標題: 一題數論問題 [打印本頁]

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作者: larson    時間: 2021-7-20 22:35     標題: 一題數論問題

求所有這樣的自然數：它們中的每一個等於它自已所有正因數個數的平方。
答案：1與9
請問如何列式推論

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作者: thepiano    時間: 2021-7-21 11:44     標題: 回復 1# larson 的帖子

設自然數 n 有 k 個正因數，且 n = k^2

n 是完全平方數，故 k 為奇數

k = 1，n = 1
k = 3，n = 9

若 k 是大於 3 的質數，則 n 只有 3 個正因數，不合

若 k 是大於 3 的奇合數，令 k = a_1^p_1 * a_2^p_2 * ...... * a_m^p_m
其中 a_1 < a_2 < a_3 < ....... < a_m 是相異奇質數
p_1，p_2，p_3，.......，p_m 是正整數
則 n = (a_1^p_1 * a_2^p_2 * ...... * a_m^p_m)^2，有 (2p_1 + 1)(2p_2 + 1)......(2p_m + 1) 個正因數

由於
a_1^p_1 ≧ 3^p_1 ≧ 2p_1 + 1
a_2^p_2 ≧ 5^p_2 > 2p_2 + 1
:
:
故 (2p_1 + 1)(2p_2 + 1)......(2p_m + 1) < a_1^p_1 * a_2^p_2 * ...... * a_m^p_m，不合

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作者: larson    時間: 2021-7-21 13:01     標題: 回復 2# thepiano 的帖子

謝謝

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