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標題: 110板橋高中 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2021-4-24 21:08 標題: 110板橋高中

計算證明題回憶得有點辛苦，如果用字遣詞不佳或數據有誤，再麻煩留言告知～

110.04.25
計算證明題
第 1 題第 1 小題改為 \(f(x)=\log_3 x\)
第 4 題改為 \(x\) 軸

110.04.26
計算證明題
第 3 題修改語句「射線 \(FP\)」

附件: 0424數學試題卷正確版_(填充題).pdf (2021-4-24 21:08, 203.97 KB) / 該附件被下載次數 6667
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附件: 110板橋高中記憶版_(計算證明題).pdf (2021-4-26 14:37, 172.28 KB) / 該附件被下載次數 5369
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作者: bugmens 時間: 2021-4-24 21:21

8.
已知\(I\)為\(\Delta ABC\)的內切圓之圓心，且\(\overline{CA}+\overline{AI}=\overline{BC}\)，若\(∠BCA=42^{\circ}\)，則\(∠ABC=\)　　　。

設\(I\)為\(\Delta ABC\)的內心，且\(\overline{AC}=\overline{BC}+\overline{BI}\)，若\(∠ACB=24^{\circ}\)，則\(∠BAC=\)　　　。
(103松山高中)
Ellipse解題　https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1869&page=1#pid10055
thepiano解題　https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1869&page=2#pid10059
興傑解題　https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1869&page=6#pid10370

12.
求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{2}{k+n}ln\left(\frac{k+n}{n}\right)=\)　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

作者: anyway13 時間: 2021-4-24 21:21 標題: 請教第五題

板上老師好
14*14*14=2744，64*64*64=262144

請問老師這正規作法要怎麼作阿

暴力解費時

作者: thepiano 時間: 2021-4-24 21:40 標題: 回復 3# anyway13 的帖子

第 5 題
n^3 的個位為 4，則 n 的個位必為 4
n = 10a + 4
(10a + 4)^3 = 1000a^3 + 1200a^2 + 480a + 64
a = 1 時，n 最小為 14
a = 6 時，n 次小為 64

作者: anyway13 時間: 2021-4-24 21:45 標題: 回復 4# thepiano 的帖子

鋼琴師作來不費吹灰之力，不知道什麼時候才能和您一樣。受教了。

作者: tsusy 時間: 2021-4-24 22:13 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

最近發現網路上的計算機愈來愈厲害了 (還是我訊息落後了?)

看到是極限，就想丟給計算機算一下，順帶分享(宣傳)計算機的厲害

第 12 題. 計算機連結

其結果為

輸入時，有各種符號可以按或鍵盤輸入後，即時辨識轉成數學式 (支援 LaTeX code)

可以複製輸入好的式子和計算結果(白底)成 LaTeX code，下面式子都是複製出來的

\( \displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum ^n_{k=1}\frac{2}{n+k}\ln \left(\frac{k+n}{n}\right)\:\right) \)
\(\displaystyle \mathrm{The\:definite\:integral\:is\:defined\:as:\:}\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{i=1}^n\left(f\left(c_i\right)\Delta \:x\right)\right)=\int _a^bf\left(x\right)dx \)

\( \mathrm{Where\:}Δx=\frac{b-a}{n},\:\mathrm{and}\:c_i=a+Δx⋅i \)
\( =\ln ^2\left(2\right) \)

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作者: yinchou 時間: 2021-4-24 22:24 標題: 填充1

海龍作法

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作者: PDEMAN 時間: 2021-4-24 22:44 標題: 回復 6# tsusy 的帖子

幫忙補充

圖片附件: BA8DDF69-922F-4AF4-9EFE-81E96061E909.jpeg (2021-5-24 15:04, 258.86 KB) / 該附件被下載次數 3242
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作者: 呆呆右 時間: 2021-4-24 22:46 標題: 計算1 週期意義請教

計算1
證明週期為4
請問此處的「週期」
需要默認成「最小正週期」嗎？

也就是說，除了證明f(x+4)=f(x)之外
是否需要另行處理週期不可能更小？

煩請老師們解惑

作者: thepiano 時間: 2021-4-24 23:23 標題: 回復 9# 呆呆右的帖子

證 f(x + 4) = f(x) 即可

作者: 呆呆右 時間: 2021-4-25 00:39 標題: 回復 10# thepiano 的帖子

感謝Piano老師回覆

附上計算\(1(1)\)

