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標題: 110臺中一中 [打印本頁]

作者: Superconan    時間: 2021-4-24 20:14     標題: 110臺中一中

週一應該會公告題目,簡單打一下還記得的關鍵字。
想請問填充第 11 題。
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110.04.29
計算證明題
感謝 BambooLotus 老師分享試題,
我用老師記得的數據與我的印象,推論出直線方程式的常數32,打成電子檔與各位分享。

110.05.21
臺中一中在 05/13 公告一份測驗題答案的檔案,其中包含計算證明題的試題與答案。因此,我將原本記憶版的檔案重新打字,改為跟官方一樣的敘述與數據,跟各位分享。

[ 本帖最後由 Superconan 於 2021-5-21 16:58 編輯 ]

附件: 110臺中一中數學科測驗題公告0426.pdf (2021-4-26 14:22, 266.91 KB) / 該附件被下載次數 1383
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5909&k=13c314d24dd1547567cb286aa0e7dbde&t=1634820447

附件: 110臺中一中數學科測驗題答案公告0513.pdf (2021-5-21 16:58, 142.46 KB) / 該附件被下載次數 541
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6020&k=eac7bfd95d8dd5835e60dc9f150c5ca6&t=1634820447

附件: 110臺中一中計算證明題(官方數據版).pdf (2021-5-21 16:58, 120.99 KB) / 該附件被下載次數 491
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6021&k=08f9834333f93ac0c2eee263c57a34da&t=1634820447
作者: bugmens    時間: 2021-4-24 21:56

13.
在長方形\(ABCD\)中,\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{BC}=4\),今將此長方形沿著對角線\(\overline{AC}\)折起。若折起後的半平面\(ACD\)與半平面\(ABC\)所夾的兩面角為\(\theta(0^{\circ}\le \theta \le 180^{\circ})\),則\(\overline{BD}\)的長度為   (以\(\theta\)表示)。
其他相關題目https://math.pro/db/thread-567-1-1.html
作者: thepiano    時間: 2021-4-24 23:42     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

第 11 題
甲和乙從 A 袋中,抽出一樣號碼的機率 = 1/5
甲抽出的三位數 = 乙抽出的三位數的機率 = (1/5)^3
所求 = [1 - (1/5)^3] / 2

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-26 10:19 編輯 ]
作者: mean4136    時間: 2021-4-26 10:04

公布填充題及答案了

110.4.26版主補充
將檔案移到第一篇,方便網友下載
作者: BambooLotus    時間: 2021-4-26 10:14

結果試題沒有公布計算題,小弟幫忙背個題目出來,日子過有點久了,有點健忘

計算1
在平面座標有一圓\((x+1)^2+(y-4)^2=50\),圓上一點\(A(-6,9)\)和一點B,
對直線\(3x+4y+...=0\)(常數項忘了但不影響答案)的正射影長為\(12\),試求\(AB\)向量長的最大值。(9分)
小弟算答案為\(6\sqrt{5}\)

計算2
多項式方程式\(f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=0\)的四根為\(\alpha,\beta,\gamma,\phi\)
(1)試求\(\displaystyle\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma}++\frac{1}{1-\phi}\)。(5分)
(2)在複數平面上一點\(1+i\),此點為\(A\),\(f(x)=0\)的四根在複數平面上為\(P,Q,R,S\)
試求\(\overline{AP}\times\overline{AQ}\times\overline{AR}\times\overline{AS}=\)?(5分)

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2021-4-26 10:22 編輯 ]
作者: mean4136    時間: 2021-4-26 10:17     標題: 回復 5# BambooLotus 的帖子

請教計算1
作者: flyinsky218    時間: 2021-4-26 13:31     標題: 回復 6# mean4136 的帖子

我用A在直線上的投影點,然後推出B的投影點B’
作直線過B’點且垂直L,會和圓交於兩點,看哪個長度大
作者: ibvtys    時間: 2021-4-26 15:02

想請教填充12
作者: pretext    時間: 2021-4-26 15:06     標題: 回復 8# ibvtys 的帖子

令a=2^x,b=3^x這樣比較容易看出因式分解
原式=6ab-3a^3+2b^3-(a^2)(b^2)=0
作者: son249    時間: 2021-4-26 15:29     標題: 請教填充第5題的最小值怪怪的

