標題: 110新竹高中 [打印本頁]

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作者: 呆呆右    時間: 2021-4-10 11:08     標題: 110新竹高中

感謝各位老師們協助幫忙整理試題
若有錯誤，請不吝嗇指正
附件為Superconan老師整理的版本

填充題（5分*10題）
1.ABCDEFabcdef兩兩配成6對（可以AB,Aa,Ab,ab等等）
至少兩對同義（像是Aa）的方法數

2.五顆大小不同的西瓜排成一列
某人拿一個西瓜的方式如下：
前兩個必不取
之後看到比這兩個都大的西瓜就拿
求拿到最大的機率
（題目沒說有關最後都沒拿的事情，應是此與所求無關）

3.Sn=2an-1，b1=3，b_(n+1)=bn+an
求<bn>的前n項之和

4.sin(20度)=根號3*cos(40度)+sin(x度)
求x=?（0<=x<360）

5.OA向量=(3,3,1),OB向量=(2,4,0),OC向量=(3,-6,-9)
H異於原點，OA在OH上的正射影為OH
OB在OH上的正射影為2OH
OC在OH上的正射影為3OH
求OH的長度

6.P在x^2/36+y^2/32=1上,A(-2,0),B(-1,4)
求PA+PB的最小值

7.O是三角形ABC的外心
AO向量=AB向量+2AC向量
求sin角BAC

8.實係數多項式x^3+ax^2+bx+c=0
每個根的絕對值都是1，三根之和為-2
求數組(a,b,c)

9.設z為複數，Arg((z+k)/(z))=pi/6,Arg((z+2k)/(z+k))=pi/4
且k>0，求k/z

10.a1=1,a2=1/2,前兩項之積開根號為後一項
求lim n->inf an

計算題（10分*5題）
1.求g(1)+...g(2^n)
(g(n)=n的最大奇因數）

2.四面體ABCD給六邊(5,6,7,8,8,9)求體積。
（應該是AB=5,BC=6,AC=7,DB=8,DC=8,DA=9）

3.y^2=4x
兩直線互相垂直，且通過焦點
與拋物線交於A,B和C,D
求線段AB+線段CD的最小值

4.z是不等於0的複數
已知z+1/z是實數
證明z^n+1/z^n是實數，對任意整數n

5.y=x^3-5x+2
與y=mx恰有兩交點
(1)求m(6分)
(2)求兩者所圍的面積(4分)

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作者: bugmens    時間: 2021-4-10 12:03

6.
已知\(A(-2,0)\)，\(B(-1,4)\)，\(P\)點在橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1\)上，求\(\overline{PA}+\overline{PB}\)的最小值。
[解答]
過\(B(-1,4)\)和\(F(2,0)\)的直線交橢圓於\(P\)點
\(\overline{PA}+\overline{PF}=2a\)
\(\overline{PA}+\overline{PB}+\overline{BF}=2a=12\)
\(\overline{PA}+\overline{PB}=2a-\overline{BF}\)有最小值7
(我的教甄解題之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

10.
已知一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，\(\displaystyle a_1=1,a_2=\frac{1}{2}\)，\(a_{n+2}=\sqrt{a_na_{n+1}}\)，\(n \in N\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)？

設\(a_1=1\)，\(a_2=8\)且\(a_n=\sqrt{a_{n-1}\times a_{n-2}}\)，\(\forall n\ge 3\)，求此數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的第\(n\)項\(a_n\)為何？(用\(n\)表示)
(102松山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2156&page=1#pid14147)

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作者: Christina    時間: 2021-4-10 12:29     標題: 回復 1# 呆呆右 的帖子

印象中第八題是問Sin

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作者: studentJ    時間: 2021-4-10 13:29

好像記得最小值

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作者: zidanesquall    時間: 2021-4-10 13:36

填充9.找最小值
計算4.n為整數

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作者: koeagle    時間: 2021-4-10 15:11

