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標題: 111中科實中 [打印本頁]

作者: Jimmy92888 時間: 2022-4-23 21:20 標題: 111中科實中

中科實中題目

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作者: Ellipse 時間: 2022-4-23 21:28

引用:

原帖由 Jimmy92888 於 2022-4-23 21:20 發表
中科實中題目

看到那些英文字,腦海想起了大學/研究所的期中/期末考題.....
很明顯的題目由兩位以上教授/老師出題再併題....

作者: bugmens 時間: 2022-4-24 07:41

1.
Let \(\displaystyle f(x)=\frac{25^x}{25^x+5}\). Calculate \(\displaystyle f\left(\frac{1}{221}\right)+f\left(\frac{2}{221}\right)+\ldots+f\left(\frac{220}{221}\right)+f\left(\frac{221}{221}\right)=\)　　　。
我的教甄準備之路　頭尾相加為定值https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid25489

作者: peter0210 時間: 2022-4-25 14:30

填充14
設集合\(A=\{\;1,2,3,4,5,6 \}\;\)，取出集合\(A\)的三個非空子集，若滿足此三個集合的交集為空集合，且兩兩交集均不為空集合，則此三個非空子集的取法有　　　種。
[解答]
分類討論 20+270+1230+1890=3410
想請教各位老師，是哪個case多算了呢？

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作者: sliver 時間: 2022-4-25 16:54 標題: 回復 4# peter0210 的帖子

我與老師您的方法不同
算出的答案也是3410

用你的方法驗算你的各項也正確

作者: tsusy 時間: 2022-4-25 17:19 標題: 回復 4# peter0210 的帖子

填充14.
設集合\(A=\lbrace1,2,3,4,5,6 \rbrace\)，取出集合\(A\)的三個非空子集，若滿足此三個集合的交集為空集合，且兩兩交集均不為空集合，則此三個非空子集的取法有　　　種
[解答]
3410 +1

依兩兩交集的元素個數分類，剩下的元素可放入恰一個集合包含或均不放入(四種選擇)
(1,1,1)： \( C^6_3 \times 4^3 =1280\)
(2,1,1)： \( C^6_2 C^4_2 \times 4^2 =1440\)
(2,2,1)： \( \frac{C^6_2 C^4_2}{2} C^2_1\times 4 =360\)
(3,1,1)： \( C^6_3 C^3_2 \times 4 =240\)
(4,1,1)： \( C^6_4 C^2_2 =15\)
(3,2,1)： \( C^6_3 C^3_2 C^1_1=60\)
(2,2,2)： \( C^6_2 C^4_2 C^2_2 \times \frac{1}{3!} =15\)
以上總計 3410

作者: peter0210 時間: 2022-4-25 21:28

填充14
設集合\(A=\lbrace1,2,3,4,5,6 \rbrace\)，取出集合\(A\)的三個非空子集，若滿足此三個集合的交集為空集合，且兩兩交集均不為空集合，則此三個非空子集的取法有　　　種
[解答]
另解

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作者: ㄨㄅㄒ 時間: 2022-5-13 16:07

14.
設集合\(A=\lbrace1,2,3,4,5,6 \rbrace\)，取出集合\(A\)的三個非空子集，若滿足此三個集合的交集為空集合，且兩兩交集均不為空集合，則此三個非空子集的取法有　　　種
[解答]
排容，算式比較精簡，但考場中算不出來，因為數字實在太大

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作者: cyxhola 時間: 2022-9-20 22:18

想請教版上老師們填充8和9
謝謝

作者: thepiano 時間: 2022-9-21 10:26 標題: 回覆 9# cyxhola 的帖子

填充第 8 題
坐標平面上有一三角形\(ABC\)，直線\(AB\)所在的方程式為\(2x-y+2=0\)，直線\(AC\)所在的方程式為\(2x+y-6=0\)，若\(\Delta ABC\)的外心為\(O(0,-3)\)，且點\(O\)關於\(\overline{AB}\)的對稱點為\(D\)，點\(O\)關於\(\overline{BC}\)的對稱點為\(E\)，點\(O\)關於\(\overline{AC}\)的對稱點為\(F\)，則\(\overline{EF}\)長度為　　　
[提示]
求出 A 點和 B 點的座標
設 AC 中點 M，BC 中點 N
易知 EF = 2MN = AB

