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標題: 111臺南一中二招 [打印本頁]

作者: swallow7103 時間: 2022-4-24 21:29 標題: 111臺南一中二招

依往例南一中應該會公告題目，這邊先附上計算提供大家討論。
今年考得很難，寫起來應該是要兩個小時的考卷，但實際只有九十分鐘...

計算題共3題，每題9分。
一、求 \(\displaystyle \left[ \frac{10^{2022}}{10^{674}+2022} \right] \)的末4位數。
二、設三複數 \( \alpha ,\beta ,\gamma \)在座標平面上代表\( A, B, C \)三點(其中\(A\)在第一象限)，且\( \Delta ABC\)是正三角形。已知\( \alpha ,\beta ,\gamma \)滿足
\[ \alpha^4 - 2\alpha^3\beta + \alpha^2 ( \beta^2 - 4) + 8\alpha\gamma -4\gamma^2 =0 \]，
且 \( \Delta ABC \)之重心\( G \)為\(\displaystyle \frac{\alpha^{111}}{2^{110}}\)，試求\( \alpha, \beta, \gamma \)。
三、設實係數多項式 \( f(x) \)滿足 \( deg(f(x)) \geq 2 \)，且\( f'(x) \)是\( f(x) \)的因式，請問\( f(x)=0 \)的實根個數、\( y=f(x) \)的極值點以及反曲點個數各有幾個？

附件: 111台南一中二招.pdf (2022-4-25 10:25, 312.2 KB) / 該附件被下載次數 4145
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6319&k=ffc0b78ed1846f428a0db5a1ec8ba1f5&t=1732279512

作者: bugmens 時間: 2022-4-24 21:33

填充題
4.
\(\angle AOB=60^{\circ}\)，\(\overline{PA}⊥\overline{OA}\)，\(\overline{PB}⊥\overline{OB}\)，\(\overline{PA}=2\)，\(\overline{PB}=1\)，若\(\vec{OP}=\alpha \vec{OA}+\beta \vec{OB}\)，求數對\((\alpha,\beta)=\)　　　。

9.
求極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\ldots+\sqrt{n})^2(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3)}{(\root 3\of 1+\root 3\of 2+\root 3\of 3+\ldots+\root 3\of n)^3(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)}\)之值為　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

11.
已知\(\displaystyle p=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}+\ldots+\frac{1}{2021\times 2022}\)，
\(\displaystyle q=\frac{1}{1012\times 2022}+\frac{1}{1013\times 2021}+\frac{1}{1014\times 2020}+\ldots+\frac{1}{2022\times 1012}\)，試求\(\displaystyle \frac{p}{q}\)之值=　　　。
[公式]\
\(\displaystyle p=(\frac{2022}{2}+1+2022)(一堆分數相加)\)
\(\displaystyle q=2(一堆分數相加)\)

兩正數\( \displaystyle a=\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{5 \times 6}+...+\frac{1}{2003 \times 2004} \)
\( \displaystyle b=\frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+\frac{1}{1005 \times 2002}+...+\frac{1}{2004 \times 1003} \)
則\( \displaystyle \frac{a}{b}= \)？(請化為最簡分數)
(99彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948&page=1#pid2128)
[公式]
\(\displaystyle a=(\frac{2004}{2}+1+2004)(一堆分數相加)\)
\(\displaystyle b=2(一堆分數相加)\)

計算證明題
1.
試求\(\displaystyle \left[\frac{10^{2022}}{10^{674}+2022}\right] \)的末4位數，其中\([\; ]\;\)表不大於\(x\)的最大整數。
相關問題https://math.pro/db/thread-708-1-1.html

作者: satsuki931000 時間: 2022-4-24 21:47

1.
試求\(\displaystyle \left[\frac{10^{2022}}{10^{674}+2022}\right] \)的末4位數，其中\([\; ]\;\)表不大於\(x\)的最大整數。
[解答]
令\(\displaystyle A=10^{674}+2022\)
所求為\(\displaystyle M= A^2-6066A+3\cdot 2022^2-1 \)除以10000的餘數
\(\displaystyle M \equiv 2022^2-3\cdot 2022^2+3\cdot 2022^2-1 \equiv 2022^2-1\equiv 8483\ (mod\ 10000)\)

BTW 今年一堆獨招都只有考90分鐘實在不知道怎麼回事.....

