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標題: 110全國高中聯招 [打印本頁]

作者: Ellipse 時間: 2021-7-24 12:30 標題: 110全國高中聯招

如附件
單選2:
甲乙丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有幾種不同的傳球方法？
(A)156　(B)258　(C)342　(D)514
[解答]
a_10=(2/3)*(-1)^10+(1/3)*2^10=1026/3=342
請參考:108清水高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3165&page=2#pid20278

填充9:
已知\([x]\)為高斯符號，表示不超過\(x\)的最大整數。求方程式\(\displaystyle \left[\frac{x}{1!}\right]+\left[\frac{x}{2!}\right]+\ldots+\left[\frac{x}{10!}\right]=1001\)的整數解\(x=\)　　　。
[解答]
大陸數學坊間教材題
x=4*5!+4*4!+1*3!+1*2!+0=584

證明1:
設\(a,b,c\)分別表\(\Delta ABC\)之\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)的對邊長，\(\angle B=60^{\circ}\)，證明：\(\displaystyle (a+b+c)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)=3\)。
[解答]
b² =a² +c² -2ac*cos60度=a² +c²-ac ,a² +c²=b²+ac----------(1)
(a+b+c)[1/(a+b)+ 1/(b+c)]= 2+ c/(a+b) +a/(b+c)
=2+ (bc+c² +a²+ab)/[(a+b)(b+c)] (將(1)代入)
=2+ (bc+b²+ac+ab)/[(a+b)(b+c)] =2+(a+b)(b+c)/[(a+b)(b+c)]
=2+1=3

證明2:
\(i=\sqrt{-1}\)，複數\(z\)和\(w\)滿足\(zw-2iz-iw-5=0\)，\(|\;z|\;=2\)。證明：\(|\;w-i|\;=2\)。
[解答]
zw-2iz-iw-5=0, z(w-2i)= iw+5
|z|*|w-2i| =|i |*|w-5i| ,2|w-2i| =|w-5i| ---------(*)
在平面座標上,令w=(x,y) , 2i=(0,2) ,5i=(0,5)
(*)符合 2[x² +(y-2)² ]^0.5= [x² +(y-5)² ]^0.5
兩端平方,整理出x²+(y-1)²=4
故得證在複數平面上滿足|w-i| =2

證明3:
證明：\((C_0^n-C_2^n+C_4^n-\ldots)^2+(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots)^2=2^n\)。
[解答]
(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)*x+C(n,2)*x²+C(n,3)*x^3+C(n,4)*x^4+..........................------------(*)
令x=i代入(*), 得(1+i)^n=C(n,0)+C(n,1)*i - C(n,2) -C(n,3)*i+C(n,4)+....................------------(1)
令x= -i代入(*),得(1-i)^n=C(n,0)-C(n,1)*i - C(n,2) +C(n,3)*i+C(n,4)+....................------------(2)
[(1)+(2)]/ 2 得 C(n,0)-C(n,2)+C(n,4)-...........................=[(1+i)^n+(1-i)^n]/2-------------------(3)
[(1)-(2)]/ 2 得 C(n,1)-C(n,3)+C(n,5)-...........................=[(1+i)^n-(1-i)^n]/(2i)-------------------(4)
將(3)&(4)代入欲證明左式={ [ (1+i)^n+(1-i)^n ]/2 }²+{ [(1+i)^n-(1-i) ^n ]/(2i) }²
=(1+i)^n*(1-i)^n=[ 1-i² ] ^n= [1-(-1)]^n=2^n ,故得證

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作者: andy2361336 時間: 2021-7-24 14:46

證明3
[解答]
\((1+x)^n=C_0^n+C_1^n x^1+C_2^n x^2+\ldots+C_n^n x^n\)
令\(x=i\)代入
\((1+i)^n=(C_0^n-C_2^n+C_4^n+\ldots)+(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots)i\)
則\(C_0^n-C_2^n+C_4^n+\ldots\)為\((1+i)^n\)的實部
　\(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots\)為\((1+i)^n\)的虛部
\(\displaystyle (1+i)^n=\left[\sqrt{2}\left(cos\frac{\pi}{4}+i sin\frac{\pi}{4}\right)\right]^n\)
\(=\sqrt{2}^n \left[cos \frac{n\pi}{4}+i sin \frac{n\pi}{4}\right]\)
\((1+i)^n\)的實部為\(\displaystyle \sqrt{2}^n cos \frac{n\pi}{4}\)，虛部為\(\displaystyle \sqrt{2}^n sin\frac{n\pi}{4}\)

