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標題: 110高雄中學 [打印本頁]

作者: BambooLotus 時間: 2021-5-1 14:09 標題: 110高雄中學

好心朋友提供，順便祝好心朋友今年上岸
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更正答案：1.(2)\(\displaystyle\frac{8}{3}\)
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作者: thepiano 時間: 2021-5-1 14:49 標題: 回復 1# BambooLotus 的帖子

第 3 題
四位數 1000a + 100b + 10c + d 是 99 的倍數
10(a + c) + (b + d) 是 99 的倍數

由於各位數字相異
a + c = 9，b + d = 9
(a，c) = (1，8)、(2，7)、(3，6)、(4，5)、(5，4)、(6，3)、(7，2)、(8，1)、(9，0)
(b，d) = (0，9)、 (1，8)、(2，7)、(3，6)、(4，5)、(5，4)、(6，3)、(7，2)、(8，1)、(9，0)
每組 (a，c) 可和 8 組 (b，d) 搭配

所求機率 = (9 * 8) / (9 * 9 * 8 * 7) = 1 / 63

作者: bugmens 時間: 2021-5-1 15:34

\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{4}{5}a_n+\frac{1}{5}a_{n-1}\)，\(a_1=1,a_2=3\)
(1)\(a_n\)(2)\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n\)

作者: Superconan 時間: 2021-5-1 16:02

請教這題

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作者: peter0210 時間: 2021-5-1 16:53

填11

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作者: son249 時間: 2021-5-1 20:52 標題: 很用力回想的記憶版2.0

因為成績太差，徵求全部答案

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作者: thepiano 時間: 2021-5-1 21:44

第 15 題
z = x + yi，-1 ＜ x ＜ 0，0 ＜ y ＜ 1
|z| = 1，x^2 + y^2 = 1

z^3 + z^2 + z + 1 = (z^2 + 1)(z + 1)

| z^2 + 1 |^2 = | (x^2 - y^2 + 1) + (2xy)i |^2 = (x^2 - y^2 + 1)^2 + (2xy)^2 = 4x^2
| z + 1 |^2 = | (x + 1) + (y)i |^2 = (x + 1)^2 + y^2 = 2x + 2

|z^3 + z^2 + z + 1| = √[4x^2 * (2x + 2)] = 2√2 * √(x^3 + x^2) ≦ 2√2 * √(4/27) = (4/9)√6

作者: thepiano 時間: 2021-5-1 21:53

第 8 題
P_0(2x_0，2y_0)、P_1(2x_1，2y_1)、P_2(2x_2，2y_2)、P_3(2x_3，2y_3)、P_4(2x_4，2y_4)
A(x_0 + x_1，y_0 + y_1)、B(x_1 + x_2，y_1 + y_2)、C(x_2 + x_3，y_2 + y_3)、D(x_3 + x_4，y_3 + y_4)

AC 中點 (-1/3，-2/3)
x_0 + x_1 + x_2 + x_3 = - 2/3
y_0 + y_1 + y_2 + y_3 = - 4/3

BD 中點 (8/3，10/3)
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16/3
y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 20/3

x_4 - x_0 = 16/3 - (-2/3) = 6
y_4 - y_0 = 20/3 - (-4/3) = 8

P_0P_4 = √[(2x_4 - 2x_0)^2 + (2y_4 - 2y_0)^2] = 20

作者: PDEMAN 時間: 2021-5-1 22:08 標題: 第12題

12題

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作者: PDEMAN 時間: 2021-5-1 22:32 標題: 第15題

另解

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-5-1 22:39 編輯 ]

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作者: thepiano 時間: 2021-5-1 22:38

第 9 題
(1) 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/(2n - 1) - 1/(2n)
= [1 + 1/2 + ... + 1/(2n - 1) + 1/(2n)] - [1 + 1/2 + ... + 1/(n - 1) + 1/(n)]
= S_(2n) - S_n = ln2 + r_(2n) - r_n
當 n → ∞，所求為 ln2

