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標題: 111中壢高中 [打印本頁]

作者: Gary 時間: 2022-4-24 08:46 標題: 111中壢高中

題目跟解答在二樓

[ 本帖最後由 Gary 於 2022-4-24 09:47 編輯 ]

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作者: thepiano 時間: 2022-4-24 09:35 標題: 回復 1# Gary 的帖子

題目已釋出

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作者: bugmens 時間: 2022-4-24 12:16

1.
試求級數\(\displaystyle \frac{1\cdot 3 \cdot 5}{3^6-64}+\frac{3\cdot 5 \cdot 7}{5^6-64}+\frac{5\cdot 7\cdot 9}{7^6-64}+\ldots+\frac{19\cdot 21 \cdot 23}{21^6-64}\)之和為　　　。

8.
矩陣\(A=\left[\matrix{11&9 \cr -6&-4} \right]\)，\(I_2=\left[\matrix{1&0 \cr 0&1}\right]\)，若有兩矩陣\(P\)、\(Q\)且滿足\(\cases{5P+2Q=A \cr P+Q=I_2}\)，且\(A^4=aP+bQ\)，試求\(log_{10}ab\)為　　　。

設兩矩陣\(P\)、\(Q\)滿足\(\cases{3P+4Q=A \cr P+Q=I_2}\)，其中\(A=\left[\matrix{1&-3 \cr 2&6} \right]\)，\(I_2=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，若\(A^7=aP+bQ\)，則\(log_{12}\frac{1}{ab}=\)　　　。
(101台中女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=2#pid5463)
我的教甄準備之路　矩陣n次方

作者: Superconan 時間: 2022-4-24 12:19

請教第 5、7 題

作者: Ellipse 時間: 2022-4-24 13:10

引用:

原帖由 Superconan 於 2022-4-24 12:19 發表
請教第 5、7 題

填5
(b+c)² [sin(A/2)]² +(b-c)²[cos(A/2)]² =13²+(8√3)²
整理得b²+c²-2bc{ [cos(A/2)]² -[sin(A/2)]² } =361
b²+c²-2bc*cosA =361
由餘弦定理得a² =361 , a=19

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2022-4-24 13:11 編輯 ]

作者: HLX 時間: 2022-4-24 13:46 標題: 填7

PA和軸的夾角和QA和軸的夾角相同
就可以解出來了

作者: Christina 時間: 2022-4-24 15:33

想請教第9題，謝謝老師們

作者: thepiano 時間: 2022-4-24 17:36 標題: 回復 7# Christina 的帖子

第9題
湊一湊
\(\begin{align}
  & z=\frac{32}{x-yi}=\left( \frac{32x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)+\left( \frac{32y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)i \\
& z=\left( x',y' \right)=\left( \frac{32x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}},\frac{32y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right) \\
&  \\
& {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=8 \\
& x=2\sqrt{2}\cos \theta -2,y=2\sqrt{2}\sin \theta +2 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( 2\sqrt{2}\cos \theta -2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{2}\sin \theta +2 \right)}^{2}}=16+8\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta  \right) \\
& x-y=-4-2\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta  \right) \\
&  \\
& x'-y'=\frac{32\left( x-y \right)}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{32\left[ -4-2\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta  \right) \right]}{16+8\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta  \right)}=-8 \\
& x-y+8=0 \\
\end{align}\)

作者: Superconan 時間: 2022-4-24 17:57 標題: 回復 5# Ellipse 的帖子

天啊，居然是這樣湊餘弦定理…沒看出來Orz

作者: yuhui1026 時間: 2022-4-24 21:06

填5.我是直接構圖...

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作者: Ellipse 時間: 2022-4-24 21:19

引用:

原帖由 yuhui1026 於 2022-4-24 21:06 發表
填5.我是直接構圖...