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作者: bugmens 時間: 2021-7-24 15:31

2.
甲乙丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有__種不同的傳球方法？
(A)156　(B)258　(C)342　(D)514
(103桃園高中二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1949&page=1#pid11276)

112.4.27補充
甲、乙、丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有　　　種不同的傳球方法。
(112武陵高中，https://math.pro/db/thread-3731-1-1.html)

4.
設矩陣\(A=\left[\matrix{-5&-4\cr 9&7}\right]\)，則\(A^{51}-A^{50}+A^3-3A^2-2A+4I_2\)為下列何者？(\(I_2=\left[\matrix{1&0\cr0&1} \right]\))
(A)\(\left[\matrix{24&16\cr-36&-24} \right]\)　(B)\(\left[\matrix{-24&-16\cr36&24} \right]\)　(C)\(O_2\)　(D)\(4I_2\)
[提示]
\(A^n=\left[\matrix{1-6n&-4n\cr 9n&1+6n}\right]\)

特徵值重根時該怎麼辦？
\(A=\left[\matrix{-1&-9\cr 1&-7}\right]\)，\(A=PDP^{-1}\)，且\(P=\left[\matrix{3&1\cr 1&0}\right]\)，求\(A^n=\)　　　(答案以\(n\)表示，\(n\in N\))？
(101松山工農，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid8184)

5.
已知點\(P\)為邊長為\(\sqrt{2}\)的正四面體\(ABCD\)內的任意一點，\(P\)到四個面的距離分別為\(d_1\)、\(d_2\)、\(d_3\)、\(d_4\)，則\(d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2\)的最小值為何？(A)\(\displaystyle \frac{1}{12}\)　(B)\(\displaystyle \frac{3}{16}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(D)\(\displaystyle \frac{4}{3}\)
(103華僑高中，thepiano解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1886&page=2#pid10436)

12.
設\((\sqrt{2},2,0),(-\sqrt{2},2,0),(-\sqrt{2},-2,0),(\sqrt{2},-2,0)\)為一正立方體的四個頂點，則下列的哪些點也為此正立方體的頂點？
(A)\((\sqrt{2},0,2)\)　(B)\((0,2,\sqrt{2})\)　(C)\((\sqrt{2},2,4)\)　(D)\(-\sqrt{2},0,-2\)
(87年大學聯考自然組，http://www.sec.ntnu.edu.tw/Month ... 8-215-07(30-41).pdf)

填充題
5.
如下圖四個相同正方形連接而成，則\(tan(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)\)之值為　　　。

Find the value of \(10cot(cot^{-1}3+cot^{-1}7+cot^{-1}13+cot^{-1}21)\)
(1984AIME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_13)

證明題
3.
證明：\((C_0^n-C_2^n+C_4^n-\ldots)^2+(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots)^2=2^n\)。

試問\(\displaystyle \sum_{k=0}^{49}(-1)^kC_{2k}^{99}\)為　　　，其中\(\displaystyle C_j^n=\frac{n!}{j!(n-j)!}\)。
(A)\(-2^{50}\)　(B)\(-2^{49}\)　(C)0　(D)\(2^{49}\)　(E)\(2^{50}\)
(1989ASHME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_29)

作者: cut6997 時間: 2021-7-24 17:27

填1.m<-1無法滿足3^x>0
填2.考慮底數為0或1
填6.考慮z=r(cos(a)+isin(a)),則rsin(a)=1,rcos(a)+r=1.5
填7.做切線無法滿足另一條線交兩點，轉求AB兩者于C有共交點
填8.總數9!，n所產生的和為 n*(9!/n!)*(n-1)!=9! 故期望值為9*9!/9!=9

作者: zanlinphon 時間: 2021-7-24 19:15

11. (D)全班最高分的同學，第一次調分所得的分數與第二次調分所得的
分數是相同的。
這選項敘述有問題？第二次調分應改成兩次調分？(呼應前面提到的經兩次調整後)

