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標題: 111新竹女中 [打印本頁]

作者: Almighty 時間: 2022-4-21 01:03 標題: 111新竹女中

一、填充題
二、計算證明題
1. 證明幾何分布的變異數
2. 目前為0A4B，請給出一個策略並可在三次內完成
3. (待定)

時間90分鐘
進複試門檻：35分

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作者: zidanesquall 時間: 2022-4-21 09:19

竹女已經上傳官方版

111.4.21補充
將題目移到第一篇文章

作者: bugmens 時間: 2022-4-21 12:24

　

作者: satsuki931000 時間: 2022-4-21 19:22

寫過最難的一份考卷.....小弟只能拋磚引玉寫幾題會的提供想法給各位參考

2.
令二階方陣\(E_k=\left[\matrix{cosk^{\circ}&sink^{\circ}\cr sink^{\circ}&-cosk^{\circ}}\right]\)，則2022個方陣的乘積\(E_1E_2E_3\ldots E_{2002}=\)　　　。
[解答]
\(\displaystyle E_kE_{k+1}\)可以合成一個順時針旋轉\(1^{\circ}\)的旋轉矩陣，共有1011組，取同界角為\(69^{\circ}\)

4.
五邊形\(ABCDE\)，在頂點\(A\)有一隻青蛙，每次青蛙會隨機往一個相鄰的頂點跳躍(也就是往相鄰的機率皆為\(\displaystyle \frac{1}{2}\))，當再跳到\(A\)的時候即停止跳動。則該青蛙跳躍次數的期望值為　　　。
[解答]
假設從B，E到A的期望值為x C，D到A的期望值為y
可以列式 \(\displaystyle x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1+y) , y=\frac{1}{2}(1+x)+\frac{1}{2}(1+y)\)
解得\((x,y)=(4,6)\)
因為從A出發的第一步必得是往B或是E，所以所求為4+1=5

5.
已知平面上三點\(A(8,9)\)、\(B(40,136)\)、\(C(103,90)\)，則在\(\Delta ABC\)內部(不包含邊界)有　　　個格子點。
[解答]
用皮克定理: \(\displaystyle A=n+\frac{1}{2}S-1\)，其中 S為邊上格子點數量，n為內部格子點數量
這題數字也算是有配好，因為可以發現邊上的格子點，除了頂點外根本沒有，所以S=3
剩下的就只能真的土法煉鋼硬算面積了
\(\displaystyle \frac{9473}{2}=\frac{3}{2}+n-1 \Rightarrow n=\frac{9472}{2}=4736\)

10.
已知\(I\)為\(\Delta ABC\)的內心，且\(4\vec{IB}+4\vec{IC}=-5\vec{IA}\)，設\(R\)，\(r\)分別為\(\Delta ABC\)的外接圓半徑與內切圓半徑，若\(r=15\)，則
\(R\)之值為　　　。
[解答]
很笨的方法直接改寫向量 \(\displaystyle \vec{AI}=\frac{4}{13}\vec{AB}+\frac{4}{13}\vec{AC}\)
延長\(\displaystyle \overline{AI}\)交\(\overline{BC}\)於D
可得\(\displaystyle \overline{AI}:\overline{ID}=8:5\) ，直接設\(\displaystyle \overline{AI}=8,\overline{ID}=5\)
接下來即可求出邊長比\(\displaystyle a:b:c=5:4:4\)
利用\(\displaystyle \frac{R}{r}=\frac{abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)}\)，即可求出\(R=32\)

好幾題回去想才發現根本沒那麼難... 90分鐘真的夠趕...

作者: PDEMAN 時間: 2022-4-21 20:39

第一題
下圖的積木為索碼立方體中的其中一塊元件，它是由四塊小正方體組成。假設小正方體的邊長為1，則將這個元件平穩地置於桌面上時，它所有可能高度的最大值為　　　。(下面示意圖的高度為2)
附圖

第九題:
有一台電腦每秒以相同的機率輸出一個數字1或\(-1\)，若令\(p_n\)為輸出的前\(n\)個數字和為3的倍數之機率，則\(p_n\)的一般式為　　　。(以\(n\)表示)
[答案]
\(p_{n}=\frac{1}{2}(1-p_{n-1})\)

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作者: yosong 時間: 2022-4-21 22:17

填充第八題
在下圖\(3\times 3\)方格表中，每一個方格均被塗上藍、黃、紅、黑四種顏色之一，相鄰方格不同色，若該方格表中恰有兩格塗上藍色，且藍色不可塗在中間及角落方格上(標號奇數的位置)，則符合條件的著色方法有　　　種。
１２３
４５６
７８９
[解答]
分享自己的解法提供參考
題目的黃紅黑很難寫我直接改成ABC應該比較好判讀

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作者: thepiano 時間: 2022-4-21 22:54