作者: thepiano 時間: 2022-9-21 11:09 標題: 回覆 9# cyxhola 的帖子

第 9 題
設\(i=\sqrt{-1}\)，複數\(\displaystyle z=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{10}\)，若\(\displaystyle \sum_{k=n}^{\infty}|\;z^{k+1}-z^k|\;<10^{-20}\)，則最小自然數\(n=\)　　　
[解答]
Σ|z_(k+1) – z_k|
= Σ|z|^k * |z – 1|
= Σ(3/5)^k * (7/5)
= (5/2)(3/5)^n * (7/5)

(3/5)^n * (7/2) < 10^(-20)
剩下的就簡單了

作者: cyxhola 時間: 2022-9-21 22:39 標題: 回覆 10# 11# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師！

作者: enlighten0626 時間: 2022-9-29 11:04

請教填充16 & 計算2 (1)

作者: thepiano 時間: 2022-9-29 11:49 標題: 回覆 13# enlighten0626 的帖子

計算2 (1)
設\(f(x)=ax^2+bx+c\)為二次實係數多項式，若\(\alpha,\beta\)為\(f(x)=0\)之二實根，且\(\alpha<\beta\)。
而\(g(x)\)領導係數為\(-1\)的三次實係數多項式，且\(g'(\alpha)=g'(\beta)=0\)，則：
(1)若函數\(y=f(x)\)在\(x=2\)有極值為\(-9\)，且\(y=f(x)\)與\(x\)軸所圍成的封閉區域面積為36，試求二次函數\(f(x)\)。
(2)承(1)，若函數\(y=g(x)\)的圖形通過坐標原點，且函數\(y=g(x)\)在區間\([-1,0]\)與\(x\)軸圍成的圖形為\(R\)。若將\(R\)繞\(x\)軸旋轉一圈，試求所得到的旋轉體體積。
[解答]
令 f(x) = a(x - 2)^2 - 9 = ax^2 - 4ax + (4a - 9)
令 f(x) = 0 之兩根為 2 - k 和 2 + k
(2 - k)(2 + k) = (4a - 9)/a
ak^2 = 9

∫[ax^2 - 4ax + (4a - 9)]dx (從 2 - k 積到 2 + k) = -36
(2/3)ak^3 - 18k = -36
6k - 18k = -36
k = 3
a = 1

所求 f(x) = x^2 - 4x - 5

作者: thepiano 時間: 2022-9-29 13:07 標題: 回覆 13# enlighten0626 的帖子

第 16 題
設\(A(-1,1,3)\)、\(B(1,2,3)\)、\(C(2,0,4)\)、\(D(1,1,1)\)，若平面\(E\)包含\(\overline{AB}\)，且將四面體\(ABCD\)切成兩部分，當平面\(E\)與四面體所截出的截面\(PAB\)的面積有最小值，點\(P\)的坐標為　　　
[解答]
截面積最小，表示 CD 上的點 P 到 AB 的距離最小
設 PQ 垂直 AB 於 Q
P(2 + t，-t，4 + 3t)、Q(1 + 2s，2 + s，3)
PQ^2 = (t - 2s + 1)^2 + (-t - s - 2)^2 + (3t + 1)^2
= 11t^2 - 2st + 5s^2 + 12t + 6
= 5(s - t/5)^2 + (54/5)(t + 5/9)^2 + 8/3
t = -5/9，s = -1/9 時，PQ 有最小值
此時 P(13/9，5/9，7/3)

作者: enlighten0626 時間: 2022-9-29 21:40

感謝鋼琴老師指導

作者: 小呆 時間: 2024-1-4 11:54

請教老師們填充#11。

作者: Lopez 時間: 2024-1-4 19:02 標題: 回覆 17# 小呆的帖子

填充 #11

圖片附件: Sol_0104.png (2024-1-4 19:02, 38.69 KB) / 該附件被下載次數 251
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6835&k=88f55fc21c90ff2a8a36ea146420dc88&t=1714044833

作者: 小呆 時間: 2024-1-4 20:37 標題: 回覆 18# Lopez 的帖子

原來如此！非常謝謝Lopez老師的解答！

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