標題: 數學營的習題 [打印本頁]

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作者: jmath2021    時間: 2022-3-23 16:17     標題: 數學營的習題

x,y,z是正整數
x+y-z=12
x^3+y^3-z^2=2022
解(x,y,z)
假設x>y 則x不能太大(這一點有無好的解釋)
11^3=1331,12^3=1728,13^3=2197,14^3=2744
我解出x=12,y=z=7
就教於各位高手 多謝

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作者: satsuki931000    時間: 2022-3-23 22:58     標題: 回復 1# jmath2021 的帖子

分享一下小弟的做法 有點暴力 看看有沒有更好的解法

移項可得\(\displaystyle x+y=12+z , x^3+y^3=2022+z^2\)

利用立方和公式: \(\displaystyle 2022+z^2=(z+12)^3-3xy(z+12)\)

整理化簡可得\(\displaystyle 3xy=\frac{z^3+35z^2+432z-294}{z+12}=(z^2+23z+156)-\frac{2166}{z+12}\)


同除3 \(\Rightarrow \displaystyle xy=\frac{z^2+23z+156}{3}-\frac{722}{z+12} \in \mathbb{N}\)

可知\(\displaystyle z+12\)必為722的因數，且\(z\)必為\(3k\) 或是\( 3k+1\)的形式

檢驗可得\(z=7\) 或\(z=349\)

若\(z=7 \Rightarrow xy=84 ,x+y=19\)，解得\(\displaystyle (x,y)=(12,7)\)

若\(z=349 \Rightarrow x+y=361\)，計算發現\(xy\)過大，導致\(\displaystyle D<0 \)

也就是說這個情形沒有實數解

故此方程組只有一組解\(\displaystyle (x,y,z)=(12,7,7)\)

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作者: jmath2021    時間: 2022-3-24 06:31

很不錯
多謝

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