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標題: 111台中一中 [打印本頁]

作者: swallow7103 時間: 2022-4-16 09:00 標題: 111台中一中

晚點應該會有官方版的題目，
經過一晚的慘烈廝殺，睡夢中仍在思考如何解題，因此先把計算題寫上來跟各路高手請教。

計算一
有一四面體 \( P-ABC \) ，已知 \( \overline{PA} 和\Delta ABC\) 所在的平面垂直，且\( \overline{PA}=\overline{AB}=2\)。自\( A點作\overline{PC}、\overline{PB} \)的垂線，垂足分別為\(E、F \)。若\( \Delta ACB \)是一個直角三角形且 \( \angle C=90^{\circ}，令\angle CPB=\theta \)，問：
(1) \( \Delta \text{AEF}\)的最大面積為何？
(2)承上，此時\( \tan(\theta)=？ \)

計算二
拋物線\( y^2=6x \)上有相異二點\( A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)\)，且\(x_1+x_2=4 \)，作\( \overline{AB} \)的垂直平分線交 \(x軸於C \)，請問：
(1) \( \text{C} \)的座標。
(2) 設\( M(x_0,y_0) 是\overline{AB} \)的中點，請問 \( y_0\)的範圍為何？
(3) 求\( \Delta \text{ABC}的最大面積。 \)

附件: 111臺中一中.pdf (2022-4-16 11:38, 272.79 KB) / 該附件被下載次數 7045
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附件: 111臺中一中(填充題參考答案).pdf (2022-4-16 11:38, 94.35 KB) / 該附件被下載次數 7059
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6242&k=811edc16fb2a3a2fc4d5c54bd38df1e1&t=1732250078

附件: 111台中一中計算與證明題簡答.pdf (2022-4-21 13:09, 57.5 KB) / 該附件被下載次數 6849
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6288&k=8f0426bc06f2dd2d88f3d314a5e5940f&t=1732250078

作者: peter0210 時間: 2022-4-16 14:40

第四題

圖片附件: 20220416_143502.jpg (2022-4-16 14:40, 33.69 KB) / 該附件被下載次數 3459
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6243&k=e83f492dfe4c1459e6b72abaedfcb055&t=1732250078

作者: bugmens 時間: 2022-4-16 14:44

一、填充題甲
3.
已知數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，首項\(\displaystyle a_1=\frac{1}{4}\)，且滿足\(a_n+3S_nS_{n-1}=0(n\ge 2,n\in N)\)，則\(\displaystyle \frac{1}{S_{2022}}=\)　　　。
[提示]
看到\(S_n\)，想到\(a_n=S_n-S_{n-1}\)
我的教甄準備之路　求數列一般項，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507

二、填充題乙
1.
設\(A_1A_2\ldots A_{111}\)為一單位圓的內接正111邊形，且\(P\)為此單位圓上任一點。試求\(\overline{PA_1}\times \overline{PA_2}\times \ldots \overline{PA_{111}}\)的最大值為　　　。

3.
已知\(\displaystyle A_n=\sum_{k=1}^n \frac{k\cdot 2^k}{(k+1)\cdot(k+2)}\)，\(\displaystyle B_n=\sum_{k=1}^n 2^k\)，\(n\in N\)，求滿足\(|\;(n+2)A_n-B_n|\;>2022\)之最小自然數\(n=\)　　　。

4.
設一數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}>a_n(n\in N)\)且\((a_{n+1})^2+(a_n)^2+1=2(a_{n+1}\cdot a_n+a_{n+1}+a_n)\)。令\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{na_n}=\)　　　。

數列 \(\left\{a_n\right\}\) 中，已知 \({a_1} = 2,{a_{n + 1}} > {a_n}\)，且 \(a_{n + 1}^2 + a_n^2 + 4 = 2{a_{n + 1}}{a_n} + 4{a_{n + 1}} + 4{a_n}\)，則一般項 \({a_n} = ?\)
(98師大附中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=735&page=1#pid1261)

7.
設\(a>0,b>0,c>0\)，求\(\displaystyle \frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}+17\)的最小值為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278