(2) 1/(1 * 3) + 1/(2 * 5) + 1/(3 * 7) + ... + 1/[n(2n + 1)]
= 2/(2 * 3) + 2/(4 * 5) + 2/(6 * 7) + ... + 2/[2n(2n + 1)]
= 2{[(1/2 + 1/4 + ... + 1/(2n)] - [(1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n + 1)]}
= 2{S_n / 2 - [S_(2n + 1) - 1 - S_n / 2]}
= 2[S_n - S_(2n + 1) + 1]
= 2{ln[n / (2n + 1)] + r_n - r_(2n + 1) + 1]
當 n → ∞，所求為 2 - 2ln2

作者: PDEMAN 時間: 2021-5-1 22:52 標題: 第6題

第六題

圖片附件: C6BD1CCB-D2FE-4250-9E64-36F1C4269C3F.jpeg (2021-5-1 22:52, 492.15 KB) / 該附件被下載次數 4087
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作者: PDEMAN 時間: 2021-5-1 23:05 標題: 第2題

第二題

圖片附件: 932652B9-9DAD-4759-9E1A-A0F0DCC54CD1.jpeg (2021-5-1 23:05, 522.5 KB) / 該附件被下載次數 3939
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作者: cut6997 時間: 2021-5-2 00:22

第二題學校好心湊好數據了，應該不用用PDE老師的牛刀
原式=(sinx+cosx+2)^2-4

另外想請教13題正確作法
小弟只會慢慢做高斯把前三行消完

作者: 5pn3gp6 時間: 2021-5-2 07:57

引用:

原帖由 cut6997 於 2021-5-2 00:22 發表
第二題學校好心湊好數據了，應該不用用PDE老師的牛刀
原式=(sinx+cosx+2)^2-4

另外想請教13題正確作法
小弟只會慢慢做高斯把前三行消完

令\(M_1=\left(\begin{array}.2&-3&2\\1&-1&1\\3&2&2\end{array}\right)\)，\(M_2=\left(\begin{array}.6&5&-1\\2&1&4\\1&3&-3\end{array}\right)\)，
\(K=\left(\begin{array}.a&b&0\\c&d&0\\e&f&0\end{array}\right)\)
因為\(det(M_1)\neq0,det(M_2)\neq0\)
所以\(M_1,M_2\)都可以變成基本列運算的組合。

則\(M_2×M_1^{-1}×K=\left(\begin{array}.2&15&0\\-12&8&0\\19&4&0\end{array}\right)\)
所得的左邊兩行即是所求

作者: tsusy 時間: 2021-5-2 12:11

對一下答案，有錯的，還請告知，謝謝

1. (1) \( a_{n}=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}(\frac{-1}{5})^{n-2} \)
(2) \( \frac 53 \) 抱歉手殘寫錯，謝謝 piano 老師更正
\( \frac 83 \)
2. \( 2-4\sqrt{2} \)
3. \( \displaystyle \frac{1}{63} \)
4. \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \)
5. 必存在，簡略說明：令 \( A=[a_{ij}]_{3\times3}, \det (A-I) = 0 \)
6. \( 5+25\sqrt{2} \)
7. \( \displaystyle (-\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4},0) \) (單位長 6400 公里)
8. 20
9. (1) \( \ln 2 \)
(2) \( 2 - 2 \ln 2 \)
10. 收斂，簡略說明：各數皆正，交換 Σ 順序，變成2020 個無窮等比級數和
11. 2
12. 250 cm
13. \( (2,-12,19,15,8,4) \)
14. 略，簡略說明：排序，依 \( x_i \) 分段論論目標式的遞增遞減。
15. \( \displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{9} \)

作者: mojary 時間: 2021-5-2 17:37 標題: 供參，若有誤，敬請說明。

感謝BambooLotus老師與son249老師提供題目；

感謝寸絲老師提供答案。

提供電子檔，容易保存。

附件: 高雄中學110學年度數學科教師甄試(記憶版).pdf (2021-5-2 17:58, 484.63 KB) / 該附件被下載次數 5397
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作者: Superconan 時間: 2021-5-2 17:48 標題: 回復 17# mojary 的帖子

老師再麻煩您收個短消息

作者: 5pn3gp6 時間: 2021-5-2 22:40

複試門檻52
連結已失效h ttps://tinyurl.com/33ywb32m

作者: enlighten 時間: 2021-5-3 10:57

請教第一題?

