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標題: 110北科附工 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2021-5-7 20:53 標題: 110北科附工

請教第 4 題
(1) 已知\(a,b,c>0\)．試證明\(\displaystyle \frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+c}+\frac{c^2}{2c+a}\ge \frac{a+b+c}{3}\)。
(2) 已知\(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3>0\)，試證明\((a_1^3+a_2^3)(b_1^3+b_2^3)(c_1^3+c_2^3)\ge (a_1b_1c_1+a_2b_2c_2)^3\)。
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110.05.08
感謝 chen3553 老師提供記憶版題目，我將老師分享的試題再修正，提供給老師們參考。

備註：
第 8 題的第 (1) 小題學校題目有打錯， \(n → 0^+\) 應該改為 \(x → 0^+\) ，此題應該要送分。
但是昨天晚上考北科附工，今天早上考新北聯招，大家應該都累壞了。
不知道有沒有老師今天早上來得及去提疑義？
（昨天晚上我本來想提，但是找不到疑義申請表，想說今天再打電話問，結果忘了）
------
110.5.9版主補充
Superconan提供更完整題目，將chen3553版本移回原文章

111.5.12版主補充
新增官方版題目

附件: 110北科附工試題(記憶版).pdf (2021-5-8 21:08, 202.34 KB) / 該附件被下載次數 4530
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5994&k=4faaca324e5a75038a3b7f6fa18b1405&t=1713570173

附件: 110北科附工(官方版).pdf (2021-5-12 13:07, 185.93 KB) / 該附件被下載次數 4475
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6014&k=55d38123772e85c82447ad3961bb92c4&t=1713570173

作者: satsuki931000 時間: 2021-5-7 21:11

(1)柯西不等式
\((\displaystyle \frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+c}+\frac{c^2}{2c+a})\)\((3a+3b+3c)\geq (a+b+c)^2\)

\(\displaystyle \frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+c}+\frac{c^2}{2c+a}\geq \frac{a+b+c}{3}\)

作者: satsuki931000 時間: 2021-5-7 21:18

(2)原式即証\(\displaystyle (1+r_1^3)(1+r_2^3)(1+r_3^3)\geq (1+r_1r_2r_3)^3\)
其中\(\displaystyle r_1=\frac{a_2}{a_1},r_2=\frac{b_2}{b_1},r_3=\frac{c_2}{c_1}\)

\(\displaystyle (1+r_1^3)(1+r_2^3)(1+r_3^3)=1+(r_1^3+r_2^3+r_3^3)+[(r_1r_2)^3+(r_2r_3)^3+(r_3r_1)^3]+(r_1r_2r_3)^3\geq 1+3r_1r_2r_3+3(r_1r_2r_3)^2+(r_1r_2r_3)^3=(1+r_1r_2r_3)^3\)得証

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-5-7 21:20 編輯 ]

作者: Superconan 時間: 2021-5-7 22:28 標題: 回復 2# satsuki931000 的帖子

請問紅色那邊怎麼整理成a+b+c？

圖片附件: B5FA4538-C56D-4B2E-829C-A51443294D6C.jpeg (2021-5-7 22:28, 251.74 KB) / 該附件被下載次數 3519
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5989&k=9b416970cb4fcca3916cd1e066e5ec96&t=1713570173

作者: Ellipse 時間: 2021-5-7 22:34

引用:

原帖由 Superconan 於 2021-5-7 22:28 發表
請問紅色那邊怎麼整理成a+b+c？
5989

不是這樣寫
左邊第二個括號應該是[ (√2a+b)² +√2b+c)²+√2c+a)²]

作者: tsusy 時間: 2021-5-7 22:34 標題: 回復 4# Superconan 的帖子

\( 3a +3b +3c = (2a+b) + (2b+c) + (2c+a) \)
是用右邊的三個去做柯西

作者: Ellipse 時間: 2021-5-7 22:39

引用:

原帖由 Superconan 於 2021-5-7 20:53 發表
請教這兩題

5988

第二題考廣義科西不等式證明
也可以用算幾不等式來證

作者: Superconan 時間: 2021-5-7 22:48

感謝以上老師，寫出來了，不過想請教一下，是否需書寫等號成立的條件？

作者: Ellipse 時間: 2021-5-8 09:35

引用:

原帖由 Superconan 於 2021-5-7 22:48 發表
感謝以上老師，寫出來了，不過想請教一下，是否需書寫等號成立的條件？

要喔~這樣才不會被挑毛病而扣分

作者: chen3553 時間: 2021-5-8 18:12 標題: 考題記憶版

努力拼湊出的題目樣貌
大概因為大部分都是證明題就乾脆不公布......