計算3  兩直線通過焦點
填充8  題目無誤，109台中一中考過

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作者: ibvtys    時間: 2021-4-10 15:40

想請教填充4, 計算2.3

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作者: thepiano    時間: 2021-4-10 16:30     標題: 回復 7# ibvtys 的帖子

計算第 3 題
已知拋物線\(y^2=4x\)，有兩直線\(L_1\)和\(L_2\)通過拋物線的焦點且互相垂直，若\(L_1\)與拋物線交於點\(A\)和點\(B\)，\(L_2\)與拋物線交於點\(C\)和點\(D\)，試求\(\overline{AB}+\overline{CD}\)的最小值。
[解答]
AB 和 CD 應是焦點弦，且是求 AB + CD 的最小值

設直線 AB 和 x 軸之夾角為 θ，直線 CD 和 x 軸之夾角為 π/2 + θ
由 AB = 4c / (sinθ)^2，CD = 4c / [sin(π/2 + θ)]^2 =  4c / (cosθ)^2
可求出 AB + CD 的最小值為 16

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作者: thepiano    時間: 2021-4-10 16:43     標題: 回復 7# ibvtys 的帖子

計算第 2 題
已知四面體\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=5,\overline{BC}=6,\overline{AC}=7,\overline{DA}=9,\overline{DB}=\overline{DC}=8\)，試求四面體\(ABCD\)的體積。
[解答]
參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=5#pid5334

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作者: Superconan    時間: 2021-4-10 16:46

感謝呆呆右老師分享題目
我將老師提供的試題與我記得的部分合併，打成檔案，題號順序是正確的。
若題目敘述有需要更正的部分，再請老師們留言告知。

計算最後一題的配分應該是第一小題6分，第二小題4分。
填充第 1 題增加舉例，當時題目應該是給這三個例子。
計算第 4 題改為 n 是整數（已確認）。

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5835&k=37e992ebefc2f9cfd5ea5476178729a4&t=1714210838

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作者: Superconan    時間: 2021-4-10 16:51

今天考試時有消防車，外面很吵的原因
h ttps://udn.com/news/story/7320/5378812　連結已失效
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不知道可否分享這個？若不妥我再刪除。

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作者: yosong    時間: 2021-4-10 17:00     標題: 填充4

填充四
若\(0^{\circ}\le x^{\circ}<360^{\circ}\)且\(sin20^{\circ}=\sqrt{3}cos40^{\circ}+sinx^{\circ}\)，則\(x=\)？
[解答]
有錯請不吝指正

圖片附件: 1618045177332.jpg (2021-4-10 17:00, 78.08 KB) / 該附件被下載次數 1610
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作者: 5pn3gp6    時間: 2021-4-10 17:09

引用:

原帖由 Superconan 於 2021-4-10 16:46 發表
感謝呆呆右老師分享題目
我將老師提供的試題與我記得的部分合併，打成檔案，題號順序是正確的。
若題目敘述有需要更正的部分，再請老師們留言告知。
計算最後一題有點忘記是不是第一小題四分，第二小題六分。 ...

感謝 Superconan老師 打上題目
稍微提一下，計算４我記得題目並沒有提到z的絕對值=1 這件事
這應該是推論過程之中才會得到的

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作者: 呆呆右    時間: 2021-4-10 17:22

引用:

原帖由 Superconan 於 2021-4-10 16:46 發表
感謝呆呆右老師分享題目
我將老師提供的試題與我記得的部分合併，打成檔案，題號順序是正確的。
若題目敘述有需要更正的部分，再請老師們留言告知。
計算最後一題有點忘記是不是第一小題四分，第二小題六分。 ...

感謝以上老師幫忙還原題目。
z+1/z...那題，補上n是任意正整數
|z|我記得題目沒有說
可以證明的是z=r(cos(theta)+isin(theta))
(1)sin(theta)=0,...(r不必然為1）
(2)sin(theta)不等於0,可證得r=1，...