我算的最小值是16/5
作者: ChuCH    時間: 2021-4-26 15:37     標題: 回復 10# son249 的帖子

令橢圓參數式,到(2,0)距離,配方即可
作者: thepiano    時間: 2021-4-26 16:10     標題: 回復 10# son249 的帖子

軌跡是橢圓 x^2 / 16 + y^2 / 36 = 1
易看出最小值是 2 沒錯

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-26 17:11 編輯 ]
作者: yosong    時間: 2021-4-26 20:47     標題: 填充8

解法參考

圖片附件: 填充8.jpg (2021-4-26 20:47, 51.88 KB) / 該附件被下載次數 202
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5913&k=fe38359f4b68c469096a8555c170f9d6&t=1634820447


作者: peter0210    時間: 2021-4-26 21:10

填充9

圖片附件: 1619442553911.jpg (2021-4-26 21:10, 22.02 KB) / 該附件被下載次數 199
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5914&k=78df2e8a383afeec0c65bda86b6ef63d&t=1634820447


作者: matsunaga2034    時間: 2021-4-27 00:14

想請教填充10
作者: CyberCat    時間: 2021-4-27 01:06     標題: 回復 15# matsunaga2034 的帖子

由三次函數對稱點性質可得
-b/3a=1 得 b=-3a
又f'(2)=12a+4b+c=-4
可以推得c=-4,d=6+2a
將 b=-3a,c=-4,d=6+2a代入題目
再用算幾就可以處理了
作者: happysad    時間: 2021-4-27 12:41

請問填充6該怎麼作答? 謝謝。
作者: ycj    時間: 2021-4-27 13:01     標題: 回復 17# happysad 的帖子

Fibonacci
x,y,x+y,x+2y,2x+3y,3x+5y,5x+8y,8x+13y,13x+21y,21x+34y,34x+55y

x,y為正整數,不難從後面找回來,第一個找到的x+y最小
x=4,y=3時13x+21y=115
作者: peter0210    時間: 2021-4-27 13:11

計算1,B可能有兩點,AB線段最大為A至B2的距離=6*5^0.5

圖片附件: 未命名.png (2021-4-27 13:11, 95.53 KB) / 該附件被下載次數 206
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5917&k=d9857833164eed11ac6785c0ff50ef03&t=1634820447


作者: happysad    時間: 2021-4-27 13:32

感謝 ycj 大大的回覆~~~
引用:
原帖由 ycj 於 2021-4-27 13:01 發表
Fibonacci
x,y,x+y,x+2y,2x+3y,3x+5y,5x+8y,8x+13y,13x+21y,21x+34y,34x+55y

x,y為正整數,不難從後面找回來,第一個找到的x+y最小
x=4,y=3時13x+21y=115

作者: ycj    時間: 2021-4-27 13:55

計算1
求過A點平行線,得弦心距=1後,半弦長=7
重訂數據,設A'(-12,0),O'(-5,1),C': \((x+5)^2+(y-1)^2=50\),投影線在x軸上
則B點會在y軸上,有兩解x=0代入得y=6或-4(-4時為最小值)
B(0,6),AB最大值=\(6\sqrt{5}\)
作者: laylay    時間: 2021-4-27 15:10     標題: 填充9.

設 f(x)=x^3+px^2+qx+5/a=0 的三根為b,c,d  , 此時bcd=-5/a,它符合了abcd=-5
則 f(x+1)=0  三根為b-1,c-1,d-1 =>(b-1)(c-1)(d-1)= -(1+p+q+5/a)=11/a => p+q=-1-16/a
則 f(x+2)=0  三根為b-2,c-2,d-2 =>(b-2)(c-2)(d-2)= -(8+4p+2q+5/a)=33/a => 2p+q=-4-19/a
則 f(x+3)=0  三根為b-3,c-3,d-3 =>(b-3)(c-3)(d-3)= -(27+9p+3q+5/a)=73/a => 3p+q=-9-26/a
可得 p=-3-3/a=-5-7/a => a=-2 , p=-3/2 , q=17/2
  f(x-1)=0  三根為b+1,c+1,d+1 => (b+1)(c+1)(d+1)=-(-1+p-q+5/a)=27/2
=> a(b+1)(c+1)(d+1)=-27
作者: enlighten    時間: 2021-4-27 23:23     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

