822
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作者: Gary 時間: 2022-5-8 11:53 標題: 回復 7# cyxhola 的帖子

第八題
根與係數
然後這題我看錯題目⋯⋯昨天寫不出來⋯⋯

圖片附件: 4E79A363-C340-46C9-B3A8-74F68CC1BBBF.jpeg (2022-5-8 11:53, 472.15 KB) / 該附件被下載次數 1756
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作者: PDEMAN 時間: 2022-5-8 11:53 標題: 回復 6# lisa2lisa02 的帖子

填充4 另解
\(f(15)=-15,f(22)=-23,f(29)=-31,f(36)=t\)
令\(h(x)=f(x+15)\)，四點用插值，可寫出
\(h(x)=-15c^{x}_{0}-\frac{8c^{x}_{1}}{7}+\frac{0c^{x}_{2}}{7^2}+\frac{(t+39)c^{x}_{3}}{7^3}\)
最後因為首項係數為1
所以\(\displaystyle \frac{(t+39)}{3!7^3}=1\)
可以求出\(t\)

作者: satsuki931000 時間: 2022-5-8 11:57

9.所求為\(x+2y-2=0\)上除了(2,0)的一點，到(0,0)，(-1,0)的距離和最小值
接下來就是基本的講義題型了

作者: satsuki931000 時間: 2022-5-8 12:01

5. 先求\(\displaystyle y=e^{e^x}+1\)的反函數\(\displaystyle f(x+1)=ln\ ln(x-1)\)

之後再平移就好，得\(\displaystyle f(x)=ln\ ln(x-2)\)

作者: Gary 時間: 2022-5-8 12:01 標題: 回復 7# cyxhola 的帖子

第九題
解z

圖片附件: BFD4C5EC-5D1D-46A3-80FB-FB8D19AAA955.jpeg (2022-5-8 12:01, 610.69 KB) / 該附件被下載次數 946
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作者: Gary 時間: 2022-5-8 12:03 標題: 回復 12# satsuki931000 的帖子

我有加絕對值應該不會算我錯吧⋯⋯

作者: leilei 時間: 2022-5-8 12:46

版上的老師們好，想問填充的6、7題
謝謝解惑！

作者: firzenf04 時間: 2022-5-8 14:20 標題: 回復 15# leilei 的帖子

填充第六題
正面硬算

圖片附件: 第六題.png (2022-5-8 14:25, 28 KB) / 該附件被下載次數 1020
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6358&k=15f3bc1c4a4f9fef1ac4485e2ad1b528&t=1714056708

作者: DavidGuo 時間: 2022-5-8 14:29

引用:

原帖由 leilei 於 2022-5-8 12:46 發表
版上的老師們好，想問填充的6、7題
謝謝解惑！

第6題，可以看成成宇集\(U=\{1,2,3,4\}\)，而\(A,B,C⊆U\)，且兩兩交集非空。
於是將\(A,B,C\)與\(U\)彼此的關係畫成文氏圖，即可看成將\(1,2,3,4\)填入此文氏圖的8個區域內，然後兩兩交集的地方都要非空。
可以慢慢討論。比較快一點的話就利用排容原理 \(8^4-3\times6^4+3\times5^4-4^4=1827\)

第7題，先單看其中一個點數\((1-(5/6)^{10})\)，再乘以\(6\)即可。
嚴僅一點就是設\(X_k\)為點數\(k\)出現與否的隨機變數，\(k=1,\dots,6\)。
則\(E(X_k)=(1-(5/6)^{10})\)，然後所求\(E(X)=E(X_1)+\cdots+E(X_6)=6(1-(5/6)^{10})\)。

作者: jerryborg123 時間: 2022-5-8 16:53

引用:

原帖由 Gary 於 2022-5-8 12:03 發表
我有加絕對值應該不會算我錯吧⋯⋯

我覺得加絕對值應該會錯，就像指對數函數互為反函數，x不會加絕對值

作者: Gary 時間: 2022-5-8 17:34 標題: 回復 18# jerryborg123 的帖子

原來如此，那我只剩50分了，繼續努力@@ 感謝各位老師的回覆

作者: HLX 時間: 2022-5-8 17:53

第2題

圖片附件: 50CFC974-BE8E-421C-B13E-E4C174B02181.jpeg (2022-5-8 17:53, 211.27 KB) / 該附件被下載次數 1170
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6359&k=a86d59859faa6c1d2644fe9924325585&t=1714056708