一個奇函數不一定是週期函數，也不一定有對稱軸
但如果它有形如\( x=a \)(\( a \neq 0\))的對稱軸
則它便是週期函數

奇函數且有對稱軸\(x=1 \)
以下「交替」使用這兩個事實，進行代數的操作
\( f(x)=-f(-x)\)，且\(f(x)=f(2-x) \)
\( f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=-f(4-x)=f(x-4)\)
上式對於任於任意實數\(x\)皆成立
可得\(4\)為\(y=f(x)\)的一個週期

[ 本帖最後由呆呆右於 2021-4-25 01:22 編輯 ]

作者: 呆呆右 時間: 2021-4-25 01:32 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

計算\(1(2) \)
我記得是\(f(x)=\log_3 x \)
(雖然不影響)

計算\(4(2) \)
\(y\)軸，應該是\(x\)軸

[ 本帖最後由呆呆右於 2021-4-25 01:34 編輯 ]

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作者: Almighty 時間: 2021-4-25 02:56 標題: 填充1另解

考慮雙曲線在物理光學應用（雙夾縫干涉-波程差）
令無窮遠處P為（4t,3t）(漸近線特性)
PF和PF’ 可設為5t+5, 5t-5
且FF’=10
面積相等—>(10t+10)*r=10*3t
r=30t/(10t+10)—>3

[ 本帖最後由 Almighty 於 2021-4-25 07:52 編輯 ]

作者: PDEMAN 時間: 2021-4-25 09:29 標題: 計算3

（已更正）考試時來不及想出第二小題，有錯歡迎幫忙找出!
最後兩張是更正的

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-4-25 10:07 編輯 ]

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作者: thepiano 時間: 2021-4-25 09:48 標題: 回復 14# PDEMAN 的帖子

最後答案是 (8/3)√2

作者: PDEMAN 時間: 2021-4-25 10:01 標題: 填充3

填充

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作者: PDEMAN 時間: 2021-4-25 10:05 標題: 回復 15# thepiano 的帖子

感謝老師

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-4-25 11:15 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2021-4-25 10:10

第 3 題另解
a_n 表示 n 次投擲中，反面未曾出現 2 次以上的情形數

若第 1 次出現正面，接下來的 (n - 1) 次，反面未曾出現 2 次以上的情形數 = a_(n - 1)
若第 1 次出現反面，第 2 次出現正面，接下來的 (n - 2) 次，反面未曾出現 2 次以上的情形數 = a_(n - 2)
故 a_n = a_(n - 1) + a_(n - 2)

易知 a_1 = 2，a_2 = 3
所求 = a_10 / 2^10 = 9/64

作者: peter0210 時間: 2021-4-25 14:50 標題: 填充8

填充8

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作者: peter0210 時間: 2021-4-25 15:41

填充10

圖片附件: 填10.png (2021-4-25 15:41, 29.31 KB) / 該附件被下載次數 1424
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作者: Superconan 時間: 2021-4-25 16:10

請問計算證明題第 2 題

作者: PDEMAN 時間: 2021-4-25 16:42 標題: 填充10

另解填充10

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-4-25 17:46 編輯 ]

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作者: Ellipse 時間: 2021-4-25 17:29 標題: 回復 21# Superconan 的帖子

請參考
https://www.facebook.com/photo.p ... 59778695&type=3

作者: PDEMAN 時間: 2021-4-25 17:44 標題: 填充9

填充9

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-4-25 20:30 編輯 ]

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作者: craig100 時間: 2021-4-25 18:19 標題: 回復 24# PDEMAN 的帖子

這個做法應該不太行～？
怎麼確定 a^8+b^8+c^8 有最小值時
原式仍為最小？

作者: peter0210 時間: 2021-4-25 19:51

填充11

圖片附件: 未命名.png (2021-4-25 19:51, 26.74 KB) / 該附件被下載次數 1760
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作者: PDEMAN 時間: 2021-4-25 20:29 標題: 回復 25# craig100 的帖子

感謝老師，確實要在考慮，寫的時候有覺得怪怪的,補充另一類似問題

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-4-27 15:36 編輯 ]

作者: jackyxul4 時間: 2021-4-27 09:59

填充7 第一式不是不等式，所以這題應該是無解吧....或者是0?