可以請教詳細過程嗎?
作者: pretext    時間: 2021-4-28 08:42     標題: 回復 23# enlighten 的帖子

先找出折起來的角DAB或DCB的cos
再用餘弦定理就可以得到對邊了
作者: ibvtys    時間: 2021-4-28 10:07

想請問計算2的答案是2 和 根號41 嗎?
作者: thepiano    時間: 2021-4-28 11:22     標題: 回復 25# ibvtys 的帖子


作者: satsuki931000    時間: 2021-4-28 15:17

計算一另解
不過很暴力就是了

把整個圖形平移,圓形平移變成一個圓心在原點的圓,得\(x^2+y^2=50\)
則平移過後的點\(A'(-5,5)\),然後令\(B(5\sqrt2 cos\theta,5\sqrt2 sin\theta)\)
得\(\vec {AB}=(5\sqrt2 cos\theta +5,5\sqrt2 sin\theta -5)\),所求為\(\displaystyle \sqrt{50\sqrt2 (cos\theta-sin\theta)+100}\)
之後再用正射影長公式列出關係式
解三角函數,代回去求最大值

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-4-28 15:18 編輯 ]
作者: tuhunger    時間: 2021-5-1 00:21     標題: 填充13

坐標化解法

圖片附件: 1619799374748.jpg (2021-5-1 00:21, 90.28 KB) / 該附件被下載次數 193
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作者: chihming    時間: 2021-5-2 18:57     標題: 回復 18# ycj 的帖子

如果,倒過來,要先 找一般項,那怎麼找? 再反推 起始值
作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 01:01     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

填1

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作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 01:54     標題: 回復 30# nanpolend 的帖子

填2

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作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 02:24     標題: 回復 31# nanpolend 的帖子

填3

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作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 03:13     標題: 回復 32# nanpolend 的帖子

填四

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作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 05:01     標題: 回復 10# son249 的帖子

填5

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作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 10:27     標題: 回復 34# nanpolend 的帖子

填12

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作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 10:27     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

請教填充7做法
作者: thepiano    時間: 2021-5-3 10:37     標題: 回復 36# nanpolend 的帖子

第 7 題
令 f(x) = a(x - 1)(x + 1)(x - 2)^2(x + 2)^2
......
作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 16:24     標題: 回復 37# thepiano 的帖子

填7詳細作法

圖片附件: 填充7.png (2021-5-3 16:24, 16.1 KB) / 該附件被下載次數 185
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作者: nanpolend    時間: 2021-5-4 02:47     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

填充13

圖片附件: 填充13.png (2021-5-4 02:47, 21.7 KB) / 該附件被下載次數 180
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5977&k=6be1a90d68d5525f8beb53cebf92c9fb&t=1634820447


作者: tsusy    時間: 2021-5-4 18:01     標題: 回復 39# nanpolend 的帖子

填充 13. \( \overline{BD'} \) 沒有和 \( \overline{AC} \) 垂直,\( \angle BD'D \) 不是二面夾 \( \theta \)
作者: anyway13    時間: 2021-6-16 00:16     標題: 請教計算2第二小題

版上老師好

計算二第二小題,請問有沒有比較快的做法

因為訂好坐標在一個 一個算很慢很複雜
作者: thepiano    時間: 2021-6-16 08:37     標題: 回復 41# anyway13 的帖子

計算 二 (2)

x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x - α)(x - β)(x - γ)(x - ψ)

AP * AQ * AR * AS = |[(1 + i) - α][(1 + i) - β][(1 + i) - γ][(1 + i) - ψ]|
= |(1 + i)^4 + (1 + i)^3 + (1 + i)^2 + (1 + i) + 1|
作者: anyway13    時間: 2021-6-16 11:37     標題: 回復 42# thepiano的帖子

謝謝鋼琴師。




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