作者: swallow7103 時間: 2022-4-24 21:58 標題: 回復 1# swallow7103 的帖子

計算二
設複數平面上三點\(A(\alpha)\)、\(B(\beta)\)、\(C(\gamma)\)可連成正三角形\(ABC\)，已知\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)滿足\(\alpha^4-2\alpha^3\beta+(\beta^2-4)\alpha^2+8\alpha\gamma-4\gamma^2=0\)且\(\alpha\)的實部和虛部均為正數，當\(\Delta ABC\)的重心\(G\)為\(\displaystyle \frac{\alpha^{111}}{2^{110}}\)時，求\(\beta\)及\(\gamma\)各為多少？
[解答]
化簡那串式子可得\( \alpha^2(\alpha-\beta)^2=(2\alpha-2\gamma)^2 \)，因此
\(\displaystyle \alpha=\pm \frac{2(\alpha-\gamma)}{\alpha-\beta}\)，由圖形及複數除法的意義及A在第一象限，
可得\( \alpha=2(\cos60^{\circ} + i \sin60^{\circ}) \)，再由重心G為\(\displaystyle \frac{\alpha^{111}}{2^{110}} \)，
可得G所代表的複數為\( -2 \)。再來(我直接用A, B, C, G表示複數了)，因為\( A-G\)知道了，
所以\( (B-G)=(A-G)(\cos120^{\circ} + i \sin120^{\circ}) \)、\( (C-G)=(B-G)(\cos120^{\circ} + i \sin120^{\circ}) \)。
得出來的結果在加G(-2)就可以得到\( \beta, \gamma \)。

作者: satsuki931000 時間: 2022-4-24 22:25 標題: 回復 4# swallow7103 的帖子

這題小弟第一步有想到
結果時間壓力根本沒想到移項這件事情.....
然後就白白送9分了
這題真的不應該寫不出.....

作者: craig100 時間: 2022-4-24 22:27

計算3.
已知\(deg(f(x))=n\ge 2\)且\(f'(x)\)是\(f(x)\)的因式，試求\(f(x)=0\)的相異實根個數及\(y=f(x)\)圖形的極值點個數、反曲點個數。
[解答]
不失一般性，設 f(x) 首項係數為 1，
由原題條件得：
f(x) = (1/n) f'(x) (x-k), 其中 k 為某實數。
對上式微分並整理有：
f'=(1/(n-1))f''(x)(x-k)，
再微分，依此類推得
f(x) = (1/n!) f^(n)(x) (x-k)^n
注意到， f^(n)(x) =n!
故 f(x) = (x-k)^n
有唯一實根（n 重根），有唯一極值點，n 為奇數時有唯一反曲點，n 為偶數時無反曲點。

作者: Superconan 時間: 2022-4-24 22:50 標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

沒關係，我看到你寫的第 1 題詳解，發現我末四位寫成 mod1000...，這才是白白送 9 分，不知道閱卷老師會不會好心部分給分...
我寫答案的時候還想說末四位，所以 483 前面還要加一個零變成 0483...

作者: Superconan 時間: 2022-4-25 10:17 標題: 回復 1# swallow7103 的帖子

學校已公告試題與答案
標題是否要改為「111臺南一中二招」？

111.4.25補充
將題目移到第一篇，將標題加上111臺南一中二招

作者: thepiano 時間: 2022-4-25 12:03 標題: 回復 8# Superconan 的帖子

通常"二招"，應該是同一年，數學招考第二次吧?

作者: Superconan 時間: 2022-4-25 13:11 標題: 回復 9# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師建議
要不要加二招我想了很久

後來想說，萬一臺南一中這次沒有招到老師
那麼他就會舉辦111學年度第3次教師甄選
到時候數學科就會有第二份數學考卷，而上面的標題是「111學年度第3次教師甄選」

那之後的考生練習考古題時，就會有兩份考卷，
上面的標題分別是「111學年度第2次教師甄選」和「111學年度第3次教師甄選」

而如果我們在 mathpro 的標題分別是「111臺南一中」和「111臺南一中二招」，感覺會無法呼應。

因此建議 mathpro 的標題應該改成「111臺南一中二招」較佳。

作者: Superconan 時間: 2022-4-25 14:07

請問第 9 題這樣做，錯在哪？

圖片附件: 填充9.jpg (2022-4-25 14:07, 675.57 KB) / 該附件被下載次數 1643
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6321&k=eb97bed46492ea3b5601b3403c997c7a&t=1732279512

