標題: 直角三角形斜邊上的中垂線與一股的交點 [打印本頁]

---

作者: 克勞棣    時間: 2021-10-9 10:22     標題: 直角三角形斜邊上的中垂線與一股的交點

有直角三角形ABC，∠C是直角，∠A≦∠B，線段AB的中垂線分別交線段AB、線段AC於D,E兩點
(1)若三角形ADE面積是三角形ABC面積的三分之一，證明∠A=30°。
(2)若三角形ADE面積是三角形ABC面積的n分之一，證明2≦n＜4。
謝謝！

---

作者: Lopez    時間: 2021-10-9 11:08     標題: 回復 1# 克勞棣 的帖子

(1) 定義 AD=BD=1單位長, ∠A=θ
則 DE=tanθ, BC=2sinθ, AC=2cosθ
0.5*2sinθ*2cosθ=ABC面積=3*ADE面積=3*0.5*1*tanθ=1.5*sinθ/cosθ
化簡得cos²θ=3/4
cosθ = ± √3 / 2 (負不合)
∠A = θ = 30°

(2) 仿(1)得 cos²θ=n/4
√2 / 2 = cos45° ≤ cosθ = √n / 2 < cos0° = 1
2 ≤ n < 4

---

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0