標題: 111高雄女中 [打印本頁]

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作者: yosong    時間: 2022-4-17 18:38     標題: 111高雄女中

雄女好像沒有放題目在官網，自己記得前面四題，想說拋磚引玉，有考的老師們大家看能不能一起拼湊出整份題目！
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感謝swallow7103 老師提供大部分題目
小弟把題目彙整成pdf檔案,方便大家討論!
如果有打錯再跟我說!
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備註： 筆試最低錄取37分

附件: 111高雄女中(記憶版).pdf (2022-4-17 21:25, 132.13 KB) / 該附件被下載次數 3038
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作者: Ellipse    時間: 2022-4-17 18:40

引用:

原帖由 yosong 於 2022-4-17 18:38 發表
雄女好像沒有放題目在官網，自己記得前面四題，想說拋磚引玉，有考的老師們大家看能不能一起拼湊出整份題目！

#2 考古題: 利用科西不等式~~

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作者: swallow7103    時間: 2022-4-17 18:45

依往例雄女不曾公布題目，趁記憶猶新來跟大家分享。

※共14題計算證明題，1~12每題7分，13、14各8分。
1.數列\(<a_n> \)滿足\(a_1=1, a_{n+1}=\frac{1}{16} (1+4a_n +\sqrt(1+24a_n)) , \forall n \in \mathbb{N} \)，試求\( a_n\)的一般式。

2.設\( x_1, x_2, x_3, ..., x_n\)均為正實數，且\( \sum\limits_{k = 1}^{n}{x_k}=48, \sum\limits_{k = 1}^{n}{x_k^2}=36, \sum\limits_{k = 1}^{n}{x_k^3}=27 \)，求\( n \)。

3.方程式\( x^8+ax^4+1=0\)有四實根四虛根，且四個實根成等差數列，求\( a \)。

4.方程式\( (x^2+4x+3)^2 + k=0 \) 有一正根一負根及二虛根，試求\( k \)的範圍。

5.\[ \lim\limits_{m \to \infty} \lim\limits_{n \to \infty} [\frac{1+ \root n \of {1^n + 2^n} + \root n \of {2^n + 3^n} + \dots +\root n \of {(m-1)^n + m^n} }{m^2}] = ？\]

6.請問函數\( y=x^2\)和 \( y= 2x + 15 \)所圍的區域在 \( x=t \)和 \( x=t+1 \)間面積的最大值為何？

7.設\( f(a) = \lim\limits_{x \to a} \frac{1}{x-a} \int_a^x (2t-1)(t-2)^2  \mathrm{d} t \)，令 \( f(a) \)的極大值 \( M \)和極小值 \( m \)，求\( (M, m) \)。

8.拋物線\( y=x^2+1 \)和\( y=-(x-1)^2 \)的兩條公切線和兩圖形切於4個相異點，請問此4點所圍成的四邊形面積為何？

9.\( \Delta ABC\)的重心為\( G \)，過\( G \)作一直線分別交\( AB \)、\( AC \)於\( P, Q \)，請證明\( \Delta APQ \)的面積至少為\( \Delta ABC \)的九分之四。

10.(題目的數據太複雜，算完就忘了XD，以下僅提供大意)
令\( B \)是一個可對角化的\( 3 \times 3 \)矩陣且eigenvalues分別為\( 1, 1, 2 \)，令\( B^n \)的9個元素分別為\( a_1, a_2, a_3, \dots, a_9 \)，其中\( a_5 \)在正中間。計算
\[ \lim\limits_{n \to \infty } \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_9}{a_5} =？ \]

11.\( log_2 (x^2 + 20x) - log_2 (4x-3a-\frac{3}{2}) = 1 \)的\( x \)有唯一解，求\( a \)的範圍。

12.設\( cos\theta = \frac{1}{3} \)，令\( a_n = 3^n cos n\theta\)，證明 \( \forall n \in \mathbb{N} \)，\( a_n \)必為整數且不為3的倍數。

13.在 \( \Delta ABC \) 的\( AB, AC \)上各取一點 \( m, n \)，使得\( MB=BC=CN \)。令\( \Delta ABC \)的外接圓半徑、內切圓半徑分別為\( R, r \)，試求\( \frac{MN}{BC} \)。

14.(考場中沒想法所以沒寫，數字不太確定)
設\( x \geq y \geq z \geq w \geq 0 \)，\( 5x+4y+3z+6w=2013 \)，求\( x+y+z+w \)的最大值及最小值。

如有誤植還請各位網友不吝指正。

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作者: yosong    時間: 2022-4-17 19:45     標題: 回復 2# Ellipse 的帖子