計算第 3 題
在正十邊形中，連接其中七條對角線，使其分割成八個互不重疊的三角形，這種分割方式我們將其稱之為正十邊形的三角化。請問在正十邊形中，有幾種三角化的方式，會使得分割出來的八個三角形中恰有一個銳角三角形。
[解答]
那個唯一的銳角三角形，是圖中黃色三角形
分左圖和右圖兩種情形討論

左圖的綠色五邊形有 5 種分成 3 個鈍角三角形的方法
右圖的紅色四邊形有 2 種分成 2 個鈍角三角形的方法

故左圖有 5 * 5 * 1 = 25 種分法，右圖有 2 * 2 * 5 = 20 種分法

由於每圖都可旋轉出 10 種，故所求 = (25 + 20) * 10 = 450 種分法

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作者: peter0210 時間: 2022-4-22 14:54

填充7
平面上的點\(P(x,y)\)滿足
(i)\(x^2\le 1\)；
(ii)從\(P\)點可向\(y=2x^3+6x^2-1\)的圖形作出三條相異切線，
則滿足上述條件之\(P\)點所形成的區域面積為　　　。
[解答]

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作者: BambooLotus 時間: 2022-4-22 17:27

填充12.
在正方體\(ABCD-EFGH\)中，\(M\)為\(\overline{GH}\)中點，平面\(AFM\)將正方體分割成體積為\(V_1\)、\(V_2\)的兩部分(其中\(V_1\le V_2\))，則\(\displaystyle \frac{V_1}{V_2}\)的值為　　　。
[解答]
這種題目首要目標就是找出切面方程式\(x-2y+2z=2\)
然後對著每一條邊長找出交點，超過的就畫延長線找交點
這題比去年南女簡單一點不需要找\(y\)軸上的點就可以求體積
最後就是想辦法拿大四面體扣除外面的小四面體了
\(\displaystyle V_1=\frac{1}{2}\times4\times2\times2\times\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\times2\times1\times1\times\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\)

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作者: peter0210 時間: 2022-4-23 20:15

填充11，取得到面積的最大值嗎？

作者: thepiano 時間: 2022-4-23 23:17 標題: 回復 10# peter0210 的帖子

第11題
已知拋物線\(\Gamma\)：\(y^2=x\)與圓\(C\)：\((x-4)^2+y^2=r^2(r>0)\)相交於\(P\)、\(Q\)、\(R\)、\(S\)四點。則
(1)\(r\)的範圍為　　　
(2)四邊形\(PQRS\)面積為最大時，兩對角線\(PR\)、\(QS\)的交點坐標為　　　。
[提示]
\(\displaystyle r=\frac{\sqrt{527}}{6}\)時，\(PQRS\)有最大值\(\displaystyle \frac{28}{9}\sqrt{42}\)

作者: lovejade 時間: 2022-5-4 10:26 標題: 回復 8# peter0210 的帖子

請問積分最後的上下界是如何計算的呢?

作者: r91 時間: 2022-5-4 13:47

請問一下老師第6題

作者: thepiano 時間: 2022-5-4 15:53 標題: 回復 13# r91 的帖子

第 6 題
在凸四邊形\(ABCD\)中，已知\(\angle DAC=12^{\circ}\)、\(\angle CAB=36^{\circ}\)、\(\angle ABD=48^{\circ}\)、\(\angle DBC=24^{\circ}\)，則\(\angle BDC=\)　　　。
[解答]
見圖

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作者: r91 時間: 2022-5-5 09:25

謝謝老師

作者: BambooLotus 時間: 2022-5-5 09:40

鋼琴老師上面的圖把角度都標出來了就可以補個角元賽瓦定理
6. 令\(\angle BDC=\theta,\angle ACD=84^\circ-\theta\)
\(\sin36^\circ\sin24^\circ\sin(84^\circ-\theta)\sin84^\circ=\sin12^\circ\sin48^\circ\sin72^\circ\sin\theta\)
套一個\(\displaystyle\sin\theta\sin(60^\circ-\theta)\sin(60^\circ+\theta)=\frac{1}{4}\sin3\theta\)
化簡得\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{4}\sin72^\circ\sin(84^\circ-\theta)}{\displaystyle\frac{1}{4}\sin36^\circ\sin\theta}=\frac{2\cos36^\circ\sin(84^\circ-\theta)}{\sin\theta}=\frac{\sin54^\circ\sin(84^\circ-\theta)}{\sin30^\circ\sin\theta}=1\)，易知\(\theta=54^\circ\)
最後半段找\(\theta\)如果需要完整過程就要用積化和差再打開，不麻煩但是填充題不需要

作者: Gary 時間: 2022-6-16 17:03 標題: 可以問一下第三題怎麼寫嗎？想好久感謝老師

如題

作者: satsuki931000 時間: 2022-6-16 20:10 標題: 回覆 17# Gary 的帖子

在\(C_0^{2022}\)、\(C_1^{2022}\)、\(C_2^{2022}\)、\(\ldots\)、\(C_{2022}^{2022}\)這2023個數之中，有　　　個數是3的倍數。
[解答]
題目等同詢問哪些數在模3之下為0
考慮\(2022=(2202220)_3\)，若\(k=(abcdefg)_3\)
則\(\displaystyle C^{2022}_k \equiv C^2_a C^2_b C^0_c \cdots C^0_g (mod 3)\)

若\(c=g=0\)則 \(\displaystyle C^{2022}_k\)必不為3的倍數
即\(a,b,d,e,f\)有\(0,1,2\)三種選法，共有243種

所求為2023-243=1780

作者: anyway13 時間: 2022-6-26 17:51 標題: 請教填充11

板上老師好

請問填充11第二小題有沒有比較快的作法得到對角線交點座標

附件適硬做的過程不過微分實在是有點複雜 (考場上也是這樣做嗎...)