想順道請問第3題該如何證明

附件: 110 桃園農工(記憶版).pdf (2021-5-9 07:02, 144.17 KB) / 該附件被下載次數 4276
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6002&k=b66bf6220a1013e542394e5f2d9b6caf&t=1713570173

作者: bugmens 時間: 2021-5-8 18:49

2.
已知巴斯卡定理\(C_k^n+C_{k-1}^n=C_k^{n+1}\)
(1)證明\(C_2^2+C_2^3+C_2^4+\ldots+C_2^n=C_3^{n+1}\)。
(2)利用(1)推導出\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
[解答]

(2)
\(\displaystyle \frac{2\cdot 1}{2}+\frac{3\cdot 2}{2}+\frac{4\cdot 3}{2}+\ldots+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{(n+1)n(n-1)}{6}\)
\(\displaystyle (2^2-2)+(3^2-3)+(4^2-4)+\ldots+(n^2-n)=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}\)
\(\displaystyle (2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2)-(2+3+4+\ldots+n)=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}\)
\(\displaystyle (1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2)-(1+2+3+4+\ldots+n)=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}\)
\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

6.
在\(\Delta ABC\)中，其內角\(A\)、\(B\)、\(C\)所對應的邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(\displaystyle \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=4cosC\)，求\(tanC(cotA+cotB)\)的值。

\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{BC}^2+\overline{AC}^2=6\overline{AB}^2\)，則\(\displaystyle \left(\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}\right)tanC=\)　　　。
(108高中數學能力競賽北二區筆試二試題)

110.6.16補充
感謝satsuki931000告知
\(\displaystyle \frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}=tanC=\)修正為\(\displaystyle
\left( \frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}\right)tanC=\)

作者: Ellipse 時間: 2021-5-8 20:48

引用:

原帖由 chen3553 於 2021-5-8 18:12 發表
努力拼湊出的題目樣貌
大概因為大部分都是證明題就乾脆不公布......

想順道請問第3題該如何證明

由二項式定理得
(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)*x+C(n,2)*x²+...............+C(n,n)*x^n-----------------------(1)
再將(1)式左右對x積分,範圍從-1到0即可得證

作者: Superconan 時間: 2021-5-8 21:18

請教第 1 題的第 (2)、(3) 小題

作者: Ellipse 時間: 2021-5-8 21:23

引用:

原帖由 Superconan 於 2021-5-8 21:18 發表
請教第 1 題的第 (2)、(3) 小題

第 1 題沒第(3)小題吧?
(看到了,原來在第二個檔案內)

作者: thepiano 時間: 2021-5-8 21:37 標題: 回復 14# Superconan 的帖子

第 1 題
第 (2) 小題
f(x) 遞增
f(3) = -1 ＜ 0
f(a + 2) ＞ 0
由勘根定理，f(x) 與 x 軸有一交點

第 (3) 小題
從 a = 2，b = 10 去討論
可得 (2，10，100)、(3，9，16)、(4，8，8)、(6，6，4)、(9，3，2)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-5-8 21:49 編輯 ]

作者: satsuki931000 時間: 2021-5-8 22:34

以下幾題想對個答案
8(4) \(\displaystyle \frac{1}{2}(e^{-x}sinx - e^{-x}cosx)+C\)

8(2) \(\displaystyle [sin(x^2+1)]^x [ln \ sin(x^2+1)+2x^2\ cot(x^2+1)]+C\)

8(3) \(\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{1+x^3}(\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3})+C\)

作者: Ellipse 時間: 2021-5-8 22:55

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2021-5-8 22:34 發表
以下幾題想對個答案

答案對,但題號要換一下

作者: yi4012 時間: 2021-5-10 10:39 標題: 回復 17# satsuki931000 的帖子

第8-3題不是要積分x^5/跟號(x^3+1)
為什麼答案會變成減？
積分後都要加上常數項
第8-1題下標應該是x不是n

作者: satsuki931000 時間: 2021-5-10 13:27 標題: 回復 19# yi4012 的帖子

筆誤打錯謝謝您的提醒

作者: enlighten 時間: 2021-5-10 15:40 標題: 回復 17# satsuki931000 的帖子

請教8(2)(3)如何做?