作者: thepiano 時間: 2021-4-27 10:22 標題: 回復 28# jackyxul4 的帖子

第 7 題
圖應是這樣
http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3298

作者: tsusy 時間: 2021-4-27 10:46 標題: 回復 28# jackyxul4 的帖子

填充 7. 您說的是曲線繞軸轉一圈，是某個旋轉體表面，故其體積為 0。
而原題文字：設曲線 \( \Gamma \) 的方程式為 ...，且，\( R \) 為曲線 \( \Gamma \) 所圍區域。若以直線 \( L:\: x + y =1 \) 為軸，旋轉 \( R \) ...。
轉的是區域 \(R \)，轉出來是實心的。

話說回來，您的擔心，也是老師們在出題的時候要小心用字遣詞，不要讓學生養成超譯題意的習慣。

作者: tsusy 時間: 2021-4-27 12:14 標題: 回復 27# PDEMAN 的帖子

計2. 您的式子好像沒有用到 \( abc=1 \)
是不需要？
還是其實在 \( a^5 + b^5 + c^5 \ge a^4 + b^4 + c^4 \) 的沒有寫出來的細節之中？

作者: jackyxul4 時間: 2021-4-27 12:45

引用:

原帖由 thepiano 於 2021-4-27 10:22 發表
第 7 題
圖應是這樣
http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3298

如果第一式是 >=1，的確如此
第一式如果是<=1，那應該會是三個扇形+一個弓形的組合
所以我才會覺得R的定義有問題

作者: thepiano 時間: 2021-4-27 13:24 標題: 回復 32# jackyxul4 的帖子

其實把第一式改成 ≧ 1，直接定義區域 R 就好了

題目說用曲線去圍，也可以解讀成 R 是 4 個 1/4 圓

作者: math1 時間: 2021-4-27 13:55 標題: 謝謝各位老師們解答！

想請問填充2,4,6,7,11以及
計算第一題第二小題
計算題第三題第二小題
計算第四題二三小題
謝謝

作者: PDEMAN 時間: 2021-4-27 15:39 標題: 回復 31# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師的疑慮應該無法過渡，已修改成類似題!

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-4-27 15:40 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2021-4-27 16:30 標題: 回復 35# PDEMAN 的帖子

計 2. 其實不用把前回的拿掉，那個小洞是可以補起來的

同 \(3({a^8} + {b^8} + {c^8}) - ({a^5} + {b^5} + {c^5})({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge 0\) 證明的方法，

可得 \(3({a^5} + {b^5} + {c^5}) - ({a^4} + {b^4} + {c^4})(a + b + c) \ge 0\)
\( \Rightarrow {a^5} + {b^5} + {c^5} \ge \frac{{a + b + c}}{3} \cdot ({a^4} + {b^4} + {c^4})\)

再由算幾不等式 \(\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}} = 1\) 可得 \( {a^5} + {b^5} + {c^5} \ge ({a^4} + {b^4} + {c^4})\)，

故 \(3({a^5} + {b^5} + {c^5}) - ({a^4} + {b^4} + {c^4})({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge 3({a^8} + {b^8} + {c^8}) - ({a^5} + {b^5} + {c^5})({a^3} + {b^3} + {c^3})\)

另外填充 7. 我眼中的圖是這樣，曲線 \( \Gamma \) 上的點要同時滿足兩個式子，所以僅有圖中實線部分

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:26 編輯 ]

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作者: icegoooood 時間: 2021-4-27 16:37

不好意思，能詢問一下填充第四的作法嗎? 一時想不明白

作者: tsusy 時間: 2021-4-27 16:51 標題: 回復 34# math1 的帖子

填充 2. 數字醜、算式長...很難算對的感覺
\( AC \) 的一個方向向量 \(\mathop u\limits^ \rightharpoonup = (1,2, - 2)\)
\( GE \) 的一個方向向量 \(\mathop v\limits^ \rightharpoonup = ( - 3,4,1)\)
\(\mathop u\limits^ \rightharpoonup \times \mathop v\limits^ \rightharpoonup = (10,5,10) = 5(2,1,2)\)
平面 \( ABCD \) 的一個法向 \(\mathop n\limits^ \rightharpoonup = (2,1,2)\)
平面 \( ABCD \) 的方程式 \(2x + y + 2z = - 7\)，
直線 \( GE \) 上，一點 \(I(2, - 2,0)\)，平面 \( EFGH \) 的方程式 \(2x + y + 2z = 2\)