請教橢圓老師，用柯西大概要怎麼做呢？我都只得到一些n的範圍，求不出確切的值，想了一段時間還是沒頭緒

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作者: zidanesquall    時間: 2022-4-17 19:52     標題: 回復 4# yosong 的帖子

\( \displaystyle((x_1^{\frac{1}{2}})^2+(x_2^{\frac{1}{2}})^2+\cdots+(x_n^{\frac{1}{2}})^2)((x_1^{\frac{3}{2}})^2+(x_2^{\frac{3}{2}})^2+\cdots+(x_n^{\frac{3}{2}})^2)\geq (x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^2 \)


因為 \(48\times 27=36^2 \)，等號成立，所以\( \displaystyle \frac{x_1^{\frac{3}{2}}}{x_1^{\frac{1}{2}}}= \frac{x_2^{\frac{3}{2}}}{x_2^{\frac{1}{2}}}=\cdots \frac{x_n^{\frac{3}{2}}}{x_n^{\frac{1}{2}}}=t \) 可以得到\( x_1^2=x_2^2=\cdots=x_n^2=t\)
再帶回去運算就可以解了..

看到橢圓老師的提示才想到怎麼做…我自己還在裡面亂推公式..

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作者: yosong    時間: 2022-4-17 19:56     標題: 回復 5# zidanesquall 的帖子

原來是這樣-.-我有寫出這條，但是竟然沒有往等號成立的方向走，謝謝解惑

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作者: cut6997    時間: 2022-4-17 20:41     標題: 回復 3# swallow7103 的帖子

最後一題是5x+4y+3z+6w=2013

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作者: swallow7103    時間: 2022-4-17 21:53     標題: 回復 7# cut6997 的帖子

感謝告知，已更正。

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作者: Ellipse    時間: 2022-4-17 23:38

#14   也算是考古題了
(1)當x=y=z= 671/4 ,w=0時
    x+y+z+w有最大值2013/4
(1)當x=2013/5 ,y=z=w=0時
    x+y+z+w有最小值2013/5

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作者: yuen1008    時間: 2022-4-18 14:46

想請教各位老師~第1,2題的解法。謝謝

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作者: thepiano    時間: 2022-4-18 16:04     標題: 回復 10# yuen1008 的帖子

第 1 題
令 b_n = √(1 + 24a_n) > 0
a_n = [(b_n)^2 - 1] / 24

代入原式整理可得
2b_(n+1) = b_n + 3
b_n = 3 + [(1/2)^(n - 2)]
剩下的就簡單了

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作者: yuen1008    時間: 2022-4-19 13:06     標題: 回復 11# thepiano 的帖子

謝謝！好厲害的方法！

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作者: bugmens    時間: 2022-4-19 16:56

1.
數列\(\langle a_n \rangle \)滿足\(\displaystyle a_1=1, a_{n+1}=\frac{1}{16} (1+4a_n +\sqrt{1+24a_n}) , \forall n \in \mathbb{N} \)，試求\( a_n\)的一般式。
(109中科實中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3347&page=1#pid21480)

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作者: 新手老師    時間: 2022-4-19 20:21     標題: 回復 2# Ellipse 的帖子

請問第6題

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作者: thepiano    時間: 2022-4-19 20:38     標題: 回復 14# 新手老師 的帖子

第 6 題
所圍區域的邊界上方是 y = 2x + 15

要積分的函數是 y = 2x + 15 - x^2
它在 x = 1 時有最大值
故 x 從 1/2 積到 3/2 時，面積有最大值

[ 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-19 20:41 編輯 ]

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作者: 新手老師    時間: 2022-4-19 21:02     標題: 回復 15# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師!

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作者: Ellipse    時間: 2022-4-19 22:21

引用:

原帖由 新手老師 於 2022-4-19 20:21 發表
請問第6題

∫ {t  to t+1}  (2x+15-x^2)dx
= -t^2+t+47/3
當t=1/2時,所求有最大值191/12

用GGB驗證一下答案如下

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2022-4-19 23:27 編輯 ]

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作者: swallow7103    時間: 2022-4-19 23:33     標題: #12

這題目前還沒人問但其實頗有難度，解題過程也很漂亮，小弟分成兩步驟，解如下：

(1) 證明：\( \cos (n+2)\theta =2\cos \theta \cos (n+1)\theta -\cos n\theta \)。
     利用和差角公式，計算可得\( \cos (n+1+1)\theta + \cos (n+1-1)\theta =2\cos \theta \cos (n+1)\theta \)。

