Math Pro 數學補給站

標題: 111桃園高中 [打印本頁]

作者: Gary 時間: 2022-4-24 08:44 標題: 111桃園高中

題目還沒釋出，分享一下我記憶中的計算題一跟二，希望有人可以記得三跟四謝謝！

圖片附件: F58D2E78-8E1B-4718-BA5D-5E097100E666.jpeg (2022-4-24 08:44, 321.48 KB) / 該附件被下載次數 5761
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6308&k=7fbf4d328bafbf66757bfdb5a98ee926&t=1769623983

作者: thepiano 時間: 2022-4-24 09:42 標題: 回復 1# Gary 的帖子

題目已釋出，但沒計算題

111.4.25補充
第一部分填充4答案更正為1

附件: 111 桃園高中.pdf (2022-4-24 09:42, 304.07 KB) / 該附件被下載次數 8788
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6312&k=b2fbab76f0f5a4548c8afb94f9c18691&t=1769623983

附件: 111 桃園高中_答案(更正).pdf (2022-4-25 12:33, 105.01 KB) / 該附件被下載次數 8158
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6320&k=5063900ccbe9eeffb3bbc1bd9e2f056e&t=1769623983

作者: craig100 時間: 2022-4-24 10:09

計算2，已知 abc=1, a,b,c 皆正，求證：

1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) + 1/c^3(a+b) >= (1/a+1/b+1/c)/2

我的作法：
b^2c^2/a(b+c) + a^2c^2/b(a+c) + a^2b^2/c(a+b) >=(科西) (ab+bc+ab)^2/(2(ab+bc+ac)) =(ab+bc+ac)/2 = (1/a+1/b+1/c)/2

計算4
令 P(x^2023) +x^3Q(x^2023) + x^5R(x^2023) = (1+x+...+x^2022)S(x)
求證：S(x) 有 (x-1) 之因式

我的作法：
令 w = cos pi/2023 + i sin pi/2022
x=w, x=w^2 ,.., x=w^2022 帶入相加，可得 P(1)=0
左右同除x^3, 再一次用 x=w, x=w^2 ,.., x=w^2022 帶入相加，可得 Q(1)=0，
同理R(1)=0，因此S(1)=0，得證。

作者: bugmens 時間: 2022-4-24 10:24

2.
假設\([\; ]\;\)為高斯記號(說明：例如\([\;a ]\;\)表示小於或等於實數\(a\)的最大整數)，請求出方程式\(x^2-12[\;x ]\;+11=0\)的所有解　　　。

[]表高斯符號，求解\(3x^2-19 \cdot [\;x ]\;+20=0\)。
(105高雄餐旅大學附屬高中，https://math.pro/db/thread-2527-1-1.html)

3.
設\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)、\(\delta\)為方程式\(x^4+13x^3+17x^2+6x+1=0\)的四個根，求\(\displaystyle \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}+\frac{1}{\delta^2}\)的值為　　　。
[提示]
令\(1+13y+17y^2+6y^3+y^4=0\)四根為\(\displaystyle \frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta},\frac{1}{\gamma},\frac{1}{\delta}\)
再用https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2501方法下去算

設\( 4x^3+3x^2+2x+1=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \displaystyle \frac{1}{\alpha^5}+\frac{1}{\beta^5}+\frac{1}{\gamma^5} \)？
(100苑裡高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1178&page=1#pid3963)

5.
設地球為空間中一球體。今以地球球心為原點，地球半徑為單位長，建立一個直角坐標系。若地球表面上有甲、乙、丙三地，甲、乙的坐標分別為\((1,0,0)\)及\(\displaystyle (0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\)，而丙地位於甲乙兩地之間最短的路徑上，且甲丙路徑長為乙丙路徑長的2倍，求丙地的坐標　　　。

今一單位球(半徑為1的球)球心為原點，且球面上兩點P、Q座標分別為\( P(1,0,0) \)、\( \displaystyle Q(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \)，延著球面行進，於PQ最短路徑中取一點R，使得(PR弧長)：(QR弧長)=1：2，試求R點座標。
(99大安高工，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2178)

12.
桃園高中80周年慶，師生想利用8個8組成一個校運昌隆數作為紀念，經過討論後決定以\(8888^{8888}\)作為此校運昌隆數。將此校運昌隆數展開後的各位數字和令為\(A\)，再將\(A\)的各位數字和令為\(B\)，求\(B\)的各位數字和為　　　。