令點 H 的坐標為 \(H( - 4 + 2t, - 1 + t,1 + 2t)\) 代入平面 \( EFGH \) 的方程式，可得 \(t = 1\), \(H( - 2,0,3)\), H 到平面 \( ABCD \) 的距離為 3。

令點 J 為 \(\overline {HF} \) 的中點，則 J 的坐標可令作 \(J( - 2 + s,2s,3 - 2s)\) ( ∵\( HJ//AC \) )
將 J 代入 \( GE \) 的比例式，解得\(s = 1\)。

\(\Delta GJH\) 中，\(\overline {GJ} = \overline {JH} \)，\(\Delta GJH = \frac{1}{2}|\mathop {GJ}\limits^ \rightharpoonup \times \mathop {HJ}\limits^ \rightharpoonup | = \frac{1}{2} {\overline {GJ} \cdot \overline {JH} } \cdot \frac{ |\mathop u\limits^ \rightharpoonup \times \mathop v\limits^ \rightharpoonup |}{{\left| {\mathop u\limits^ \rightharpoonup } \right| \cdot \left| {\mathop v\limits^ \rightharpoonup } \right|}} = \frac{{45\sqrt {26} }}{{52}}\)。

長方形 \( EFGH \) 面積 \( = 4 \cdot \Delta GJH = \frac{{45\sqrt {26} }}{{13}}\)。
所求長方體體積 \( = \frac{{45\sqrt {26} }}{{13}} \times 3 = \frac{{135\sqrt {26} }}{{13}}\)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:30 編輯 ]

作者: PDEMAN 時間: 2021-4-27 17:12 標題: 回復 36# tsusy 的帖子

感謝寸絲老師，受教了！還是整理了，分享給大家！

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-5-23 21:41 編輯 ]

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作者: thepiano 時間: 2021-4-27 18:49 標題: 回復 37# icegoooood 的帖子

第 4 題
3(2^x + 1) = y^2 + 2y = y(y + 2)
3(2^x + 1) 為奇數，y 為奇數，令 y = 2k + 1

3(2^x + 1) = (2k + 1)(2k + 3)
3 * 2^(x - 2) = k(k + 2)
k = 1，x = 2，y = 3
k = 4，x = 5，y = 9
k = 6，x = 6，y = 13

當 k ≧ 7
3 * 2^(x - 2) ≧ 3 * 2^5 無法分解成兩個差 2 的整數相乘

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-27 18:54 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2021-4-27 19:15 標題: 回復 34# math1 的帖子

填充 6. 認真討論一下各種情形
單看一色球，球數分布在兩袋的情形有 (5,5), (3,7), (1,9), (2,8), (4,6) 及兩數交換共9種情形。
(1) 三色皆各 5 個，有1種放法 \({5^3} = {5^3}\)。
(2) 恰一色 5個，有 \(3 \times 8 = 24\) ( \( 5x(10-x) = 5(10-x)x \)

接下就是檢查沒有其它可能，注意到如果有 (x,10-x), (10-x,x)，那第三色僅能 (5,5) 已在上方數過。再利用質因數的特性，就可以說明以下，不會發生滿足題意的乘積相等。

(3) 沒有任何顏色 5個，
某色球有 7 個的話，另一袋也必某色有 7 個，就會是 (2) 的情況。
故(3)不會有某色球分布為 (3,7) 或 (7,3)。

某色球有 9 個的話，另一袋顏色球數只能用 \( 6 \times 6 \) 配出 9 的倍數(不能用 9，否則就是(2)的情況)
餘下 (2,8), (4,6), (8,2), (6,4)，同樣地論證也可以得到無法搭配出乘積相等。

故所求為 \(1 + 24 = 25\)

作者: PDEMAN 時間: 2021-4-27 21:55 標題: 填充4

另一個想法

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-4-28 10:53 編輯 ]