結果#13F先講了

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作者: studentJ    時間: 2021-4-10 17:36     標題: 回復 8# thepiano 的帖子

想問AB為何可以這樣表示，謝謝

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作者: 呆呆右    時間: 2021-4-10 17:46

引用:

原帖由 Superconan 於 2021-4-10 17:39 發表


謝謝老師，已更新。

計算第五題的配分，應該是6分跟4分
另外方便我之後將老師最終的檔案
放在1F附件嗎？

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作者: XINHAN    時間: 2021-4-10 17:47

引用:

原帖由 studentJ 於 2021-4-10 17:36 發表
想問AB為何可以這樣表示，謝謝

考慮拋物線定義，並假設線段與x軸正向夾角，即可寫出鋼琴老師的式子~
我考場內也是算出16~

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作者: zidanesquall    時間: 2021-4-10 17:58     標題: 回復 15# 呆呆右 的帖子

我記得計算的第4題n是整數，不是正整數

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作者: Superconan    時間: 2021-4-10 18:11     標題: 回復 18# zidanesquall 的帖子

我記得應該是正整數，因為我一看到n是正整數，馬上想到會不會是用數學歸納法來證

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作者: thepiano    時間: 2021-4-10 18:14     標題: 回復 16# studentJ 的帖子

A(x_1，y_1)、B(x_2，y_2)
直線 AB：y = tanθ(x - c)
y^2 = 4cx

[tanθ(x - c)]^2 = 4cx
(tanθ)^2 * x^2 - [2c(tanθ)^2 + 4c]x + c^2 * (tanθ)^2 = 0
x_1 + x_2 = 2c + [4c / (tanθ)^2]

AF = x_1 + c，BF = x_2 + c
AB = x_1 + x_2 + 2c = 4c + [4c / (tanθ)^2] = 4c / (sinθ)^2

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作者: Superconan    時間: 2021-4-10 18:51

引用:

原帖由 呆呆右 於 2021-4-10 17:46 發表


計算第五題的配分，應該是6分跟4分
另外方便我之後將老師最終的檔案
放在1F附件嗎？

最終檔案放 1F 附件當然沒問題，到時候再麻煩呆呆右老師了。
另外，感謝 5pn3gp6老師、呆呆右老師 提醒題目應修正的地方，為了不佔用太多版面，我將剛剛的感謝貼文刪除。

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作者: z78569    時間: 2021-4-10 19:22

想請教填充一
我不知道他的題目意思是什麼
是大寫只能配小寫還是？

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作者: 5pn3gp6    時間: 2021-4-10 19:48

引用:

原帖由 z78569 於 2021-4-10 19:22 發表
想請教填充一
我不知道他的題目意思是什麼
是大寫只能配小寫還是？

它可以Aa，Ab，AB等等配對
但只有大小寫是同個字母配對的，如Aa，Bb，Cc，才稱為同義(還是正規？正統？)
題目要的是至少兩對同義的。

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作者: ibvtys    時間: 2021-4-10 19:53

想再請教填充2 , 考試當下是用數狀圖 , 不知道有沒有快一點的方法

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作者: 有魚魚    時間: 2021-4-10 19:54     標題: 回復 19# Superconan 的帖子

我確定題目是整數，而非正整數
因為一開始看到並非正整數，還愣了一下...

不過是否正整數如果對，那負整數也一定成立?

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作者: Almighty    時間: 2021-4-10 20:11     標題: 回復 24# ibvtys 的帖子

2.
某農場中有一直排單向的西瓜田，田中目前只有五顆成熟但大小不同的西瓜。瑪莉奉命到西瓜田裡採一顆成熟且最大的西瓜，只能摘一次，而且錯過不能回頭。瑪莉的策略是：最先看到兩顆成熟西瓜無論如何都不採，接下去只要看到比這兩顆更大的成熟西瓜，就直接採摘，不再猶豫。若按照瑪莉的策略，則他採摘到最大成熟西瓜的機率為何？
[解答]
考慮大西瓜的位置!!!