When \(4444^{4444}\) is written in decimal notation, the sum of its digits is \(A\). Let \(B\) be the sum of the digits of \(A\). Find the sum of the digits of \(B\). (\(A\) and \(B\) are written in decimal notation.)
1975IMO，https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_4
weiye解題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1387&page=1#pid6086

計算2.
已知\( abc=1\),\(a,b,c\)皆正，求證：\(\displaystyle \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\ge \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2}\)

Let \(a, b, c\) be positive real numbers such that \(abc=1\). Prove that \(\displaystyle \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\ge \frac{3}{2}.\)
1995IMO，https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_2

作者: zerogil159 時間: 2022-4-24 11:53

填充4
設\(0\le x \le \pi\)，求\(1+\sqrt{sin x}-\sqrt{x}=cos2x+2x^2\)的實根個數　　　。
[疑問]
應該能整理成2x^2-x^(1/2)=2(sinx)^2-(sinx)^(1/2)
由於y=2x^2-x^(1/2)嚴格遞增
解應該發生於x=sinx
此時x=0
故實根應只有一個
想請問各位老師，我的過程是否有誤？

作者: Ellipse 時間: 2022-4-24 12:15

引用:

原帖由 zerogil159 於 2022-4-24 11:53 發表
填充4
應該能整理成2x^2-x^(1/2)=2(sinx)^2-(sinx)^(1/2)
由於y=2x^2-x^(1/2)嚴格遞增
解應該發生於x=sinx
此時x=0
故實根應只有一個
想請問各位老師，我的過程是否有誤？ ...

我覺得答案可能給錯了~應該只有一個實數解
1+√ (sinx)-√ x =cos(2x)+2x² ,
整理成2[(sinx)²-x²]+(√ (sinx)-√ x )=0
(√ (sinx)-√ x) [2√ (sinx)+2√ x+1]=0
√ (sinx)-√ x=0 =>sinx=x-------(*)
∵0≦x≦π,畫圖可知僅當x=0時
符合(*)的解 ∴所求只有一個實數解

作者: enlighten0626 時間: 2022-4-25 08:14 標題: 回復 5# zerogil159 的帖子

請問老師有提試題疑義了嗎？

好的麻煩zerogil159老師了

作者: zerogil159 時間: 2022-4-25 08:39 標題: 回復 7# enlighten0626 的帖子

我正在寫，等等提出

作者: zerogil159 時間: 2022-4-25 12:19

第一部分填充4答案更正為1了

作者: peter0210 時間: 2022-4-27 12:17

一、填充5
設地球為空間中一球體。今以地球球心為原點，地球半徑為單位長，建立一個直角坐標系。若地球表面上有甲、乙、丙三地，甲、乙的坐標分別為\((1,0,0)\)及\(\displaystyle (0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\)，而丙地位於甲乙兩地之間最短的路徑上，且甲丙路徑長為乙丙路徑長的2倍，求丙地的坐標　　　。
[解答]

圖片附件: 20220427_121531.jpg (2022-4-27 12:17, 59.23 KB) / 該附件被下載次數 4909
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6334&k=728627ab432c24f24879567bc515b77e&t=1769623983

作者: peter0210 時間: 2022-4-27 14:27

填充8
已知數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_1=1,a_2=1,a_3=2,a_{n+3}=5a_{n+2}-7a_{n+1}+3a_n(\forall n \ge 1)\)，求\(a_{50}\)為幾位數　　　。
[解答]

圖片附件: 20220427_142424.jpg (2022-4-27 14:27, 88 KB) / 該附件被下載次數 2690
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6335&k=af2fb2445e9559b58933a468a221ce81&t=1769623983

作者: peter0210 時間: 2022-4-27 21:54

填13.
三角形\(ABC\)中，三線段\(\overline{AD}\)、\(\overline{BE}\)、\(\overline{CF}\)有一個共同交點\(O\)，若\(\overline{OD}=\overline{OE}=\overline{OF}=4\)且\(\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}=37\)，請求出\(\overline{OA}\times \overline{OB}\times \overline{OC}\)之值　　　。
[解答]

圖片附件: 20220427_215218.jpg (2022-4-27 21:54, 143.74 KB) / 該附件被下載次數 2708
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6336&k=3da7efba80ce1f31241bb129a5a1248c&t=1769623983