很棒的想法~~

作者: Christina 時間: 2022-4-25 13:02 標題: 回復 8# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師，想再請教計算三的(2)

作者: thepiano 時間: 2022-4-25 19:16 標題: 回復 12# Christina 的帖子

計算第 3 題 (2)
R 是黃色區域

EHGF 繞 y 軸一圈的體積
= △OHG 繞 y 軸一圈的體積 - △OEF 繞 y 軸一圈的體積
= 2 個底面 3 高 3 的圓錐體積 - 2 個底面 1 高 1 的圓錐體積
= 2 * ( 9π * 3 - π * 1) * (1/3) = (52/3)π

△OHB 繞 y 軸一圈的體積
= 底面 6 高 6 的圓錐體積
= 36π * 6 * (1/3) = 72 π

R 繞 y 軸一圈的體積
= △OHB 繞 y 軸一圈的體積 - EHGF 繞 y 軸一圈的體積
= 72 π - (52/3)π
= (164/3)π

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作者: Christina 時間: 2022-4-25 23:32 標題: 回復 13# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師～～！

作者: satsuki931000 時間: 2022-4-26 10:10

想請問4 6 10

作者: tsusy 時間: 2022-4-26 10:49 標題: 回復 15# satsuki931000 的帖子

填充4，由內角和相等可知內角均為 120°
過頂點做與邊之平行線(沒有限定哪在哪裡做)

會將圖形線切成正三角形、平行四邊形，即可得

\( \overline{FA} = 4 +4 = 8\)
\( \overline{EF} = 2 \)
故所求
\( \overline{FA} + \overline{EF} = 10 \)

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作者: Ellipse 時間: 2022-4-26 11:10

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2022-4-26 10:10 發表
想請問4 6 10

填4 寸絲先回了~
但都已經畫完了,還是放上去好了

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作者: tsusy 時間: 2022-4-26 11:10 標題: 回復 15# satsuki931000 的帖子

填充6. 我們可以知道此二平行面的距離為 \( \frac{6}{\sqrt{3}} \)

接著需要知道正八面體邊長和此平行面距離的比例

幾何作法：取M 為BC 中點，N 為DE 中，三角形ANM中 AM 邊上的高即為兩平行面的距離(修正筆誤AM邊上的高)

坐標：重新另做一個正八面體，頂點坐標為 \( (\pm a,0,0), (0,\pm a,0), (0,0,\pm a) \)，其中 \( \sqrt{2} a \) 為正八面體的邊長
可計算得二平行面得距離為 \( \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \sqrt{2} a\)

故可題，此題中邊長為 \( \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} \)

此正八面體的體積為 \( 2 \times \frac13 \times (3 \sqrt{2})^2 \times 3 = 36 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2022-4-28 09:49 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2022-4-26 11:29 標題: 回復 15# satsuki931000 的帖子

填充 10. 沒有什麼好想法，暫時分三種狀態，用轉移矩陣硬算
狀態1：ABC 各1 人
狀態2：ABC 人數 2,1,0(未依序)
狀態3：ABC 人數 3,0,0(未依序)

認真算一下機率，轉移矩陣寫下來是
\( \begin{pmatrix}\frac{2}{8}&\frac{2}{8}&0\\ \:\:\frac{6}{8}&\frac{5}{8}&\frac{6}{8}\\ \:\:0&\frac{1}{8}&\frac{2}{8}\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}\frac{2}{8}&\frac{2}{8}&0\\ \:\:\frac{6}{8}&\frac{5}{8}&\frac{6}{8}\\ \:\:0&\frac{1}{8}&\frac{2}{8}\end{pmatrix}^5\:\begin{pmatrix}1\\ \:\:0\\ \:\:0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1823}{8192}\\ \frac{10923}{16384}\\ \frac{1815}{16384}\end{pmatrix}\)

故所求 = \( \frac{1815}{16384} \)

作者: thepiano 時間: 2022-4-26 11:35 標題: 回復 15# satsuki931000 的帖子

第 10 題
先算三人都到 A 的機率，再乘以 3

擲 5 次硬幣後
甲移動 6 或 9 個單位可到 A，乙移動 5 或 8 個單位可到 A，丙移動 7 或 10 個單位可到 A

甲移動 6 個單位：擲出 1 個正面、4 個反面，機率 5/32
甲移動 9 個單位：擲出 4 個正面、1 個反面，機率 5/32

乙移動 5 個單位：擲出 0 個正面、5 個反面，機率 1/32
乙移動 8 個單位：擲出 3 個正面、2 個反面，機率 10/32

丙移動 7 個單位：擲出 2 個正面、3 個反面，機率 10/32
丙移動 10 個單位：擲出 5 個正面、0 個反面，機率 1/32

三人都到 A 的情形
(甲，乙，丙)
(6，5，7)：機率 (5/32)(1/32)(10/32) = 50/32768
(6，5，10)：機率 (5/32)(1/32)(1/32) = 5/32768
(6，8，7)：機率 (5/32)(10/32)(10/32) = 500/32768
(6，8，10)：機率 (5/32)(10/32)(1/32) = 50/32768
(9，5，7)：機率 (5/32)(1/32)(10/32) = 50/32768
(9，5，10)：機率 (5/32)(1/32)(1/32) = 5/32768
(9，8，7)：機率 (5/32)(10/32)(10/32) = 500/32768
(9，8，10)：機率 (5/32)(10/32)(1/32) = 50/32768