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作者: ibvtys    時間: 2021-4-10 20:25     標題: 回復 25# 有魚魚 的帖子

z^n + 1/z^n = z^n + z^(-n) 是偶函數 , 所以正整數成立 , 負整數也會成立 , 但考試時候忘記寫了QQ

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作者: z78569    時間: 2021-4-10 22:12

請教填充9
感謝各位

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作者: Almighty    時間: 2021-4-10 23:31     標題: 回復 28# z78569 的帖子

9.
已知\(z\)為一複數，且滿足\(\displaystyle Arg(\frac{z+k}{z})=\frac{\pi}{6}\)及\(\displaystyle Arg(\frac{z+2k}{z+k})=\frac{\pi}{4}\)，其中\(k>0\)，求\(\displaystyle \frac{k}{z}\)的值。
[解答]
應該這樣吧吧吧
為何要湊"(2z+2k)-z"
而不是湊"(z+k)+k"
是經過多方嘗試後
才容易連結到所求的k/z

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作者: swallow7103    時間: 2021-4-11 10:07

計算二
(\overline{AB}=5,\overline{BC}=6,\overline{AC}=7,\overline{DA}=9,\overline{DB}=\overline{DC}=8\)，試求四面體\(ABCD\)的體積。
[解答]
四面體體積計算
重算一次後發現自己考試粗心了...

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作者: swallow7103    時間: 2021-4-11 10:09

計算三  另解
已知拋物線\(y^2=4x\)，有兩直線\(L_1\)和\(L_2\)通過拋物線的焦點且互相垂直，若\(L_1\)與拋物線交於點\(A\)和點\(B\)，\(L_2\)與拋物線交於點\(C\)和點\(D\)，試求\(\overline{AB}+\overline{CD}\)的最小值。
[解答]

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作者: Almighty    時間: 2021-4-11 12:53

計算二
已知四面體\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=5,\overline{BC}=6,\overline{AC}=7,\overline{DA}=9,\overline{DB}=\overline{DC}=8\)，試求四面體\(ABCD\)的體積。
[解答]
提供解法
徒法煉鋼找高出來
勤勞算餘弦定理就好
"有一個向量內積公式可以代入，慢慢算也會有解"

等腰三角BCD，取BC終點M
作中垂線交AC於N
最後想辦法利用三角DMN找高H出來

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作者: math1    時間: 2021-4-11 13:54     標題: 請問第10題和計算第一題

請問第10題和計算第一題

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作者: Almighty    時間: 2021-4-11 14:27     標題: 回復 33# math1 的帖子

第10題觀察指數的變化
是一個(類似)費氏數列
去找一般式 就可以求解

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作者: math1    時間: 2021-4-11 14:35     標題: 回復 34# Almighty 的帖子

知道要找一般式，但我化簡不出來

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作者: math1    時間: 2021-4-11 14:41     標題: 回復 20# thepiano 的帖子

倒數第二行看不懂，能麻煩您解釋嗎?謝謝

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作者: firzenf04    時間: 2021-4-11 14:50     標題: 回復 35# math1 的帖子

填充10
已知一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，\(\displaystyle a_1=1,a_2=\frac{1}{2}\)，\(a_{n+2}=\sqrt{a_na_{n+1}}\)，\(n \in N\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)？
[解答]

圖片附件: 171180643_1091436368004350_5309748482104841556_n.jpg (2021-4-11 14:50, 377.26 KB) / 該附件被下載次數 1555
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作者: firzenf04    時間: 2021-4-11 14:53     標題: 回復 33# math1 的帖子

計算1
若\(g(n)\)表示正整數\(n\)的奇因數中最大者，例如：\(g(3)=3,g(14)=7\)。求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2^n}g(k)=g(1)+g(2)+g(3)+\ldots+g(2^n)=\)
[解答]