作者: HLX 時間: 2022-5-8 18:05

想問填充第三題，謝謝

作者: DavidGuo 時間: 2022-5-8 19:12

引用:

原帖由 HLX 於 2022-5-8 18:05 發表
想問填充第三題，謝謝

用partial fraction
\(=\sum\frac4{n^2(n+1)^2}=\sum4\left(\frac1{n^2}+\frac1{(n+1)^2}+\frac2{n+1}-\frac2n\right)\)
\(=4\left(\frac{\pi^2}6+\left(\frac{\pi^2}6-1\right)-\frac21\right)=\frac{4\pi^2}3-12\)

中間的等號，是因為題目給了該級數和收斂，跟後面telescope收斂。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-8 19:27 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2022-5-8 21:08 標題: 回復 21# HLX 的帖子

第3題
可以這樣拆
\(\begin{align}
& \frac{1}{{{1}^{3}}+{{2}^{3}}+\cdots +{{k}^{3}}} \\
& =\frac{4}{{{k}^{2}}{{\left( k+1 \right)}^{2}}} \\
& =4\left[ \frac{2k+3}{{{\left( k+1 \right)}^{2}}}-\frac{2k-1}{{{k}^{2}}} \right] \\
\end{align}\)

作者: DavidGuo 時間: 2022-5-8 21:31

引用:

原帖由 PDEMAN 於 2022-5-8 11:53 發表
填充4 另解
\(f(15)=-15,f(22)=-23,f(29)=-31,f(36)=t\)
四點用插值，可寫出
\(f(x)=-15c^{x}_{0}-\frac{8c^{x}_{1}}{7}+\frac{0c^{x}_{2}}{7^2}+\frac{(t+39)c^{x}_{3}}{7^3}\)
最後因為首項係數為1
所以\(\frac{(t+3 ...

令\(g(n)=f(7n+8)\)
則變成解\(g(1)=-15, g(2)=-23, g(3)=-31\)且\(g(x)\)領導係數為\(7^3=343\)，然後求\(g(4)\)(其實也可以不做這個動作，直接算\(f\)，只是數字大了點)
而\(x\)成等差的時候\(y\)也成等差，所以\(x=2\)時是三次多項式的中心，令\(g(x)=343(x-2)^3+a(x-2)-23\)
因為\(g(1)=-15\)，解得\(a=-351\)，所以\(g(x)=343(x-2)^3-351(x-2)-23\)，因此\(g(4)=343\times8-351\times2-23=2019\)。

出題老師應該是直接抄2019年某個地方的題目，連改都沒改。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-9 17:20 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2022-5-8 22:40 標題: 回復 6# lisa2lisa02 的帖子

第 4 題
g(x) = f(7x + 8) - (7x)^3
g(1) = f(15) - 7^3
g(2) = f(22) - 8 * 7^3
g(3) = f(29) - 27 * 7^3
g(4) = f(36) - 64 * 7^3

由巴貝奇定理
g(4) - 3g(3) + 3g(2) - g(1) = 0
f(36) - 64 * 7^3 - 3f(29) + 81 * 7^3 + 3f(22) - 24 * 7^3 - f(15) + 7^3 = 0
f(36) = 6 * 7^3 + 3f(29) - 3f(22) + f(15) = 2058 - 93 + 69 - 15 = 2019

作者: jim1130lc 時間: 2022-5-9 12:38

第10題
令\(A-B=\alpha\)，\(B-C=\beta\)，則\(C-A=-(\alpha+\beta)\)
\(\cos^2(A-B)+\cos^2(B-C)+\cos^2(C-A)=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2(\alpha+\beta)\)
由算幾不等式知極值發生在三數相等時，\(\alpha=\beta\)且\(\alpha+(\alpha+\beta)=\pi\)
得\(\alpha=\beta=\frac{\pi}{3}\)時有最小值\(\frac{3}{4}\)

[ 本帖最後由 jim1130lc 於 2022-5-9 12:57 編輯 ]

作者: sda966101 時間: 2022-5-9 14:34 標題: 項充第2題

全國中方法

圖片附件: 教甄公式筆記-3.jpg (2022-5-9 14:34, 524.78 KB) / 該附件被下載次數 854
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6362&k=28adb068439e5a49d8d7254a984b3a0a&t=1714056708

作者: DavidGuo 時間: 2022-5-9 17:41

引用:

原帖由 jim1130lc 於 2022-5-9 12:38 發表
第10題
令\(A-B=\alpha\)，\(B-C=\beta\)，則\(C-A=-(\alpha+\beta)\)
\(\cos^2(A-B)+\cos^2(B-C)+\cos^2(C-A)=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2(\alpha+\beta)\)
由算幾不等式知極值發生在三數相等時，\(\alpha=\beta\)且 ...