作者: koeagle 時間: 2021-7-24 20:14

想請教單選第8題，謝謝。

作者: cut6997 時間: 2021-7-24 21:01 標題: 8

如圖，東西方向有四條道路，南北方向有五條道路。已知在交叉點處，往東或往北的機率相同；若只能往一個方向走時，機率則為1。從\(A\)點出發沿著道路走捷徑至\(C\)點，中途不經過\(P\)點的機率為何？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{6}\)　(D)\(\displaystyle \frac{3}{8}\)
[解答]
可以土法煉鋼排上去
一般算路徑數的時候只用加法這邊多乘一個機率
前三行可列出
1/8  5/16 1/2
1/4  3/8 3/8
1/2  1/2 3/8
1    1/2 1/4

作者: thepiano 時間: 2021-7-24 21:33 標題: 回復 6# koeagle 的帖子

單選第 8 題
如圖，東西方向有四條道路，南北方向有五條道路。已知在交叉點處，往東或往北的機率相同；若只能往一個方向走時，機率則為1。從\(A\)點出發沿著道路走捷徑至\(C\)點，中途不經過\(P\)點的機率為何？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{6}\)　(D)\(\displaystyle \frac{3}{8}\)
[解答]
先求過 P 的機率
經過 P 的捷徑有 10 條，分成以下三類
(1) A → Q → P，有 6 條，每條機率都是 1 / 2^5
(2) A → R → P (但不過 D)，有 3 條，每條機率都是 1 / 2^4
(3) A → D → R → P，有 1 條，機率是 1 / 2^3
所求 = 1 - (1 / 2^5 * 6 + 1 / 2^4 * 3 + 1 / 2^3) = 1/2

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作者: koeagle 時間: 2021-7-24 21:44 標題: 回復 7# cut6997 的帖子

謝謝 cut6997 老師。
謝謝 thepiano 老師。

作者: koeagle 時間: 2021-7-24 22:08 標題: 回復 4# cut6997 的帖子

可以請您稍微再說明一下填充8的解題方法嗎？
我想了很久還是不太了解，謝謝。

作者: cut6997 時間: 2021-7-24 22:51 標題: 回復 10# koeagle 的帖子

將\(n\)與比\(n\)小的數皆視為相同，讓\(n\)強制排于這些數最左，之後再對小於\(n\)的\(n-1\)的數做排列，可得\(n\)可採計的數量

作者: koeagle 時間: 2021-7-24 23:21 標題: 回復 11# cut6997 的帖子

不好意思我想請教的是填充第8題，
想請問老師期望值的算法，謝謝。

作者: thepiano 時間: 2021-7-25 00:12 標題: 回復 12# koeagle 的帖子

填充第 8 題
數字1~9隨機排成一列，接著將前面沒有更小數字的那些數字圈選出來，計算被圈選的數字總和。例如:123456789只圈選1，得到的和為1；548721936圈選5、4、2、1，得到的和為12；987654321得到的和為45等等。則這樣的和的期望值為　　　。
[解答]
題意是數字由左而右要愈取愈小
數字 1：不管怎麼排列，數字 1 一定會被取到，共有 9! 個 1，總和為 9!
數字 2：2 一定要排在 1 的左邊，才會被取到，共有 9! / 2 個 2，總和亦為 9!
數字 3：3 一定要排在 2 和 1 的左邊，才會被取到，共有 9! / 3 個 3，總和亦為 9!
:
:
數字 9：9 一定要排在最前面，才會被取到，共有 9! / 9 個 9，總和亦為 9!

所求 = 9! * 9 / 9! = 9

作者: koeagle 時間: 2021-7-25 01:17 標題: 回復 13# thepiano 的帖子

謝謝 cut6997 老師、 thepiano 老師的詳細說明！

作者: s7908155 時間: 2021-7-25 12:39 標題: 回復 1# Ellipse 的帖子

不好意思，請問填充9的思維該怎麼下手呢? 那個算式怎麼得到的?