(2)計算\( a_1 = 3 \times \cos\theta =3 \times \frac{1}{3} =1, a_2 = 3^2 \times \cos 2\theta =9 \times (-\frac{7}{9}) = -7, a_3 = 3^3 \times \cos 3\theta =27 \times (4 \times \frac{1}{27} - 3 \times \frac{1}{3}) = -23 \)
，所以 \(a_1, a_2, a_3 \)皆為不被3整除的整數。
假設\( a_{k+1}, a_k \)均為不被3整除的整數，利用(1)得到的 cos 遞迴式，可得
\( a_{k+2} = 3^{k+2} \cos (k+2)\theta
= 3^{k+2} (2\cos \theta \cos (k+1)\theta -\cos k\theta)
= 2 \times 3 \times \frac{1}{3} \times 3^{k+1} \cos (k+1)\theta - 9 \times 3^k \cos k\theta
= 2a_{k+1} - 9a_{k} \)，因\( a_{k+1}, a_k \)均為整數，故\( a_{k+2} \)也是整數，又因
\( 9a_{k}\)為3的倍數，但\( 2, a_{k+1} \)皆不是3的倍數，故\( a_{k+2} \)也不是3的倍數，因此由數學歸納法得證。     

如有錯誤或其他解法，請不吝指正或分享，感恩！

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2022-4-19 23:37 編輯 ]

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作者: q1214951    時間: 2022-4-20 01:44     標題: 想請問第十三題

想請教第十三題，非常謝謝！

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作者: thepiano    時間: 2022-4-20 09:19     標題: 回復 19# q1214951 的帖子

第 13 題
2005 APMO Problem 5

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作者: Carl    時間: 2022-4-20 12:42     標題: 第12題

第12題，用複數的極式的概念去做，供大家參考
ps：證明非3的倍數感覺不太俐落

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作者: q1214951    時間: 2022-4-20 12:52     標題: 回復 20# thepiano 的帖子

謝謝thepiano老師，老師太厲害了！

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作者: sliver    時間: 2022-4-20 16:04

13. 用餘弦的做法
主要想法是把MN用 a,b,c表示
努力整理後盡可能整理成a+b+c , abc  這些跟R,r 三角形面積有關的式子

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作者: yuen1008    時間: 2022-5-16 10:17     標題: 請教#3,4題

謝謝~

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作者: yuen1008    時間: 2022-5-16 10:24     標題: 請教#11 題

化簡題目可得：log(x^2+20x/4x-3a-3/2)=log2
x^2+20x/4x-3a-3/2=2，當x有唯一解時，利用判別式等於0，a的值不是有唯一的值嗎?
為何是求範圍呢?^^"

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作者: thepiano    時間: 2022-5-16 13:17     標題: 回覆 25# yuen1008 的帖子

第 11 題
a = 11/2 時，x = -6
但 x^2 + 20x > 0
x > 0 或 x < -20

畫出 y = x^2 + 20x (其中 x > 0 或 x < -20) 的圖形
再畫出 y = 8x - 6a - 3，這是斜率為 8 的直線
可觀察出 -163/6 ≦ a < -1/2 時，兩圖形恰有一交點

[ 本帖最後由 thepiano 於 2022-5-16 13:20 編輯 ]

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作者: yuen1008    時間: 2022-5-17 09:20     標題: 回覆 26# thepiano 的帖子

原來如此~謝謝老師！

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作者: yuen1008    時間: 2022-5-17 09:49     標題: 回覆 26# thepiano 的帖子

不好意思~再請教第3,4題，可以提供一些想法嗎?謝謝老師!

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作者: tsusy    時間: 2022-5-17 11:43     標題: 回覆 28# yuen1008 的帖子

填充3. 令 \( t = x^4 \)
則 \( t^2 + at +1 = 0 \)
令 \( t_1, t_2 \) 為 \( t^2 + at +1 = 0 \) 之兩根，顯然 \( t_1 \neq 0 \), \( t_2 \neq 0 \)

則原 \( x^8 + ax^4 +1 = 0\) 可分解為 \( (x^4 - t_1)(x^4 - t_2) = 0\)
若 \( t_1 \) 為負實數或虛數，則 \( x^4 - t_1 =0 \) 沒有實根。
若 \( t_1 \) 為正實數，則 \( x^4 - t_1 =0 \) 有兩實根。
類似地， 針對 \( t_2 \) 有類似的結果。

