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標題: 110高雄中學 [打印本頁]

作者: BambooLotus    時間: 2021-5-1 14:09     標題: 110高雄中學

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作者: thepiano    時間: 2021-5-1 14:49     標題: 回復 1# BambooLotus 的帖子

第 3 題
四位數 1000a + 100b + 10c + d 是 99 的倍數
10(a + c) + (b + d) 是 99 的倍數

由於各位數字相異
a + c = 9,b + d = 9
(a,c) = (1,8)、(2,7)、(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)、(7,2)、(8,1)、(9,0)
(b,d) = (0,9)、 (1,8)、(2,7)、(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)、(7,2)、(8,1)、(9,0)
每組 (a,c) 可和 8 組 (b,d) 搭配

所求機率 = (9 * 8) / (9 * 9 * 8 * 7) = 1 / 63
作者: bugmens    時間: 2021-5-1 15:34

\(a_{n+1}=\frac{4}{5}a_n+\frac{1}{5}a_{n-1}\),\(a_1=1,a_2=3\)
(1)\(a_n\)(2)\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n\)
作者: Superconan    時間: 2021-5-1 16:02

請教這題


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作者: peter0210    時間: 2021-5-1 16:53

填11

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作者: son249    時間: 2021-5-1 20:52     標題: 很用力回想的記憶版2.0

因為成績太差,徵求全部答案

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作者: thepiano    時間: 2021-5-1 21:44

第 15 題
z = x + yi,-1 < x < 0,0 < y < 1
|z| = 1,x^2 + y^2 = 1

z^3 + z^2 + z + 1 = (z^2 + 1)(z + 1)

| z^2 + 1 |^2 = | (x^2 - y^2 + 1) + (2xy)i |^2 = (x^2 - y^2 + 1)^2 + (2xy)^2 = 4x^2
| z + 1 |^2 = | (x + 1) + (y)i |^2 = (x + 1)^2 + y^2 = 2x + 2

|z^3 + z^2 + z + 1| = √[4x^2 * (2x + 2)] = 2√2 * √(x^3 + x^2) ≦ 2√2 * √(4/27) = (4/9)√6
作者: thepiano    時間: 2021-5-1 21:53

第 8 題
P_0(2x_0,2y_0)、P_1(2x_1,2y_1)、P_2(2x_2,2y_2)、P_3(2x_3,2y_3)、P_4(2x_4,2y_4)
A(x_0 + x_1,y_0 + y_1)、B(x_1 + x_2,y_1 + y_2)、C(x_2 + x_3,y_2 + y_3)、D(x_3 + x_4,y_3 + y_4)

AC 中點 (-1/3,-2/3)
x_0 + x_1 + x_2 + x_3 = - 2/3
y_0 + y_1 + y_2 + y_3 = - 4/3

BD 中點 (8/3,10/3)
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16/3
y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 20/3

x_4 - x_0 = 16/3 - (-2/3) = 6
y_4 - y_0 = 20/3 - (-4/3) = 8

P_0P_4 = √[(2x_4 - 2x_0)^2 + (2y_4 - 2y_0)^2] = 20
作者: PDEMAN    時間: 2021-5-1 22:08     標題: 第12題

12題

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作者: PDEMAN    時間: 2021-5-1 22:32     標題: 第15題

另解

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-5-1 22:39 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2021-5-1 22:38

第 9 題
(1) 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/(2n - 1) - 1/(2n)
= [1 + 1/2 + ... + 1/(2n - 1) + 1/(2n)] - [1 + 1/2 + ... + 1/(n - 1) + 1/(n)]
= S_(2n) - S_n = ln2 + r_(2n) - r_n
當 n → ∞,所求為 ln2

(2) 1/(1 * 3) + 1/(2 * 5) + 1/(3 * 7) + ... + 1/[n(2n + 1)]
= 2/(2 * 3) + 2/(4 * 5) + 2/(6 * 7) + ... + 2/[2n(2n + 1)]
= 2{[(1/2 + 1/4 + ... + 1/(2n)] - [(1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n + 1)]}
= 2{S_n / 2 - [S_(2n + 1) - 1 - S_n / 2]}
= 2[S_n - S_(2n + 1) + 1]
= 2{ln[n / (2n + 1)] + r_n - r_(2n + 1) + 1]
當 n → ∞,所求為 2 - 2ln2
作者: PDEMAN    時間: 2021-5-1 22:52     標題: 第6題

第六題

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作者: PDEMAN    時間: 2021-5-1 23:05     標題: 第2題

第二題

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作者: cut6997    時間: 2021-5-2 00:22

第二題學校好心湊好數據了,應該不用用PDE老師的牛刀
原式=(sinx+cosx+2)^2-4

另外想請教13題正確作法
小弟只會慢慢做高斯把前三行消完
作者: 5pn3gp6    時間: 2021-5-2 07:57

引用:
原帖由 cut6997 於 2021-5-2 00:22 發表
第二題學校好心湊好數據了,應該不用用PDE老師的牛刀
原式=(sinx+cosx+2)^2-4