作者: thepiano 時間: 2021-7-25 17:06 標題: 回復 15# s7908155 的帖子

填充第 9 題
先估一下
若 x ＞ 700
[x] + [x/2] ＞ 1050，不合

原方程精簡成 [x] + [x/2] + [x/6] + [x/24] + [x/120] = 1001
利用 x ≧ [x]
x + x/2 + x/6 + x/24 + x/120 ≧ 1001
206x ≧ 1001 * 120
x ≧ 583.1...

當 x = 584
[x] + [x/2] + [x/6] + [x/24] + [x/120]
= 584 + 292 + 97 + 24 + 4
= 1001

作者: Uukuokuo 時間: 2021-7-26 16:00

想請問單選8分母用不盡相異物排列解題的盲點><?

圖片附件: 1627286355620715265536.jpg (2021-7-26 16:00, 1.6 MB) / 該附件被下載次數 1355
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作者: thepiano 時間: 2021-7-26 17:57 標題: 回復 17# Uukuokuo 的帖子

每條捷徑的機率不盡相同

作者: jim1130lc 時間: 2021-7-27 08:50 標題: 回復 17# Uukuokuo 的帖子

題目是到叉路口的選擇機會相等，不是每條捷徑被選到的機會相等

作者: Uukuokuo 時間: 2021-7-27 12:36 標題: 回復 19# jim1130lc 的帖子

Ok，感謝

作者: jerryborg123 時間: 2021-7-27 22:16 標題: 複選10.B

想請教，為何過反曲點那條不算切線？

作者: 5pn3gp6 時間: 2021-7-27 22:55

引用:

原帖由 jerryborg123 於 2021-7-27 22:16 發表
想請教，為何過反曲點那條不算切線？

該點的切線斜率不是0

作者: 彤仔 時間: 2021-7-28 10:01 標題: 請教大家單選四

單選四我只知道重根就不知道該怎麼辦了，請問還需要用到線代的內容嗎？

作者: yhsy 時間: 2021-7-28 11:36 標題: 單選4

設矩陣\(A=\left[\matrix{-5&-4\cr 9&7}\right]\)，則\(A^{51}-A^{50}+A^3-3A^2-2A+4I_2\)為下列何者？(\(I_2=\left[\matrix{1&0 \cr 0&1}\right]\))
(A)\(\left[\matrix{24&16 \cr -36&-24}\right]\)　(B)\(\left[\matrix{-24&-16\cr 36&24}\right]\)　(C)\(O_2\)　(D)\(4I_2\)
[解答]
原式=(x-1)[(x-1)+1]^50+(x-1)^3-5x+5
=(x-1)[(x-1)Q(x)+1]+(x-1)^3-5x+5
=(x-1)[(x-1)Q(x)+1]+(x-1)^3-5x+5
=(x-1)^2*Q(x)-4x+4
所求=-4A+4I= (A)選項

作者: cut6997 時間: 2021-7-28 12:20 標題: 回復 23# 彤仔的帖子

特徵方程x^2-2x+1=0=>x^2-x=x-1
原式降次為 A-I+(A-I)-2(A-I)-4A+4I=-4A+4I
感謝樓下橢圓老師提醒

作者: Ellipse 時間: 2021-7-28 13:51

引用:

原帖由 cut6997 於 2021-7-28 12:20 發表
特徵方程x^2-2x+1=0=>x^2-x=x-1
原式降次為 A-I+(A-I)-2(A-I)+4A+4I=4A+4I

應該是 - 4A+4I

作者: happysad 時間: 2021-7-28 19:55

請教單選7，看完三視圖，還是弄不出正確的幾何體??

作者: cut6997 時間: 2021-7-28 20:57 標題: 回復 27# happysad 的帖子

圖片附件: 123.png (2021-7-28 20:57, 41.4 KB) / 該附件被下載次數 2091
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6076&k=43795dd5dc2e6d158cc5205707dbf328&t=1714179420

作者: 5pn3gp6 時間: 2021-7-28 21:47

引用:

原帖由 happysad 於 2021-7-28 19:55 發表
請教單選7，看完三視圖，還是弄不出正確的幾何體??