作者: peter0210 時間: 2022-4-16 15:30

二、填充2

圖片附件: 20220416_152804.jpg (2022-4-16 15:30, 91.17 KB) / 該附件被下載次數 3385
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6245&k=d9385bf243b1f72e6df84aa02b9ca6bc&t=1732250078

作者: thepiano 時間: 2022-4-16 16:10 標題: 回復 1# swallow7103 的帖子

計算第 2 題
(1)
\(\begin{align}
  & 直線 AB:y=mx+n \\
& {{\left( mx+n \right)}^{2}}=6x \\
& {{m}^{2}}{{x}^{2}}+\left( 2mn-6 \right)x+{{n}^{2}}=0 \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{2mn-6}{{{m}^{2}}}=4 \\
& n=\frac{3}{m}-2m \\
& y=mx+\frac{3}{m}-2m \\
\end{align}\)
\(\overline{AB}\)中點為\(M\left( 2,\frac{3}{m} \right)\)
垂直平分線：\(y-\frac{3}{m}=-\frac{1}{m}\left( x-2 \right)\)交\(x\)軸於\(C\left( 5,0 \right)\)
(2)
\(\begin{align}
  & {{y}_{0}}=\frac{3}{m} \\
& {{\left( 2mn-6 \right)}^{2}}-4{{m}^{2}}{{n}^{2}}>0 \\
& mn<\frac{3}{2} \\
& m\left( \frac{3}{m}-2m \right)<\frac{3}{2} \\
& m>\frac{\sqrt{3}}{2},m<\text{-}\frac{\sqrt{3}}{2} \\
& -2\sqrt{3}<{{y}_{0}}<2\sqrt{3} \\
\end{align}\)
(3)
直線\(AB\)交\(x\)軸於\(D\left( -\frac{n}{m},0 \right)\)
\(\begin{align}
  & \left\{ \begin{align}
  & {{y}^{2}}=6x \\
& y=mx+n \\
\end{align} \right. \\
& {{y}^{2}}=6\left( \frac{y-n}{m} \right) \\
& m{{y}^{2}}-6y+6n=0 \\
& {{y}_{1}}+{{y}_{2}}=\frac{6}{m},{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\frac{6n}{m} \\
& \Delta ABC=\frac{1}{2}\left| 5+\frac{n}{m} \right|\left| {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right|=\frac{1}{2}\left| 5+\frac{n}{m} \right|\sqrt{{{\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)}^{2}}-4{{y}_{1}}{{y}_{2}}} \\
& =3\left( 1+\frac{1}{{{m}^{2}}} \right)\sqrt{12-\frac{9}{{{m}^{2}}}} \\
&  \\
\end{align}\)
令
\(\begin{align}
  & t=\sqrt{12-\frac{9}{{{m}^{2}}}} \\
& \frac{1}{{{m}^{2}}}=\frac{4}{3}-\frac{{{t}^{2}}}{9} \\
& \Delta ABC=3\left( 1+\frac{4}{3}-\frac{{{t}^{2}}}{9} \right)t=-\frac{{{t}^{3}}}{3}+7t \\
\end{align}\)
最大值為\(\frac{14}{3}\sqrt{7}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-16 16:17 編輯 ]

作者: swallow7103 時間: 2022-4-16 16:38 標題: 回復 4# peter0210 的帖子

感謝第4題神提點，不然想破頭還是做不出來

填充(乙)第2題
作 \( \Delta BNC \)的外接圓後，由弦切角、圓周角可知\( \Delta ABN \)~\( \Delta ACB\)
故 \( \frac{AN}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}\)，
因此，令\( \overline{AC} =5a \)，可得\( \overline{AB}=4a \)、\( \overline{AN}=\frac{16a}{5}\)
再搭配孟氏定理\( \frac{BD}{CD} \times \frac{CA}{AN} \times \frac{MN}{BM} =1 \) 可得所求。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2022-4-16 16:40 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2022-4-16 17:20 標題: 回復 1# swallow7103 的帖子