圖片附件: 171611089_2774487486101303_6287935981642846214_n.jpg (2021-4-11 14:53, 544.61 KB) / 該附件被下載次數 1623
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5829&k=2ef99a2de9d77e45433cbf9ec3e89bb9&t=1714210838



圖片附件: 172292187_481129119603533_8135256772426704109_n.jpg (2021-4-11 15:04, 432.83 KB) / 該附件被下載次數 1631
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作者: peter0210    時間: 2021-4-11 15:16

填充9
已知\(z\)為一複數，且滿足\(\displaystyle Arg(\frac{z+k}{z})=\frac{\pi}{6}\)及\(\displaystyle Arg(\frac{z+2k}{z+k})=\frac{\pi}{4}\)，其中\(k>0\)，求\(\displaystyle \frac{k}{z}\)的值。

圖片附件: 填充9.jpg (2021-4-11 15:16, 42.12 KB) / 該附件被下載次數 1643
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5832&k=481a86c689923ce902eb0fc902a6cd03&t=1714210838

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作者: thepiano    時間: 2021-4-11 15:19     標題: 回復 36# math1 的帖子

拋物線上一點到焦點的距離 = 到準線的距離

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作者: peter0210    時間: 2021-4-11 19:17

計算1
若\(g(n)\)表示正整數\(n\)的奇因數中最大者，例如：\(g(3)=3,g(14)=7\)。求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2^n}g(k)=g(1)+g(2)+g(3)+\ldots+g(2^n)=\)
[解答]
另解

圖片附件: 計1.jpg (2021-4-11 19:17, 100.73 KB) / 該附件被下載次數 1556
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5836&k=425d13ecdafdfb4181b69c0e35569634&t=1714210838

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作者: koeagle    時間: 2021-4-11 20:57

想請教填充1，謝謝。

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作者: thepiano    時間: 2021-4-11 21:29     標題: 回復 42# koeagle 的帖子

填充第 1 題
將12個大小寫的英文字母\(A,B,C,D,E,F,a,b,c,d,e,f\)打亂，兩兩任意配成6對，求大小寫同義(如：\(Aa\)為同義配對，\(AB\)、\(Ab\)不是同義配對)至少2對的方法數。
[解答]
六對同義：1 種
五對同義：0 種
四對同義，二組不同義：C(6，4) * 2 = 30 種
三對同義，三組不同義：C(6，3) * 8 = 160 種
二對同義，四組不同義：C(6，2) * 60 = 900 種

總共 1091 種

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作者: koeagle    時間: 2021-4-11 21:33     標題: 回復 43# thepiano 的帖子

謝謝 thepiano 老師。
謝謝 czk0622 老師。

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作者: czk0622    時間: 2021-4-11 21:44     標題: 回復 42# koeagle 的帖子

填充第 1 題
將12個大小寫的英文字母\(A,B,C,D,E,F,a,b,c,d,e,f\)打亂，兩兩任意配成6對，求大小寫同義(如：\(Aa\)為同義配對，\(AB\)、\(Ab\)不是同義配對)至少2對的方法數。
[解答]
反面作法(取捨原理)
任意分組-全不同義-恰1組同義\(=10395-6040-3264=1091\)
任意分組:\(\Pi^{6}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/6!=10395\)
全不同義:\(\displaystyle \Pi^{6}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/6!-C^{6}_{1}\Pi^{5}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/5!+C^{6}_{2}\Pi^{4}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/4!-C^{6}_{3}\Pi^{3}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/3!+C^{6}_{4}\Pi^{2}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/2!-C^{6}_{5}\Pi^{1}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/1!+C^{6}_{6}=6040\)
恰1組同義:\(C^{6}_{1}(\Pi^{5}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/5!-C^{5}_{1}\Pi^{4}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/4!+C^{5}_{2}\Pi^{3}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/3!-C^{5}_{3}\Pi^{2}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/2!+C^{5}_{4}\Pi^{1}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/1!-C^{5}_{5})=6\times 544=3264\)

看著手稿還打錯，謝謝thepiano老師修正

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作者: anyway13    時間: 2021-4-12 01:24     標題: 回復 43# thepiano 的帖子

鋼琴老師您好

可否問一下當兩組同義時  C(6,2)X60  ,60是怎麼得到的呢?