https://www.geogebra.org/m/mzzswyma

有特別上色的邊長，才是需要注意的。

作者: happysad 時間: 2021-7-28 23:10

感謝兩位大大的回覆~~~~

作者: enlighten0626 時間: 2021-7-30 14:58

請教單選第6題

作者: whatbear 時間: 2021-7-30 16:56 標題: 回復 31# enlighten0626 的帖子

如圖，已知正四面體\(ABCD\)中，\(\displaystyle \overline{AE}=\frac{1}{4}\overline{AB}\)，\(\displaystyle \overline{CF}=\frac{1}{4}\overline{CD}\)。設向量\(\vec{DE}\)與向量\(\vec{BF}\)的夾角為\(\theta\)，求\(sin \theta\)的值為何？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{13}\)　(B)\(\displaystyle \frac{4}{13}\)　(C)\(\displaystyle \frac{\sqrt{26}}{13}\)　(D)\(\displaystyle \frac{\sqrt{153}}{13}\)
[解答]
小弟的做法是定義空間座標
C(0,0,0)、D(4,0,0)、B(2,2\(\sqrt{3}\),0)、A(2,\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\),\(\frac{4\sqrt{6}}{3}\))

然後用內積的定義先解出\(cos\)，再解\(sin\)

作者: chihming 時間: 2021-7-31 10:25 標題: 回復 28# cut6997 的帖子

這題，如果是這樣
好像也對不過選項卻沒這個答案呀 ~~

圖片附件: 64995.jpg (2021-7-31 10:25, 119.65 KB) / 該附件被下載次數 1514
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6081&k=9bd01ad8df40d9734d5041facd030a9d&t=1714179420

作者: Ellipse 時間: 2021-7-31 13:06

引用:

原帖由 chihming 於 2021-7-31 10:25 發表
這題，如果是這樣
好像也對不過選項卻沒這個答案呀 ~~

看不太清楚您捏出來的立體圖形是哪種?
是要說右邊捏出一個四角椎嗎?

作者: chihming 時間: 2021-7-31 14:35 標題: 回復 34# Ellipse 的帖子

就是二個四角椎

作者: enlighten0626 時間: 2021-7-31 16:14 標題: 回復 32# whatbear 的帖子

了解，謝謝解惑

作者: chihming 時間: 2021-7-31 16:22 標題: 回復 35# chihming 的帖子

我知道問題出在那裡了，謝謝，就是連下視圖也要是菱形。

作者: jerryborg123 時間: 2021-8-1 12:01 標題: 複選9

想請教這題
我只看出兩平面重合與另一平面交一線，再做平移
接下來不知該如何解
謝謝

作者: ibvtys 時間: 2021-8-1 12:41 標題: 回復 38# jerryborg123 的帖子

解的形式為（3,2,1）+ t(1,2,3)

作者: peter0210 時間: 2021-8-1 20:13

證明1

圖片附件: IMG_20210801_201033~2.jpg (2021-8-1 20:13, 1.28 MB) / 該附件被下載次數 1495
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6084&k=376020a05c036015214c857a50ca5231&t=1714179420

作者: rotch 時間: 2021-8-8 14:38

請問第11題這樣寫錯在哪裡？

圖片附件: b.PNG (2021-8-8 14:38, 2.91 KB) / 該附件被下載次數 1853
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6103&k=a616c0757add0dc2230fa6007a245d96&t=1714179420

作者: thepiano 時間: 2021-8-8 15:09 標題: 回復 41# rotch 的帖子

沒錯啦

作者: rotch 時間: 2021-8-8 15:21 標題: 回復 42# thepiano 的帖子

我看錯題目了 XD

作者: rotch 時間: 2021-8-12 11:44

請教單選4的其他解法

圖片附件: 04.jpg (2021-8-12 11:44, 65.91 KB) / 該附件被下載次數 1807
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6110&k=8bdd8ce0c7ac0aace7eac4c21014054a&t=1714179420

作者: Ellipse 時間: 2021-8-12 11:47

引用:

原帖由 rotch 於 2021-8-12 11:44 發表
請教單選4的其他解法

前面第24,25層已有老師回

作者: rotch 時間: 2021-8-12 12:18 標題: 回復 45# Ellipse 的帖子

看到了，感恩

作者: tenlong1000 時間: 2021-12-1 08:23 標題: 110-全國高中教師聯招數學試題詳解整理

110-全國高中教師聯招數學試題詳解整理

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