計算第 1 題
(1)
關鍵是先說明 △AEF 是直角三角形 (∠E 是直角)
AF = √2，故 AE = EF = 1 時，△AEF 面積有最大值 1/2

(2)
求出 AC = 2/√3， PC = 4/√3，BC = 2√2/√3
又 PB = 2√2
故 △PCB 是直角三角形 (∠C 是直角)
tanθ = BC / PC = √2/2

作者: peter0210 時間: 2022-4-16 19:00

二、填充3

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作者: peter0210 時間: 2022-4-16 19:12

二、填充4

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作者: peter0210 時間: 2022-4-16 19:59

二、填充6

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作者: peter0210 時間: 2022-4-16 20:09

二填充7

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作者: PDEMAN 時間: 2022-4-16 20:18

甲填充1
乙填充1,5

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-17 22:09 編輯 ]

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作者: yosong 時間: 2022-4-16 23:27 標題: 填充（甲）第三題

提供自己的解法，有問題請不吝指教

圖片附件: 922392B7-924B-4641-A629-6ADB2723C8AE.jpeg (2022-4-16 23:28, 59.68 KB) / 該附件被下載次數 1728
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作者: anyway13 時間: 2022-4-17 01:11 標題: 請教第四題

版上老師好

請問第四題 Petet0210老師有提到根據阿波尼斯圓  得到E(1,0)

然後在將網路上有關阿波尼斯圓的定理拜讀一遍 https://kknews.cc/zh-tw/news/89n83zn.html

可是一值和定理兜不上  (腦袋打結了)  請問這道題  這裡的A(16,0) B(0,5) C(0,0) 哪兩個是指 https://kknews.cc/zh-tw/news/89n83zn.html 文章中所說的定點

不然  死記方法得E  畢竟沒搞懂

作者: PDEMAN 時間: 2022-4-17 08:51 標題: 回復 15# anyway13 的帖子

參考。是先考慮E點之後利用阿波羅尼斯圓（也就為了利用阿波羅尼斯圓造出E點

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-17 09:04 編輯 ]

圖片附件: 9BC861B7-9910-476F-95A1-F440E92D8681.jpeg (2022-4-17 08:51, 97.39 KB) / 該附件被下載次數 1862
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6256&k=c0dfea316dcf785e85a22784dbb1651e&t=1732250078

作者: PDEMAN 時間: 2022-4-17 08:54 標題: 回復 13# yosong 的帖子

我看了一下，您要不要在檢查一遍？

作者: yosong 時間: 2022-4-17 12:28 標題: 回復 17# PDEMAN 的帖子

抱歉我把後面寫的-1看成虛部，老師您是正確的！我刪除了

[ 本帖最後由 yosong 於 2022-4-17 12:32 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2022-4-17 19:42 標題: 回復 15# PDEMAN 的帖子

謝謝PDEMAN老師小弟再好好想想

作者: poemghost 時間: 2022-4-17 20:29 標題: 回復 12# PDEMAN 的帖子

乙填充的第5題，
請問如何保證 2∠A、2∠B、2∠C 總和會是180° (可形成三角形)？
一開始在作三角代換時
∠A、∠B、∠C 應該只能限制在 0°~90°
那兩倍之後，角度和就不一定會是 180° 了

作者: PDEMAN 時間: 2022-4-17 21:16 標題: 回復 19# poemghost 的帖子

感謝提問，已經把cot改成tan

作者: enlighten0626 時間: 2022-4-18 11:41

請教填充甲第二題

作者: thepiano 時間: 2022-4-18 12:49 標題: 回復 21# enlighten0626 的帖子

填充甲第 2 題
△PAB/△PAC = sin∠PAB/sin∠PAC = 2/3
sin∠PAB/sin(π/3 - ∠PAB) = 2/3
用和角公式展開可求出
sin∠PAB = √3/√19
sin∠PAC = 3√3/(2√19)

同理可求出
sin∠PBA = √3/√7
sin∠PCA = 3√3/(2√13)