作者: pretext 時間: 2022-4-25 14:35 標題: 回復 11# Superconan 的帖子

倒數第三個等號那邊，是不是漏了平方？

作者: Superconan 時間: 2022-4-25 15:12 標題: 回復 12# pretext 的帖子

謝謝！我跟另一個朋友都算 2/3 …
但我發現平方完，答案還是不對

作者: PDEMAN 時間: 2022-4-25 15:17 標題: 回復 13# Superconan 的帖子

分母有一個三次方

作者: Superconan 時間: 2022-4-25 15:43 標題: 回復 14# PDEMAN 的帖子

非常感謝！！算出來了！一直漏看@@

作者: satsuki931000 時間: 2022-4-25 15:48

14.
已知\(A(x,y)\)在以原點為中心、邊長為2且邊長平行坐標軸的正方形上。若平面上有一點\(B(m,n)\)滿足\((m-4)^2+(n-4)^2=4\)且\(\sqrt{m^2+n^2}+\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(m+x)^2+(n+y)^2}\)，則\(x\)的範圍為　　　。
[解答]
忘記是不是講義還是習作的挑戰題
易知\(\displaystyle (x,y)\)為第一象限的點
所求即為對\(\displaystyle (x-4)^2+(y-4)^2=4\)做過原點的切線，並且再去看這兩條切線和正方形的交點x坐標

也就是求兩條切線和\(y=1 , x=1\)的交點x坐標，可得範圍為\(\displaystyle \frac{4-\sqrt{7}}{3} \leq x \leq 1\)

15. 應該很好猜\(\displaystyle a_n=2n\)
想請問正規作法

作者: Superconan 時間: 2022-4-25 15:56 標題: 回復 16# satsuki931000 的帖子

南一版第 3 冊數 A 平面向量的最後一題
可惜來不及寫

圖片附件: 80CBE53B-3DBF-468F-A6B7-CB6AA9EA5582.jpeg (2022-4-25 15:58, 409.61 KB) / 該附件被下載次數 1648
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6326&k=5de3774e7638b8d1ff1b19327272cc5e&t=1732279512

作者: thepiano 時間: 2022-4-25 16:12 標題: 回復 16# satsuki931000 的帖子

第 15 題
設正整數數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)為嚴格遞增數列且滿足\(a_{a_n}=4n\)，求\(a_8=\)　　　。
[解答]
繞口令...

a_(a_1) = 4
a_1 ≦ 4

討論
(1) a_1 = 1
a_(a_1) = a_1 = 1，不合

(2) a_1 = 2
a_(a_1) = a_2 = 4

(3) a_1 = 3
a_(a_1) = a_3 = 4，a_2 無解，不合

(4) a_1 = 4
a_(a_1) = a_4 = 4，與 a_1 同，不合

故 a_1 = 2，a_2 = 4

a_(a_2) = a_4 = 8

a_(a_4) = a_8 = 16

作者: son249 時間: 2022-4-25 23:20 標題: 請問填充13

請問填充13題怎樣算？

作者: PDEMAN 時間: 2022-4-26 08:41 標題: 回復 19# son249 的帖子

長方體\(ABCD-EFGH\)中，已知直線\(AC\)方程式為\(\displaystyle \frac{x-3}{-2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+7}{1}\)，直線\(HF\)方程式為\(\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y}{4}=\frac{z}{-3}\)，且\(A(3,-1,-7)\)。試求矩形\(ABCD\)面積為　　　。
[解答]
可以參考寸絲老師的做法
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3507&page=4#pid22683

作者: enlighten0626 時間: 2022-5-5 12:05

請教第10題

作者: PDEMAN 時間: 2022-5-5 12:38 標題: 回復 21# enlighten0626 的帖子

設\(a,b\)為實數，且\(f(x)=2x^3+a(a+3)x^2-2x+2b-a\)可被\((x+1)(x-1)\)整除。若對任意滿足\(|\;x|\;\le1\)的實數，\(f(x)\ge 0\)恆成立，則\(a\)的範圍為　　　。
[解答]
將函數\(f(x)\div (x+1)(x-1)\)得到商式\((2x+a(a+3))\)

可以畫圖想一下題目的可能重根或大於1的根才有可能
所以滿足題目要求的條件需要第三根\(\displaystyle(-\frac{a(a+3)}{2}\geq 1)\)