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作者: craig100 時間: 2021-4-27 22:24

填充2

先算出兩歪斜線距及點座標
稱 GE 中點為 Q、AC 中點為 P
可知方體的高度為 \( PQ = 3\)、且 \(AC=GE=6 \)
令 AC 直線之方向向量 \( \vec{p}=(1,2,-2) \)、GE 直線之方向向量 \(\vec{q}=(-3,4,1) \)
由外積性質，把 \( \vec{p} ,\vec{q} \) 各自調整為長度 6 後做外積取絕對值，可得底面積的兩倍
故答案為 \(\frac{1}{2}\cdot\|{2 \vec{p}\times\frac{6}{\sqrt{26}}\vec{q}}\|\cdot 3\)

[ 本帖最後由 craig100 於 2021-4-27 22:33 編輯 ]

作者: enlighten 時間: 2021-4-27 23:24 標題: 回復 29# thepiano 的帖子

可以請教第七題的後續如何運算嗎?

作者: anyway13 時間: 2021-4-28 00:54 標題: 第七題請參考

借用一下鋼琴老師畫的圖

首先計算R的面積: (1-pi/4)*4=4-pi

其實計算的為"柱體" 想像一堆R疊在一起變成類似"長方形"的柱體V

V=R*H 其中 H=R對著y=-x+1繞一圈的圓周長,H=2*(1/(根號2))*(pi)=(根號2)pi 式子中間的(1/(根號2))就是鋼琴老師的綠線長度

所以 V=4(根號2)pi-(根號2)*(pi)*(pi)

Note: 一開始真的以為是四個四分之一圓在繞y=-x+1

作者: icegoooood 時間: 2021-4-28 11:14

謝謝鋼琴老師以及PDEMAN老師的解答!

作者: laylay 時間: 2021-4-28 14:41 標題: 計算2.

不妨設 a>=b>=c>0 , 再設 f(n)=a^n+b^n+c^n , m>=k>=t>=0
則因為 f(m+k)f(m-k)-f(m+t)f(m-t)
=  (ab)^(m-k)*(a^(k+t)-b^(k+t))*(a^(k-t)-b^(k-t))
  +(ac)^(m-k)*(a^(k+t)-c^(k+t))*(a^(k-t)-c^(k-t))
  +(bc)^(m-k)*(b^(k+t)-c^(k+t))*(b^(k-t)-c^(k-t)) >=0
可知  f(m-t)f(m+t)<=f(m-k)f(m+k)
先取 m=3.5 ,k=3.5,t=0.5 後取 m=4 ,k=4,t=3 因為 a+b+c>=3*  (3)ㄏ(abc)=3=a^0+b^0+c^0 , 所以可得
0<分母<=(a^0+b^0+c^0)(a^7+b^7+c^7)<=(a+b+c)(a^7+b^7+c^7)<=(a^0+b^0+c^0)(a^8+b^8+c^8) =3分子
所以原式=分子/分母>=1/3 , 故最小值=1/3
由上可知分子由 f(8) 改為f(9),f(10),f(11) .......答案還是不會變的.

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-4-28 15:37 編輯 ]

作者: enlighten 時間: 2021-4-29 11:37

請教計算一的第二小題

作者: thepiano 時間: 2021-4-29 12:03 標題: 回復 48# enlighten 的帖子

計算 1 (2)
logx (以 3 為底) = -1/3 ，在 (0，1) 有一解 x_1
由於圖形對稱於 x = 1，所以在 (1，2) 也有一解 x_2
(x_1 + x_2) / 2 = 1
x_1 + x_2 = 2

由於是週期為 4 的函數
所以在 (4，6) 也有兩根 x_3 和 x_4
x_3 + x_4 = 10

在 (8，10) 也有兩根 x_5 和 x_6
x_5 + x_6 = 18

所求 = 2 + 10 + 18 = 30

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-29 12:05 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2021-4-30 12:02 標題: 回復 34# math1 的帖子

計算第 4 題
(2) 用分部積分可得 ∫f(x)dx = 2 √x * lnx - 4√x + C
從 1 積到 e^2 是 4

(3) 所求 = π∫[(lnx)^2 / x]dx (從 1 積到 e^2) = 8/3

作者: Uukuokuo 時間: 2021-5-5 10:39 標題: 回復 40# thepiano 的帖子

請問老師k>=7之後如何判斷3*2^(x-2)無法分解成兩個差2的整數相乘??