作者: thepiano 時間: 2021-5-3 11:12 標題: 回復 20# enlighten 的帖子

第 1 題
參考連結已失效h ttps://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d281/28109.pdf

a_n = 8/3 + (1/3)(-1/5)^(n - 2)

極限應是 8/3，不是 5/3

作者: enlighten 時間: 2021-5-3 15:40 標題: 回復 21# thepiano 的帖子

謝謝，再請教第7題

作者: PDEMAN 時間: 2021-5-3 16:22 標題: 第七題

第七題，剛剛發現筆誤，有更新了！

圖片附件: 8CA74887-9328-4F54-A82A-31D18AF9E41B.jpeg (2021-5-3 19:55, 462.65 KB) / 該附件被下載次數 3817
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5969&k=af9c88f593c8cc6cb17de049cfe2cc95&t=1783574873

作者: enlighten 時間: 2021-5-3 21:29 標題: 回復 23# PDEMAN 的帖子

謝謝

作者: three0124 時間: 2021-5-11 23:16

想請教第五題如何證明??
謝謝各位

作者: farmer 時間: 2021-5-15 12:12 標題: 第五題證明

引用:

原帖由 three0124 於 2021-5-11 23:16 發表
想請教第五題如何證明??
謝謝各位

對於任意3階轉移矩陣\(A\)，是否存在機率矩陣\(X=\left[\matrix{x_1\cr x_2\cr x_3}\right]\)，(\(x_1,x_2,x_3\ge 0\)且\(x_1+x_2+x_3=1\))，滿足\(AX=X\)？請論證你的結論。
概略：
計算det(A-I)得0，
因此(A-I)X=0有非零解，
設為X=(x1,x2,x3)的轉置，
驗證x1,x2,x3都大於等於0（或都小於等於0），
又非全0，因此x1+x2+x3不為0(設和為d),
則X/d即符合所求。

115.6.10補充
任何轉移矩陣\(A\)皆可以達到穩定狀態\(AX=X\)。
https://math.pro/db/thread-2297-1-1.html

穩定狀態的「存在性」	長期下來的「收斂性」
任意轉移矩陣\(A\)，都存在機率向量\(X\)，滿足\(AX=X\)。	任意轉移矩陣\(A\) ，從任意初始狀態出發，長期而言皆會收斂至唯一的穩定狀態\(AX=X\)。
成立 \(x_1,x_2,x_3\ge1\)且\(x_1+x_2+x_3=1\)	不成立，反例\(A=\left[\matrix{0&1\cr1&0}\right]\) 矩陣\(A\)須為正則轉移矩陣(或某次方之後所有元素皆大於0)

作者: anyway13 時間: 2021-6-8 23:19 標題: 回復 25# PDEMAN 的帖子

請問老師 cos20sin140+cos40sin80-cos80sin160=(3根號3)/4?

是怎麼積化何差做出的謝謝

作者: PDEMAN 時間: 2021-6-9 10:40 標題: 回復 27# anyway13 的帖子

看一下應該沒有算錯，有錯請告知一下，謝謝！

圖片附件: 2EDECCD6-AF11-4715-BD04-0CEB5A417552.jpeg (2021-6-9 10:40, 348.15 KB) / 該附件被下載次數 3758
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6042&k=321f3518652d5f82206c1f2c6ea54c76&t=1783574873

作者: anyway13 時間: 2021-6-9 20:58 標題: 回復 28# PDEMAN 的帖子

謝謝PDEMAN老師的講解,十分感謝!!

作者: mojary 時間: 2021-6-25 11:59 標題: 第一題的第二小題，答案修正，請參考

請參考

110.6.25版主補充
第一題的第二小題，答案修正為\(\displaystyle \frac{8}{3}\)
將更正檔案移到第一篇文章

作者: math1 時間: 2022-3-27 09:27 標題: 請問第5題和第14題的證明

請問各位大大知道怎麼詳細證明嗎？謝謝

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