作者: Ellipse 時間: 2022-4-27 23:10

填13
三角形\(ABC\)中，三線段\(\overline{AD}\)、\(\overline{BE}\)、\(\overline{CF}\)有一個共同交點\(O\)，若\(\overline{OD}=\overline{OE}=\overline{OF}=4\)且\(\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}=37\)，請求出\(\overline{OA}\times \overline{OB}\times \overline{OC}\)之值　　　。
[解答]
依面積特性可知OD/AD+OE/BE+OF/CF=1
依題意知OD=OE=OF=4 ,令x=AO,y=BO,z=CO
得1/(x+4) +1/(y+4)+1/(z+4)=1/4------(1)
且依題意知AO+BO+CO=x+y+z=37-------(2)
令X=x+4,Y=y+4,Z=z+4-------(3)
由(2)&(3)得 X+Y+Z=37+12=49------(4)
由(1)&(3)得4(XY+YZ+ZX)=XYZ
假設a=XY+YZ+ZX,則XYZ=4a--------(5)
由(4)&(5)可設t=X,Y,Z為t^3-49t²+at-4a=0的解
又t^3-49t²+at-4a=(t-X)(t-Y)(t-Z)--------(6)
將t=4代入(6)得4^3-49*16+4a-4a= -(X-4)(Y-4)(Z-4) = -xyz= -720
所求=AO*BO*CO=xyz=720

作者: Joanna 時間: 2022-4-29 13:43

想請問一下9、10題，謝謝

作者: thepiano 時間: 2022-4-29 14:25 標題: 回復 14# Joanna 的帖子

第 9 題
假設小明每天記錄天氣情況，若沒下雨則記為\(S\)，下雨則記為\(R\)。如果某幾天紀錄為\(SS\underline{R}SSS\underline{RRR}SS\underline{R}SSS\)，則連續下雨天的次數為3，此時我們記為\(r=3\)。請注意，即使兩天沒下雨只夾一天下雨，那個下雨天也視為1次連續下雨。若二月份中，有16天下雨且12天沒下雨，求\(r=5\)時所有可能排列個數　　　。
[解答]
設第 m 次連續下雨的天數為 a_m (1 ≦ a_m ≦ 12，m = 1 ~ 5)
a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 16 的正整數解
即 b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 11 的非負整數解 (0 ≦ b_m ≦ 11，m = 1 ~ 5)
有 H(5，11) 組

5 次連續下雨之間有 4 次未連續下雨
第一次連續下雨之前，和第五次連續下雨之後，也可能未連續下雨
設第 n 次連續未下雨的天數為 c_n (1 ≦ c_m ≦ 9，m = 2 ~ 5，0 ≦ c_m ≦ 8，m = 1、6)
c_1 + c_2 + c_3 + c_4 + c_5 + c_6 = 12
即 d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 + d_6 = 8 的非負整數解 (0 ≦ d_m ≦ 8，m = 1 ~ 6)
有 H(6，8) 組

所求 = H(5，11) * H(6，8)

作者: Ellipse 時間: 2022-4-29 16:43

引用:

原帖由 Joanna 於 2022-4-29 13:43 發表
想請問一下9、10題，謝謝

#10
設\(\sqrt{-1}=i\)且複數\(z\)和\(w\)滿足\(|\;z|\;=3\)及等式\(\displaystyle zw+\frac{1}{2}wi=3i-\frac{1}{2}\overline{w}i+z\)，其中\(\overline{w}\)為\(w\)的共軛複數。令\(\left| w-\frac{1}{2} \right|\)的最大值為\(M\)、最小值為\(m\)，求數對\((M,m)=\)　　　。
[解答]
z*w+(1/2)w*i=3i-(1/2)ŵ*i +z (ŵ表示w bar)
z(w-1)=i [ 3-1/2(ŵ+w) ] (令w=x+y*i)
3* √[(x-1)² +y²] = |3- x|
整理得(x-3/4)² / (9/16) + y² /(1/2)=1
w所形成圖形為一個橢圓Γ,中心(3/4,0)
令a² =9/16 ,b²=1/2 ,c² =a²-b²=9/16-1/2 =1/16
a=3/4 ,c=1/4,所以Γ的其中一個焦點為F1(3/4-1/4,0)=(1/2,0)
則所求|w-1/2|的
最大值M=a+c=3/4+1/4=1
最小值m=a-c=3/4-1/4=1/2
數對(M,m)=(1,1/2)