最後用正弦定理可求出 PA^2：PB^2：PC^2 = 19：7：13

作者: Jimmy92888 時間: 2022-4-18 12:51 標題: 回復 21# enlighten0626 的帖子

過P點做平行三邊的平行線，會將三角形切割成三個正三角形與三個平行四邊形，利用餘弦定理得，
PA^2=2^2+3^2-2*2*3*cos120°=19
PB^2=2^2+1^2-2*2*1*cos120°=7
PC^2=1^2+3^2-2*1*3*cos120°=13

作者: enlighten0626 時間: 2022-4-18 20:41

謝謝以上老師的回覆

作者: satsuki931000 時間: 2022-4-18 22:34 標題: 回復 15# PDEMAN 的帖子

感謝PDEMAN老師的作法讓小弟恍然大悟
這邊容小弟詳細整理做法

反正重點就是，在y軸上找一個E點
讓題目給的圓軌跡\(\displaystyle x^2+y^2=16\)變成一個滿足\(\displaystyle \overline{AD}:\overline{DE}=4:1\)的阿波羅圓，由上面PDEMAN老師的圖形可以看出所求E為(0,1)

以下為驗算，考場可以不需要做這步
設\(\displaystyle D(x,y)\)，有\(\displaystyle \overline{AD}^2=16\overline{DE}^2\)
\(\displaystyle \Rightarrow x^2+(y-16)^2=16[x^2+(y-1)^2]\)
\(\displaystyle \Rightarrow x^2+y^2=16\) 符合題目給的圓軌跡
所以圓上任一D點滿足
\(\displaystyle \overline{AD}:\overline{DE}=4:1 \Rightarrow \frac{1}{4}\overline{AD}=\overline{DE}\)

之後就有最一開始Peter老師的寫法
所求為
\(\displaystyle \frac{1}{4}\overline{AD}+\overline{BD}=\overline{BD}+\overline{DE}\geq\overline{BE}=\sqrt{26}\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2022-10-9 13:46 編輯 ]

作者: lisa2lisa02 時間: 2022-4-19 10:29

想請教各位老師填充8、9，謝謝!

作者: thepiano 時間: 2022-4-19 13:24 標題: 回復 26# lisa2lisa02 的帖子

第 9 題
把質數由小到大依序排列，第 14 個是 43，第 15 個是 47
若取 1 和前 14 個質數的平方，則這 15 個數兩兩互質且其中無質數

接著證明，從正整數 1 ~ 2022 中任取 16 個兩兩互質的數，則此 16 個數中，必至少有一個質數

假設這 16 個兩兩互質的數中，沒有質數

(1) 這 16 個兩兩互質的數中有 1
若剩下的 15 個合數，分別是 a_1 ~ a_15，且其最小的質因數分別是 p_1 ~ p_15
其中 p_1 < p_2 < ... < p_15
由於 a_1 ~ a_15 互質
a_15 ≧ 47^2 = 2209，不合

(2) 這 16 個兩兩互質的數中沒有 1
證明同 (1)

故從正整數 1 ~ 2022 中任取 16 個兩兩互質的數，則此 16 個數中，必至少有一個質數

[ 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-23 14:02 編輯 ]

作者: PDEMAN 時間: 2022-4-19 17:17 標題: 回復 26# lisa2lisa02 的帖子

填充八

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-19 17:33 編輯 ]

圖片附件: 69290.jpg (2022-4-19 17:33, 306.64 KB) / 該附件被下載次數 1556
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6269&k=2688e415b467acc4462c33c590de5638&t=1732250078

作者: lisa2lisa02 時間: 2022-4-19 19:46

謝謝老師們的回覆!

作者: Jimmy92888 時間: 2022-4-20 21:03 標題: 回復 30# anyway13 的帖子

目前看起來，您的F點坐標應該是(1,0,1)

作者: anyway13 時間: 2022-4-21 02:37 標題: 回復 31# Jimmy92888的帖子

謝謝 Jimmy92888老師提點

已經更新計算過程

答案算出來和鋼琴老師一樣(老師寫短短  自己寫漏漏長)

唯一不同的事,得出E(1/2,-(根號2)/2,1/2)  (向量AE)(向量EF)內積是1,得不到是直角關係

如果哪裡算錯  請指正

[ 本帖最後由 anyway13 於 2022-4-21 11:15 編輯 ]

