標題: 想請教數學大神為我解惑一個高中條件機率的問題 [打印本頁]

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作者: hanil    時間: 2022-5-1 01:24     標題: 想請教數學大神為我解惑一個高中條件機率的問題

(i)條件機率的意義是在得知某些情況的影響下，樣本空間需要修正，所以在B發生的情況下，A發生的機率是n(A交集B)/n(B)=(n(A交集B)/n(S)) / (n(B)/n(S))=P(A交集B)/P(B)
(ii)有一個命題是這樣的
有一枚不公正硬幣，正面出現機率2/3，投擲3次(每次投擲均獨立)，前兩次出現正面的機率為A，至少出現兩次正面的事件為B，求P(A|B)=？
[解法]：
P(B)=C(3,2)*(2/3)^2*(1/3)+C(3,3)*(2/3)^3=20/27
P(A交集B)=4/9
P(A|B)=3/5
應該沒算錯啦..

我的疑問是，這題的確不能用樣本點個數來算(比如3次正面跟3次反面出現機率不同)，但應該有一種方法可以修正樣本點出現機率不同的問題吧？(我還沒想到怎麼處理)...因為如果這個不能用樣本點個數來算，那為何學校老師們都用(i)的方法證明條件機率的公式，我知道條件機率一定是對的，所以鐵定有個方法可以修正樣本點個數出現機率不同的手段吧!？那如果有，以這題來說，怎麼處理，請指教!
這個問題困擾了我好久...懇請各位大神為我解惑!

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作者: 呆呆右    時間: 2022-5-1 03:06

高中這邊的條件機率推論仍是奠基於古典機率
只要分子、分母，一起用n(number)或p(probability)
都解釋得通，是一致的

考慮一般的情境，硬要寫成古典機率有時實在很彆扭（通常不是不行）
比如甲、乙兩人同射一隻鳥，直接以機率處理顯得簡潔、方便

進一步來說，當情境複雜時，常常「寫不出」樣本空間（也沒有必要拐彎抹角）
或者如你所說的，要予以調整，以符應「機率均等」的假設
不能只寫正、反，所以我才說處理上很彆扭

回答你的問題：
我們要想辦法把原始的樣本空間S寫出來
不妨視為每次隨機從O1、O2、X1抽出一個後放回
O1、O2表示正面、X1表示反面
那麼\( n(S)=3^3=27\)，我就不寫下S了

至少兩次正面=恰兩正+恰三正
=正正反+正反正+反正正+正正正
\(n(B)=4+4+4+8=20\)

接著計算\(n(A \cap B)\)
我們就不管A了，直接從B裡面找A
\(n(A \cap B)=4+8=12\)

因此，所求\( =\frac{12}{20}=\frac{3}{5} \)

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作者: hanil    時間: 2022-5-1 11:56

感謝!

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