爾且計算還卡很久

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作者: thepiano 時間: 2022-6-27 06:11 標題: 回覆 19# anyway13 的帖子

第 11 題
已知拋物線\(\Gamma\)：\(y^2=x\)與圓\(C\)：\((x-4)^2+y^2=r^2(r>0)\)相交於\(P\)、\(Q\)、\(R\)、\(S\)四點。則
(1)\(r\)的範圍為　　　
(2)四邊形\(PQRS\)面積為最大時，兩對角線\(PR\)、\(QS\)的交點坐標為　　　。
[解答]
參考小弟的做法
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=30575#p30575

作者: anyway13 時間: 2022-6-27 18:53 標題: 回覆 20# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師果然高明多了

作者: Superconan 時間: 2022-8-9 01:59

2. 若猜題者第 1 次猜 8013，出題者提示「0A4B」，請給出一個策略讓猜題者至多再三次可猜中數字。
---
印象中計算證明題第 2 題問的問題是這樣，想請問這題該怎麼解？

作者: thepiano 時間: 2022-8-9 10:26 標題: 回覆 22# Superconan 的帖子

計算證明第 2 題

8013 是 0A4B

第一次猜 8301，分成以下三種情形討論：

(一) 2A2B
第二次猜 0356，分成以下三種情形討論：
(1) 2A0B，第三次猜出答案 0381
(2) 1A1B，第三次猜出答案 1308
(3) 0A2B，第三次猜出答案 3801

(二) 1A3B
第二次猜 0385，分成以下三種情形討論：
(1) 2A1B，第三次猜出答案 1380
(2) 1A2B，第三次猜出答案 0831
(3) 0A3B，第三次猜出答案 3108

(三) 0A4B
第二次猜 3156，分成以下三種情形討論：
(1) 2A0B，第三次猜出答案 3180
(2) 1A1B，第三次猜出答案 0138
(3) 0A2B，第三次猜出答案 1830

作者: Superconan 時間: 2022-8-9 12:46 標題: 回覆 23# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師，我再仔細看看。

---

另外，謝謝 Almighty 老師提供計算證明題第 1 題、第 2 題的題目，我結合我的印象，將這兩題的敘述修完整一點，供大家參考。

備註：
1. 第 1 題是參考南一版課本敘述。
2. 第 2 題 1A2B 的遊戲規則是參考 110 桃園高中的題目敘述。
3. 此份檔案是直接將這兩題新增在學校公告版裡，並去除下方答案，方便大家練習。

附件: 111新竹女中試題(計算證明題1和2是記憶版).pdf (2022-8-9 12:46, 1.24 MB) / 該附件被下載次數 2060
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作者: Chen 時間: 2022-8-24 09:01 標題: 回覆 18# satsuki931000 的帖子

是否可請您詳細說明：

\( C^{2022}_k \equiv C^2_a C^2_b C^0_c \cdots C^0_g (mod 3) \)

自問自答一下，我找到了，是Lucas's Theorem.
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/% ... F%E5%AE%9A%E7%90%86

作者: Superconan 時間: 2023-1-28 12:58

請問填充第 13 題。

作者: Superconan 時間: 2023-3-18 10:20 標題: 回覆 23# thepiano 的帖子

請教老師，「(二) 1A3B」的詳細討論過程，我一直試不出來

圖片附件: 111新竹女中計算2.jpg (2023-3-18 10:20, 220.73 KB) / 該附件被下載次數 1022
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作者: thepiano 時間: 2023-3-19 10:08 標題: 回覆 27# Superconan 的帖子

之前的做法有一點疏漏，重新想一個方法，更新在第 23 樓，請參考

作者: Superconan 時間: 2023-3-19 10:31 標題: 回覆 23# thepiano 的帖子

請問老師，第一次猜 8301，以及「(一) 2A2B」後，第二次猜 0356 的想法是什麼？

作者: thepiano 時間: 2023-3-19 13:43 標題: 回覆 29# Superconan 的帖子

先選其中兩個數字 3 和 0，搭配兩個無關的數字 5 和 6
由於只剩兩次機會，這兩個數字不要同時改變位置，也不要都不改變位置
所以 3 維持百位，0 從百位或十位移至千位
接下來就看情況推出數字

這題第二次猜的數字最難決定，平常無聊想想就好，考試看到，先跳過！

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