圖片附件: 238319.jpg (2022-4-21 11:15, 76.15 KB) / 該附件被下載次數 1433
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作者: Superconan 時間: 2022-4-21 13:07

學校公告計算與證明題簡答

111.4.21補充
將檔案移到第一篇文章

作者: thepiano 時間: 2022-4-21 13:31

引用:

原帖由 anyway13 於 2022-4-21 02:37 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23885&ptid=3621]
(向量AE)(向量EF)內積是1,得不到是直角關係

向量 AE = (1/2，-√2/2，1/2)，向量 EF = (1/2，√2/2，1/2)
內積是 0 喔

作者: koeagle 時間: 2022-4-21 15:31 標題: 回復 28# PDEMAN 的帖子

想請問 \( \frac{\pi}{12} \) 怎麼得到的？
若是以老師您的圖來看，好像是 \( \frac{\pi}{6} \)

作者: PDEMAN 時間: 2022-4-21 16:00 標題: 回復 34# koeagle 的帖子

\(p(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\) 高\( \frac{\sqrt{3}}{2}\) 對應為\(60^{\circ}\)
所以第一象限扇形的面積為\(\frac{1}{12}\pi\)
如果要看成一和四象限就\(\frac{1}{6}\pi\)

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-21 16:14 編輯 ]

作者: koeagle 時間: 2022-4-21 16:23 標題: 回復 35# PDEMAN 的帖子

謝謝老師，我一直想成角度 \( 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \) ，忘了是面積......

作者: jerryborg123 時間: 2022-4-21 17:47 標題: 回復 28# PDEMAN 的帖子

請問老師，如何知道從(2,0)做圓的切線所圍範圍皆可達到？
為何直線不是利用速度 2:1 畫 y=(-1/2)x+1 ？

作者: PDEMAN 時間: 2022-4-21 18:10 標題: 回復 37# jerryborg123 的帖子

作\( y=-\frac{1}{2}x+1\)會割到圓\(x^2+y^2=1\)
速度\(2:1\) 你可以令軌跡為\((x-2t)^2+y^2=(1-t)^2 \qquad 0\leq t\leq 1\) 則可以跑出右半圖型
最後再加設切線過\( (2,0)\) 利用半徑到切線距離即可求出切線

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-21 18:14 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2022-4-21 19:17 標題: 回復 33# thepiano的帖子

對ㄟ連驗算都弄錯了謝謝鋼琴老師

作者: koeagle 時間: 2022-4-21 20:05

想請教填充甲第5題，謝謝。

作者: PDEMAN 時間: 2022-4-21 20:18 標題: 回復 40# koeagle 的帖子

觀察 \(3+f(x)\geq f((x+1)+2)\geq f(x+1)+2\)和 \(f(x+1)+3\geq f((x+2)+2)+2\geq f(x)+2+2\)
推得 \(f(x)=f(x+1)-1\)
剩下就好算了

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-21 20:27 編輯 ]

作者: koeagle 時間: 2022-4-21 20:19 標題: 回復 41# PDEMAN 的帖子

謝謝 PDEMAN 老師。

作者: Chen 時間: 2022-4-23 13:51

請問第二大題的第8、9題，我覺得這兩道題目寫的不大清楚。

請知道題意的老師，可否說明一下題意？

作者: thepiano 時間: 2022-4-23 14:32

第 9 題
題目應該這樣出，比較容易懂
從正整數 1 ~ 2022 中“任”取 n 個兩兩互質的數，且此 n 個兩兩互質的數中，至少有一個質數，那 n 的最小值是多少？

當 n = 3，若任取的三個兩兩互質的數是 1、4、9，因這三個都不是質數，
所以這個例子說明 n 的最小值不是 3

作者: PDEMAN 時間: 2022-4-23 16:26

第8題
題目可以分成兩部分看
1.\(x=0 \) 一秒鐘可跑的範圍是\(x^2+y^2=1\)圓
2.\(x\neq 0 \) 時，則以\((2x,0) \) 為圓心半徑是\(y\)
因此左或右半面積會看起來像甜筒

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