因此在題幹方式程有四個實根的情況， \( t_1, t_2 \) 均為正實數
此四個實根為 \( \pm \sqrt[4]{t_1}, \pm \sqrt[4]{t_2} \)
又此四實根等差，故可改寫為 \( \pm 3b, \pm b \)

因此 \( x^8 + ax^4 +1 = (x^4-81b^4)(x^4-b^4) \Rightarrow b = \frac{1}{\sqrt{3}}, a = - 9 - \frac19 = -\frac{82}{9} \)

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作者: thepiano    時間: 2022-5-17 12:05     標題: 回覆 28# yuen1008 的帖子

第 4 題
畫 y = -(x^2 + 4x + 3)^2 和 y = k 的圖
看何時有兩交點，且兩交點分別在 y 軸的兩邊

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作者: yuen1008    時間: 2022-5-19 10:27     標題: 回覆 30# thepiano 的帖子

y = -(x^2 + 4x + 3)^2的圖該怎麼畫呢?....^^"
如果用討論的：
(x^2 + 4x + 3)^2 =- k（所以 k<0）
則x^2 + 4x + 3=正的根號-k  或 x^2 + 4x + 3=負的根號-k
前式兩根一正一負，後式的兩根為兩虛跟，再用判別式求去k的範圍。
請問這樣觀念有錯嗎?謝謝。

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作者: yuen1008    時間: 2022-5-19 10:28     標題: 回覆 29# tsusy 的帖子

謝謝老師!

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作者: thepiano    時間: 2022-5-19 10:44     標題: 回覆 31# yuen1008 的帖子

微分找極值點，就可大略畫出 y = -(x^2 + 4x + 3)^2 的圖形

您那樣討論也可以用兩根之積為負，求出 k < -9 這個答案

圖片附件: 20220519.jpg (2022-5-19 10:44, 45.34 KB) / 該附件被下載次數 1036
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作者: yuen1008    時間: 2022-5-19 11:24     標題: 回覆 33# thepiano 的帖子

了解了！謝謝老師! ^^

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作者: satsuki931000    時間: 2022-5-21 21:52

14.
容易猜得出來要讓w=0，但不知道怎麼說明較OK

以下先說明，確定w=0的情形

最大值的部分
考慮\(5x+4y+3z=2013\)，因為\(x\geq y \geq z \geq 0\)
所以\(\displaystyle z\leq \frac{2013}{12}\)，等號成立在\(\displaystyle x=y=z=\frac{2013}{12}\)之時
此時\(x+y+z=3z\leq \frac{2013}{4}\)

最小值的部分
設\(y=z+p , p\geq 0\)，則\(\displaystyle x=\frac{2013-7z-4p}{5}\)
則\(\displaystyle x+y+z=\frac{2013+28z+16p}{5}\geq \frac{2013}{5}\)
等號成立在\(z=p=0\)，即\(\displaystyle x=\frac{2013}{5}, y=z=0\)

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作者: thepiano    時間: 2022-5-22 07:53     標題: 回覆 35# satsuki931000 的帖子

第 14 題
w = a，z = a + b，y = a + b + c，x = a + b + c + d，其中 a、b、c、d ≧ 0

5x + 4y + 3z + 6w = 18a + 12b + 9c + 5d = 2013
x + y + z + w = 4a + 3b + 2c + d

4(4a + 3b + 2c + d) = 18a + 12b + 9c + 5d - (2a + c + d) ≦ 2013
x + y + z + w = 4a + 3b + 2c + d ≦ 2013 / 4
等號成立於 a = c = d = 0，即 x = y = z = 2013 / 12，w = 0

5(4a + 3b + 2c + d) = 18a + 12b + 9c + 5d + (2a + 3b + c) ≧ 2013
x + y + z + w = 4a + 3b + 2c + d ≧ 2013 / 5
等號成立於 a = b = c = 0，即 x = 2013 / 5，y = z = w = 0

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作者: Superconan    時間: 2022-7-25 00:49

謝謝 swallow7103 老師和 yosong 老師提供題目，我補上第 10 題的數據，並將各題敘述修完整一點，供大家參考。

備註：
1. yosong 老師的檔案，第 7 題的 n 應改為 m 。
2. 初試當下的排版是 B4 一張兩頁。
3. 順便提供 A4 版本給需要的老師。

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作者: 哨義恆    時間: 2022-7-31 21:20

想請問各位老師
第10題的做法

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作者: Lopez    時間: 2022-8-1 12:22     標題: 回覆 38# 哨義恆 的帖子

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作者: 哨義恆    時間: 2022-8-8 18:46     標題: 回覆 39# Lopez 的帖子

原來是對角化
謝謝老師

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