總和 = 1210/32768

所求 = (1210/32768) * 3 = 1815/16384

作者: enlighten0626 時間: 2022-4-26 14:35

請教填充7，試過＃6老師的做法，但做不出來

作者: Lopez 時間: 2022-4-27 12:32 標題: 回復 21# enlighten0626 的帖子

填充7 詳解

作者: lisa2lisa02 時間: 2022-4-27 14:42

想請教老師們計算二(2)，謝謝!

作者: Christina 時間: 2022-4-27 14:45 標題: 回復 23# lisa2lisa02 的帖子

假設n個字串的方法數為f(n). 則f(n)=f(n-1)+6f(n-2). f(1)=7,f(2)=13. 解遞迴

作者: Christina 時間: 2022-4-27 15:39 標題: 填充3

老師們好。想請教老師們填充3的解法。
我的方法是令三邊長a,b,c然後根據中線方程式會算出b=2a,又算出b=2/3*a.
但這樣算出來a=b=0. 應該是不可能的。不知道哪邊想錯了呢。謝謝老師們。

已經知道問題出在我假設兩股分別平行x軸和y軸。故所得到的結論就會是a=b=0.謝謝老師們幫忙。

[ 本帖最後由 Christina 於 2022-4-27 15:51 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2022-4-27 19:38

引用:

原帖由 Christina 於 2022-4-27 15:39 發表
老師們好。想請教老師們填充3的解法。
我的方法是令三邊長a,b,c然後根據中線方程式會算出b=2a,又算出b=2/3*a.
但這樣算出來a=b=0. 應該是不可能的。不知道哪邊想錯了呢。謝謝老師們。

已經知道問題出在我假設兩股 ...

103 台中女中有考過類似的,請參考下列連結
https://math.pro/db/thread-1867-5-1.html

作者: yosong 時間: 2022-4-27 21:17 標題: 回復 22# Lopez 的帖子

提供另一個想法
可將P對直線AH作垂足P' 求出P'為(1,2,4)
將Q對直線AH作垂足Q' 求出Q'為(5,-6,-20)
得到線段PP'=3,及線段QQ'=7
夾等角,可知∆APP'~∆AQQ',則AP'：P'Q'=3：4
最後A,P',Q'之間的比例用內分點公式就可以得到A(-2,8,22)

作者: Carl 時間: 2022-4-28 12:18 標題: 第9題

提供另一個作法。

圖片附件: 111中壢-9.jpg (2022-4-28 12:18, 86.33 KB) / 該附件被下載次數 1475
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6338&k=98ba0ae934a35d16695da0786c582674&t=1732310572

作者: PDEMAN 時間: 2022-4-28 16:05 標題: 回復 25# Christina 的帖子

110台北聯招計算題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3518&page=1#pid22920

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-28 16:06 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2022-5-1 12:16 標題: 請問第一題和第二題

版上老師好

第一題做到sigma(k=1~10) (2k+1)/((4k^2+8k+7)(4k^2+3)) 後就卡很久了一直無法順利對項相消

第二題完全沒頭緒阿感謝好心人指點

作者: PDEMAN 時間: 2022-5-1 12:34 標題: 回復 30# anyway13 的帖子

1.\(\Sigma(\frac{x(x-2)(x+2)}{(x^6-2^6)})=\Sigma \frac{1}{4}(\frac{1}{(x-1)^2+3}-\frac{1}{(x+1)^2+3})\)
2.先用微分判別遞增遞減，圖形的情形，可猜出有兩個根，(可再用勘根或中間值定理檢查兩個根的範圍)
剩下就是\((f(x)-x_1)(f(x)-x_2)=0\)

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-5-1 12:42 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2022-5-1 14:01 標題: 回復 31# PDEMAN 的帖子

謝謝PDEMAN老師的指點

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