另外想請教13題正確作法
小弟只會慢慢做高斯把前三行消完
令\(M_1=\left(\begin{array}.2&-3&2\\1&-1&1\\3&2&2\end{array}\right)\),\(M_2=\left(\begin{array}.6&5&-1\\2&1&4\\1&3&-3\end{array}\right)\),
\(K=\left(\begin{array}.a&b&0\\c&d&0\\e&f&0\end{array}\right)\)
因為\(det(M_1)\neq0,det(M_2)\neq0\)
所以\(M_1,M_2\)都可以變成基本列運算的組合。

則\(M_2×M_1^{-1}×K=\left(\begin{array}.2&15&0\\-12&8&0\\19&4&0\end{array}\right)\)
所得的左邊兩行即是所求
作者: tsusy    時間: 2021-5-2 12:11

對一下答案,有錯的,還請告知,謝謝

1. (1) \( a_{n}=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}(\frac{-1}{5})^{n-2} \)
    (2) \( \frac 53 \) 抱歉手殘寫錯,謝謝 piano 老師更正
         \( \frac 83 \)
2. \( 2-4\sqrt{2} \)
3. \( \displaystyle \frac{1}{63} \)
4. \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \)
5. 必存在,簡略說明:令 \( A=[a_{ij}]_{3\times3}, \det (A-I) = 0 \)
6. \( 5+25\sqrt{2} \)
7. \( \displaystyle (-\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4},0) \) (單位長 6400 公里)
8. 20
9. (1) \( \ln 2 \)
    (2) \( 2 - 2 \ln 2 \)
10. 收斂,簡略說明:各數皆正,交換 Σ 順序,變成2020 個無窮等比級數和
11. 2
12. 250 cm
13. \( (2,-12,19,15,8,4) \)
14. 略,簡略說明:排序,依 \( x_i \) 分段論論目標式的遞增遞減。
15. \( \displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{9} \)
作者: mojary    時間: 2021-5-2 17:37     標題: 供參,若有誤,敬請說明。

感謝BambooLotus老師與son249老師提供題目;

感謝寸絲老師提供答案。

提供電子檔,容易保存。

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作者: Superconan    時間: 2021-5-2 17:48     標題: 回復 17# mojary 的帖子

老師再麻煩您收個短消息
作者: 5pn3gp6    時間: 2021-5-2 22:40

複試門檻52
https://tinyurl.com/33ywb32m
作者: enlighten    時間: 2021-5-3 10:57

請教第一題?
作者: thepiano    時間: 2021-5-3 11:12     標題: 回復 20# enlighten 的帖子

第 1 題
參考 https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d281/28109.pdf

a_n = 8/3 + (1/3)(-1/5)^(n - 2)

極限應是 8/3,不是 5/3
作者: enlighten    時間: 2021-5-3 15:40     標題: 回復 21# thepiano 的帖子

謝謝,再請教第7題
作者: PDEMAN    時間: 2021-5-3 16:22     標題: 第七題

第七題,剛剛發現筆誤,有更新了!

圖片附件: 8CA74887-9328-4F54-A82A-31D18AF9E41B.jpeg (2021-5-3 19:55, 462.65 KB) / 該附件被下載次數 1513
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5969&k=488b54c053998185b1fa51f61442fd05&t=1711676562


作者: enlighten    時間: 2021-5-3 21:29     標題: 回復 23# PDEMAN 的帖子

謝謝
作者: three0124    時間: 2021-5-11 23:16

想請教第五題如何證明??
謝謝各位
作者: farmer    時間: 2021-5-15 12:12     標題: 第五題證明

引用:
原帖由 three0124 於 2021-5-11 23:16 發表
想請教第五題如何證明??
謝謝各位
概略:
計算det(A-I)得0,
因此(A-I)X=0有非零解,
設為X=(x1,x2,x3)的轉置,
驗證x1,x2,x3都大於等於0(或都小於等於0),
又非全0,因此x1+x2+x3不為0(設和為d),
則X/d即符合所求。
作者: anyway13    時間: 2021-6-8 23:19     標題: 回復 25# PDEMAN 的帖子

請問老師  cos20sin140+cos40sin80-cos80sin160=(3根號3)/4?  

是怎麼積化何差做出的  謝謝
作者: PDEMAN    時間: 2021-6-9 10:40     標題: 回復 27# anyway13 的帖子

看一下應該沒有算錯,有錯請告知一下,謝謝!

圖片附件: 2EDECCD6-AF11-4715-BD04-0CEB5A417552.jpeg (2021-6-9 10:40, 348.15 KB) / 該附件被下載次數 1438
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6042&k=0708fa2667e92f29567cf4d2ef7602e3&t=1711676562


作者: anyway13    時間: 2021-6-9 20:58     標題: 回復 28# PDEMAN 的帖子

謝謝PDEMAN老師的講解,十分感謝!!
作者: mojary    時間: 2021-6-25 11:59     標題: 第一題的第二小題,答案修正,請參考

請參考

110.6.25版主補充
第一題的第二小題,答案修正為\(\displaystyle \frac{8}{3}\)
將更正檔案移到第一篇文章
作者: math1    時間: 2022-3-27 09:27     標題: 請問第5題和第14題的證明

請問各位大大知道怎麼詳細證明嗎?謝謝




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