這樣不完整吧，須說明如何湊出這個算幾。
不過通常填充的不等式，都可以直接猜平均或極端的情況，大概九成都會對。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-9 17:43 編輯 ]

作者: dorara501 時間: 2022-5-9 17:57 標題: 回復 17# DavidGuo 的帖子

您好，想請問填充7的題意是什麼意思??
看了您的算式後還是不太理解題目想要求的是什麼QQ
謝謝!!

作者: jim1130lc 時間: 2022-5-9 19:14

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2022-5-9 17:41 發表

這樣不完整吧，須說明如何湊出這個算幾。
不過通常填充的不等式，都可以直接猜平均或極端的情況，大概九成都會對。

感謝教授補充...的確應該要再更完整比較好

作者: DavidGuo 時間: 2022-5-9 19:17

引用:

原帖由 dorara501 於 2022-5-9 17:57 發表
您好，想請問填充7的題意是什麼意思??
看了您的算式後還是不太理解題目想要求的是什麼QQ
謝謝!!

擲了10顆骰子，
若全都是3點，那就是只有一種點數。
若是1122555566，就是四種點數。
若1111122333，就是三種點數。

題意就是問，擲了十顆骰子，期望會出現幾種點數。
正常算是利用1*只出現一種點數的機率，所以是\(1\times\frac{6}{6^{10}}\)
再加上2*恰出現兩種點數的機率，所以是\(2\times\frac{C^6_2(2^{10}-C^2_11^{10})}{6^{10}}\)。
加上3*恰出現三種點數的機率，…直到6，這樣算也可以，比較煩一點。
通常都是利用期望值的性質來算比較快，這招一定要會的，教甄很常很常用這招。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-10 13:10 編輯 ]

作者: DavidGuo 時間: 2022-5-9 19:33

第4題，跟別位教授討論之後，發現有更簡單的算法。
由題意知\(f(7n+8)+8n+7=7^3(n-1)(n-2)(n-3)\)
所以\(4\)代入就是答案了。

作者: Ellipse 時間: 2022-5-9 21:39

填10:
令X=A-B,Y=B-C,Z=C-A
先證:
2X+2Y+2Z=0,則cos(2X)+cos(2Y)+cos(2Z)的最小值為-3/2----------------(*)
則(cosX)² +(cosY)² +(cosZ)²
=(3/2) + (1/2)* [cos(2X)+cos(2Y)+cos(2Z)]
≧ (3/2) +(1/2)*(-3/2) (由(*)得)
=3/4

註: (*)證明請參考:
https://math.pro/db/thread-1753-1-1.html

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2022-5-9 21:58 編輯 ]

作者: dorara501 時間: 2022-5-10 12:43 標題: 回復 31# DavidGuo 的帖子

非常感謝，懂了~

作者: yuhui1026 時間: 2022-5-10 15:08

第2題
用國中作法

[ 本帖最後由 yuhui1026 於 2022-5-10 18:55 編輯 ]

圖片附件: 1652179659528.jpg (2022-5-10 18:48, 98.75 KB) / 該附件被下載次數 819
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作者: thepiano 時間: 2022-5-11 05:45

計算第 1 題
f(x) = Q_1(x)(x - 1)^2 + ax + b
= Q_2(x)(x + 1)^2 + bx + a
= Q_3(x)(x - 1)^2(x + 1)^2 + cx^3 + dx^2 + ex
ac ≠ 0

f(1) = a + b = c + d + e
f(-1) = a - b = - c + d - e
可解出 a = d，b = c + e

f '(1) = a = 3c + 2d + e
f '(-1) = b = 3c - 2d + e

d = 3c + 2d + e
c + e = 3c - 2d + e

可解出 d = c，e = -4c

R(x) = cx^3 + dx^2 + ex = cx^3 + cx^2 - 4cx = 0
x(x^2 + x - 4) = 0
x = 0 or (-1 ± √17)/2

計算第 2 題
(1) 當 n + 1 為完全平方數，且有 m 個正因數，易知 m 是正奇數
[√(n + 1)] = [√n] + 1
Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) = Σ[n / k] (k = 1 ~ n) + m
[√(n + 1)] + Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) = [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) + (m + 1)
[√(n + 1)] + Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) 和 [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) 同奇或同偶