作者: ChuCH 時間: 2022-5-2 09:07

請教第11題

作者: PDEMAN 時間: 2022-5-2 09:50 標題: 回復 17# ChuCH 的帖子

求雙曲線\(-x^2+y^2=1\)及兩直線\(x=1\)、\(x=\sqrt{3}\)所圍封閉區域面積　　　。
[解答]
\(\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{3}}\sqrt{1+x^2}dx=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\sec^3\theta d\theta=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\sec\theta d(\tan{\theta})\)
\(\displaystyle =\sec{\theta}\tan{\theta}-\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\sec{\theta}\tan^2{\theta}d\theta\)
\(\displaystyle =\sec{\theta}\tan{\theta}-\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\sec\theta(\sec^2\theta-1)d\theta\)
\(\displaystyle \Rightarrow\int\sec^3\theta d\theta =\frac{1}{2}(\sec\theta\tan\theta +\int sec\theta d\theta+C)\)
(\(\displaystyle \int sec\theta d\theta=\int \sec\theta \frac{\sec\theta+\tan\theta}{\sec\theta+\tan\theta}d\theta=\int \frac{1}{\sec\theta+\tan\theta} d(\sec\theta+\tan\theta)=\ln |\sec\theta+\tan\theta|+c\))
最後代入上下限\(\times 2\)

圖片附件: geogebra-export.png (2022-5-2 09:55, 284.76 KB) / 該附件被下載次數 2738
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6344&k=fa4d594ca0f99797f08571a5d276ceb0&t=1769623983

作者: PDEMAN 時間: 2022-5-2 10:22 標題: 回復 19# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師

作者: thepiano 時間: 2022-5-2 10:24 標題: 回復 19# PDEMAN 的帖子

您解題的速度實在太快了，小弟望塵莫及

作者: PDEMAN 時間: 2022-5-2 10:29 標題: 回復 20# thepiano 的帖子

鋼琴老師客氣了!

作者: r91 時間: 2022-5-3 09:37

請問一下老師:填充1的做法

作者: thepiano 時間: 2022-5-3 11:14 標題: 回復 22# r91 的帖子

填充第 1 題
全班42人搭遊覽車出遊，每位同學事先都安排好座位，上車就坐時，同學依序排隊進入車廂，找好自己的位子，大華第一位進入車廂，他昨晚沒睡好，腦袋昏沉的隨便找一個位子坐，如果他坐到別人的位子(比如阿花)，阿花就得隨機找一個位子坐下，已知全班只有大華有"沒睡好"的問題，那麼第4位進入車廂的同學坐到自己座位的機率為　　　。
[解答]
假設排隊順序依序是大華、B、C、D、......
題目要求 D 坐到自己位子的機率
分以下幾種情形討論：

(1) 大華沒坐到 B、C、D 的位子
機率 = 39/42

(2) 大華坐到 B 的位子，B 沒坐到 C 也沒有坐到 D 的位子
機率 = (1/42)(39/41)

(3) 大華坐到 B 的位子，B 坐到 C 的位子，C 沒坐到 D 的位子
機率 = (1/42)(1/41)(39/40)

(4) 大華坐到 C 的位子，B 坐到自己的位子，C 沒坐到 D 的位子
機率 = (1/42)(39/40)

所求 = 39/42 + (1/42)(39/41) + (1/42)(1/41)(39/40) + (1/42)(39/40) = 39/40

作者: jim1130lc 時間: 2022-5-3 14:06 標題: 回復 22# r91 的帖子

也可以考慮反面做法

因為B、C、D都是大華坐到自己的位子才會隨機坐

1- 大華坐到D的位子-大華坐到B的位子且B坐到D的位子-大華坐到B的位子且B坐到C的位子且C坐到D的位子-大華坐到C的位子且C坐到D的位子(此時B會坐自己的位子)
=1-1/42-(1/42)(1/41)-(1/42)(1/41)(1/40)-(1/42)(1/40)
=39/40

作者: r91 時間: 2022-5-3 15:09

謝謝thepiano、jim1130lc兩位老師的詳解

作者: nnkuokuo 時間: 2022-5-5 09:27 標題: 回復 3# craig100 的帖子

請問老師
x=w,x=w^2,...帶入，怎麼看出p(1)=0

作者: craig100 時間: 2022-11-23 12:50 標題: 回覆 26# nnkuokuo 的帖子

全部相加
再利用 1+w+w^2+...+w^2023=1

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0