作者: PDEMAN 時間: 2021-5-10 16:39 標題: 第八題

第八題

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-6-19 08:39 編輯 ]

圖片附件: 9AA6DFEA-5176-499F-BDF0-500ABF652390.jpeg (2021-6-19 08:39, 648.41 KB) / 該附件被下載次數 1988
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6010&k=bb7eb3513f4f4773e26661f4335609d8&t=1713570173

作者: yi4012 時間: 2021-5-10 17:01 標題: 回復 22# PDEMAN 的帖子

cotx，x趨近0+時趨近無限
而且分母的微分也不見了
分子趨近0，分母趨近無限

作者: PDEMAN 時間: 2021-5-10 17:16 標題: 回復 23# yi4012 的帖子

謝謝您的提醒，下次多檢查一下，上面已經更正了！

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-5-10 18:15 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2021-6-13 21:26 標題: 請教第6題

板上老師好

第六題做到利用算幾不等式得到角C小於等於60度

和餘弦定理 cosC=(c^2)/(2ab) 然侯就卡住了,,,

希望有老師可以求教一下

作者: tsusy 時間: 2021-6-13 21:47 標題: 回復 24# anyway13 的帖子

第六題，餘弦定理的部分相同
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 4\cos C\) \( \Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2 \cdot \frac{{a^2} + {b^2} - {c^2}}{ab} \)
(謝謝橢圓兄幫抓筆誤，補上分母 ab)

\( \Rightarrow 2{c^2} = {a^2} + {b^2}\) \( \Rightarrow \cos C = \frac{{{c^2}}}{{2ab}}\)

剩下來的用正弦、餘弦表示正切、餘切，
正弦的比值可以用正弦定理換成邊長的比值，
餘弦的部分，用餘弦定理或投影(好像叫投影定理)，可得以下
\( \tan C\left( {\cot A + \cot B} \right) = \frac{{\sin C}}{{\cos C}} \cdot \left( {\frac{{\cos A}}{{\sin A}} + \frac{{\cos B}}{{\sin B}}} \right) \)
\( = \frac{c}{{\cos C}}\left( {\frac{{\cos A}}{a} + \frac{{\cos B}}{b}} \right) \)
\( = \frac{{c \cdot (b\cos A + a\cos B)}}{{ab\cos C}} \)
\( = \frac{{c \cdot c}}{{ab\cos C}} = 2 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-6-14 16:18 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2021-6-13 23:45 標題: 回復 25# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師指點,明白了

作者: Ellipse 時間: 2021-6-14 00:38

引用:

原帖由 tsusy 於 2021-6-13 21:47 發表
第六題，餘弦定理的部分相同
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 4\cos C\) \( \Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2 \cdot ({a^2} + {b^2} - {c^2})\) \( \Rightarrow 2{c^2} = {a^2} + {b^2}\) \( \Rightarrow \co ...

寸絲前面有一個筆誤: a/b +b/a =2(a²+b² -c² )/ ab
印象中, 這題是由民國95年某校教甄題去改一下外觀的

另解:
這題本來想說故意"不用餘弦定理",但真的還不太行 :需用到a² +b² =2c² 這條件-----------(1)
由正弦定理可知 a/b+b/a=4cosC => sinA/sinB +sinB/sinA = (sin² A +sin² B)/ (sinAsinB) =4cosC-------------(2)
所求=tanC(cotA+cotB)=(sinC/cosC)*(sinAcosB+cosAsinB)/(sinAsinB)=(sinC/cosC) *sin(A+B)/(sinAsinB)
=(sinC/cosC) *sinC/(sinAsinB) (將(2)代入)
=4sin² C/(sin² A+sin² B)= 4c² /(a² +b² ) (by 正弦定理)
=4c²/2c²=2 (by (1))
當然用寸絲的方式會比較快,但考生也要多去思考是否可"一題多解"
這樣才能增強數學解題能力 . 在此先拋磚引玉一下~

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