(2) 當 n + 1 不為完全平方數，且有 m 個正因數，易知 m 是正偶數
[√(n + 1)] = [√n]
Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) = Σ[n / k] (k = 1 ~ n) + m
[√(n + 1)] + Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) = [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) + m
[√(n + 1)] + Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) 和 [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) 同奇或同偶

(3) 而 n = 1 時，[√1] + [1 / 1] = 2，是偶數
故對任意正整數 n， [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) 必為偶數

作者: tony90233 時間: 2022-5-11 10:50 標題: 計算第二題補充

[ 本帖最後由 tony90233 於 2022-5-11 10:57 編輯 ]

附件: 111新北聯招最後一題.pdf (2022-5-11 10:50, 77.36 KB) / 該附件被下載次數 1482
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6368&k=dc6416931319ab33c6d348b6c9c1af23&t=1714056708

圖片附件: 111新北聯招最後一題_頁面_1.png (2022-5-11 10:50, 20.12 KB) / 該附件被下載次數 1137
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6369&k=8263299e80f56adfaa8df351a22e28f8&t=1714056708

圖片附件: 111新北聯招最後一題_頁面_2.png (2022-5-11 10:50, 25.5 KB) / 該附件被下載次數 1161
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6370&k=1eb6a9d8fd871a33577c2cb5053bffeb&t=1714056708

作者: jerryborg123 時間: 2022-5-12 17:17 標題: 回覆 36# thepiano 的帖子

請問計算(1)
我的作法跟您差不多，只有假設R(x)=c(x+1)(x-1)^2+d(x-1)^2+ax+b
最後會得到 x(2x^2-x-5)=0 與答案不同
請問我R(x)的假設方法是哪裡出錯了嗎？

作者: thepiano 時間: 2022-5-12 21:23 標題: 回覆 38# jerryborg123 的帖子

請寫一下您的完整做法

作者: jerryborg123 時間: 2022-5-12 23:23 標題: 回覆 39# thepiano 的帖子

剛剛重寫一次發現過程計算有誤，更正後得到相同答案
謝謝老師

作者: tuhunger 時間: 2022-5-18 10:51 標題: 回覆 31# DavidGuo 的帖子

填充7我也看不懂題意，例如1111111112和1111111113我把它看成不同種，
題目應舉例說明。
此題算跟空箱期望值一樣，10顆球丟入6個箱子，答案=6-空箱期望值

作者: victor 時間: 2022-5-20 20:13 標題: 回覆 36# thepiano 的帖子

計算1

R(x)是個多項式不是方程式，怎麼會有「根」呢？
題目是不是應該寫「R(x)=0的根」？

還是我哪裡的觀念不太對？？

[ 本帖最後由 victor 於 2022-5-20 20:15 編輯 ]

作者: coco0128 時間: 2023-5-15 11:56

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2022-5-8 14:29 發表

第6題，可以看成成宇集\(U=\{1,2,3,4\}\)，而\(A,B,C⊆U\)，且兩兩交集非空。
於是將\(A,B,C\)與\(U\)彼此的關係畫成文氏圖，即可看成將\(1,2,3,4\)填入此文氏圖的8個區域內，然後兩兩交集的地方都要非空。
可以慢慢討論。比 ...

老師，不好意思
排容原理那式子能否解釋一下
因為我一直卡住
麻煩您了謝謝您

作者: laylay 時間: 2023-5-15 13:43 標題: 回覆 4# satsuki931000 的帖子

填充2.
cos(2BAC)=9/16
AB=16cosBAC=16√（（1+9/16）/2）=10√2

作者: laylay 時間: 2023-5-15 14:58 標題: 填充6.另解

設A表前兩人口味都不同的方法 , B表後兩人口味都不同的方法 ,C表第一人跟第三人口味都不同的方法
每人至少要選一個口味,方法2^4-1=15
則所求=|全部|-|A或B或C|
=15^3-3|A|+3|A且B|-|A且B且C|
|A|=(C(4,1)(2^3-1)+C(4,2)(2^2-1)+C(4,3))×15=750
|A且B|=C(4,1)(2^3-1)^2+C(4,2)(2^2-1)^2+C(4,3)=254
|A且B且C|=P(4,3)(恰三口味)+C(3,1)C(4,2)×2!(恰四口味)=60
所求=3375-2250+762-60=1827

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-15 19:36 編輯 ]

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