作者: thepiano 時間: 2021-5-5 11:05 標題: 回復 51# Uukuokuo 的帖子

由於要分成兩個差 2 的整數相乘，那兩個數要愈接近愈好

3 * 2^5，分成最接近的兩數是 3 * 2^2 和 2^3
兩個數差 2^2 * (3 - 2) = 4

3 * 2^6，分成最接近的兩數是 3 * 2^2 和 2^4
兩個數差 2^2 * (2^2 - 3) = 4

其餘的比照辦理

作者: Uukuokuo 時間: 2021-5-6 10:59 標題: 回復 52# thepiano 的帖子

感恩，謝謝

作者: L.Y. 時間: 2021-6-2 11:25 標題: 回復 20# peter0210 的帖子

您好，想借這一題來請教。
因為這題剛好是三次方後，y的次方皆為整數 (原x次方剛好一個餘2一個餘1)。
想請問如果像是 f(x)=x^12+6*x^11-1 這樣子的話，想求其12個根的三次方為根的方程式有辦法嗎？
-------
想了又想，就突然自己想出來了
令 y=x^3
f(x)=y^4+6x^(11/3)-1=0
--> (y^4-1)^3 = 6*x^11

[ 本帖最後由 L.Y. 於 2021-6-2 23:52 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2021-6-3 08:56 標題: 回復 54# L.Y. 的帖子

一般都是這麼做，但其中有一些小細節，不是很確定、明白，
借此順帶提出，看看有沒有什麼好答案。
這樣的代換，會保證原本每個根的三次方，都是新的方程式的根，
但應該不保證新的方程式的 12 個根就是原 12 個根的三次方

裡面牽扯到的是重根問題，以下舉一個例子，比較容易明白我想說什麼

例如：方程式 \( x^2 = 4 \) 的兩根為 \( x = -2, 2 \)
若要找以此兩個根的平方為根的二次方程式，
仿造上面將等式的左右兩側平方，則得 \( (x^2)^2 = 16 \)
再把 \( x^2 \) 以 \( y \) 代換掉，則得方程式 \( y^2 = 16 \)
我們可以看到，\( y = 2^2 = (-2)^2 = 4 \) 都是新方程式的根，
但 \( y^2 = 16 \) 的解為 \( y = 4, -4 \)，其中 \( -4 \) 並不是原 x 方程式根的平方。
也就是說 \( y^2 = 16 \) 並不是我們要找的方程式。

重做一次代換，先將 4 移項，\( (x^2 -4)^2 =0 \) 代換之後寫成 \( (y-4)^2 = 0 \)
新方程式 y 的兩根為 4, 4。這組就是正確的達到我們的要求了。

以上兩個代換，還有 54# 的代換，有一些小細節上的不同，
哪個環節的不同，造就了結果的差異，如何完整的說明 #54 的結果必然正確?

作者: L.Y. 時間: 2021-6-4 00:36 標題: 回復 55# tsusy 的帖子

寸絲老師您好，
謝謝您的想法，都沒注意到這個細節！
我還菜想不到什麼解釋

針對我自己的題目我算了一下三次方後會不會有重根的出現
算起來是沒有的，希望對這題有更嚴謹了一些

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作者: jerryborg123 時間: 2021-6-13 17:03 標題: 回復 45# anyway13 的帖子

請教老師，這題之所以可以這樣做，是因為R是對稱圖形且知道中心位置嗎？

作者: satsuki931000 時間: 2021-6-14 09:54 標題: 回復 57# jerryborg123 的帖子

這是Pappus定理只要知道R的中心位置都可以這樣做
只是該題圖形的中心座標很顯然就是了

作者: math1 時間: 2022-3-28 18:56 標題: 回復 49# thepiano 的帖子

不好意思，可以請鋼琴老師說明為什麼在（0,1）有解呀？不是應該y＝－1／3嗎？

作者: thepiano 時間: 2022-3-29 07:40 標題: 回復 59# math1 的帖子

這裡的 (0，1) 是指在 x = 0 和 1 之間

[ 本帖最後由 thepiano 於 2022-3-29 07:42 編輯 ]

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