作者: enlighten0626 時間: 2022-5-5 12:43 標題: 回復 22# PDEMAN 的帖子

謝謝老師解惑，再請教第12題

作者: thepiano 時間: 2022-5-5 13:50 標題: 回復 23# enlighten0626 的帖子

第 12 題
坐標平面上有一正方形\(ABCD\)，其中\(A(6,3)\)、\(B(2,6)\)且\(C\)、\(D\)兩點分別位於第二、四象限，若正方形內部區域可用不等式\(|\;a_1x+b_1y+c_1|\;+|\;a_2x+b_2y+c_2|\;<1\)表示，求\(|\;c_1|\;+|\;c_2|\;=\)　　　。
[解答]
A(6，3)、B(2，6)、C(-1，2)
AB = 5
用 |x| + |y| < 5/√2 去旋轉再平移

AC 的斜率 = 1/7，先逆時針旋轉 arctan(1/7) 度
整理可得 |7x + y| + |x - 7y| < 25

再平移至 ABCD 所在位置
整理可得 |(7/25)x + y/25 - 4/5| + |x/25 - (7/25)y + 3/5| < 1

作者: PDEMAN 時間: 2022-5-5 13:57 標題: 回復 23# enlighten0626 的帖子

第 12 題
坐標平面上有一正方形\(ABCD\)，其中\(A(6,3)\)、\(B(2,6)\)且\(C\)、\(D\)兩點分別位於第二、四象限，若正方形內部區域可用不等式\(|\;a_1x+b_1y+c_1|\;+|\;a_2x+b_2y+c_2|\;<1\)表示，求\(|\;c_1|\;+|\;c_2|\;=\)　　　。
[解答]
打開絕對值應該可以分成四條線
1.\((a_{1}+a_{2})x+(b_{1}+b_{2})y+(c_{1}+c_{2}-1)=0\)
2.\((a_{1}-a_{2})x+(b_{1}-b_{2})y+(c_{1}-c_{2}-1)=0\)
3.\((a_{1}+a_{2})x+(b_{1}+b_{2})y+(c_{1}+c_{2}+1)=0\)
4.\((a_{1}-a_{2})x+(b_{1}+b_{2})y+(c_{1}-c_{2}+1)=0\)
1,3平行2,4,平行
用兩平行直線可算出距離為線段\(AB=\frac{2}{\sqrt{(a_{1}-a_{2})^2+(b_{1}-b_{2})^2}}=\frac{2}{\sqrt{(a_{1}+a_{2})^2+(b_{1}+b_{2})^2}}=5\)
推得\(\sqrt{(a_{1}-a_{2})^2+(b_{1}-b_{2})^2}=\frac{2}{5}\)和\(\sqrt{(a_{1}+a_{2})^2+(b_{1}+b_{2})^2}=\frac{2}{5}\)
又1,3或2,4與直線\(AB:y-3=-\frac{3}{4}(x-6)\)為同一條
所以1,3或2,4為直線\(AB:y-3=-\frac{3}{4}(x-6)\)的\(\frac{2}{25}\)倍
可以知道\(c_{1}-c_{2}+1 ,c_{1}-c_{2}+1,c_{1}-c_{2}-1,c_{1}+c_{2}-1\)再取大的即可

作者: enlighten0626 時間: 2022-5-5 14:37

謝謝以上老師的解惑

作者: r91 時間: 2022-5-5 15:16

請問一下老師第8題

作者: satsuki931000 時間: 2022-5-5 15:58 標題: 回復 27# r91 的帖子

8.
若實數\(x\)、\(y\)滿足\(x+y=1\)，當\((x^3+1)(y^3+1)\)有最大值時，求\(x^2+y^2\)之值為　　　。
[解答]
設xy為S
原式為\(\displaystyle s^3-3s+2\)，求其發生最大值時，1-2s的值
注意\(\displaystyle s \leq \frac{1}{4}\)
畫圖可知s=-1時，\(\displaystyle s^3-3s+2\)有MAX 4
此時1-2s=3

作者: jim1130lc 時間: 2022-5-5 19:24 標題: 回復 17# Superconan 的帖子

這詳解...B(m,n)，然後又假設斜率為m，不該跟書商說符號重複了嗎
考試時如果這樣寫不知道會不會被扣分

作者: r91 時間: 2022-5-6 08:18 標題: 回復 28# satsuki931000 的帖子

謝謝老師

作者: 5pn3gp6 時間: 2022-5-9 15:36

引用:

原帖由 craig100 於 2022-4-24 22:27 發表
計算3.
...
故 f(x) = (x-k)^n
有唯一實根（n 重根），有唯一極值點，n 為奇數時有唯一反曲點，n 為偶數時無反曲點。

提一下，極值點也不是都有
應該是
n 為奇數時沒有極值點，有唯一反曲點
n 為偶數時有唯一極值點，沒有反曲點

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