同樣的問題四組同義時   C(6,4)X2   , 2是怎麼得到的呢?
不知道這樣理解有錯嗎?   
A        B        C        D        E        F
a        b        c        d        f        e
最後兩組不同義的配對只能是E配f  ,F配e這一組(only這組??_).  不知道是哪作錯了?

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作者: Almighty    時間: 2021-4-12 01:59     標題: 回復 47# anyway13 的帖子

ABCDEF
abcdef
C(6,4)—>Aa Bb Cc Dd
E  e固定 與F  f有2！ 排列

同理
C(6,2)—>Aa Bb
CDEF    cdef討論（可以樹狀圖畫一下蠻清楚的）
針對CD Cd CE Ce CF Cf討論
CD—>cd  cE  ce  cF  cf—>每種剩下2！排列
故為6*5*2=60

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作者: cut6997    時間: 2021-4-12 03:04     標題: 回復 47# anyway13 的帖子

2不同=2亂排-0不同=4!/(2!2!2!)-1=2
3不同=3亂排-2不同-0不同=6!/(2!2!2!3!)-3*2--1=8
4不同=4亂排-3不同-2不同-0不同=8!/(2!2!2!2!4!)-4*8-6*2-1=60

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作者: kggj5220    時間: 2021-4-12 12:12     標題: 回復 46# anyway13 的帖子

老師應該是把
E---F
f----e     即為(Ef)(Fe)
視為一種錯排列的問題吧
但其實這題不是單純錯排喔
它也可以是
E----e
F----f    即為(EF)(ef)
亦為不同義
所以有2種，至於2種的算法就如上老師們的各種算法了
希望有解答到你的問題

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作者: thepiano    時間: 2021-4-12 12:44     標題: 回復 46# anyway13 的帖子

小弟一開始也以為題意是一個大寫字母配一個小寫字母成一組，所以也用錯排做了一遍
後來看到題目的舉例才發現原來是任意配

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作者: XINHAN    時間: 2021-4-12 16:28     標題: 計算2另解分享

計算2
已知四面體\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=5,\overline{BC}=6,\overline{AC}=7,\overline{DA}=9,\overline{DB}=\overline{DC}=8\)，試求四面體\(ABCD\)的體積。
[解答]
另解分享

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作者: XINHAN    時間: 2021-4-12 17:14     標題: 填充4另解分享

填充4
若\(0^{\circ}\le x^{\circ}<360^{\circ}\)且\(sin20^{\circ}=\sqrt{3}cos40^{\circ}+sinx^{\circ}\)，則\(x=\)？
[解答]
另解分享

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作者: XINHAN    時間: 2021-4-12 17:15     標題: 計算三另解分享

計算三
已知拋物線\(y^2=4x\)，有兩直線\(L_1\)和\(L_2\)通過拋物線的焦點且互相垂直，若\(L_1\)與拋物線交於點\(A\)和點\(B\)，\(L_2\)與拋物線交於點\(C\)和點\(D\)，試求\(\overline{AB}+\overline{CD}\)的最小值。
[解答]
另解分享

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作者: anyway13    時間: 2021-4-12 19:21     標題: 回覆#47Almighty,#48cut6997,#49kggj5220,#50 thepiano的帖子

感謝Almighty老師，cut6997老師，kggj5220老師和鋼琴老師。經過你們的詳細答覆和解說，終於有明白了。謝謝你們。

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作者: XINHAN    時間: 2021-4-12 19:44     標題: 填充5有誤還請指教

5.
空間中，已知\(\vec{OA}=(3,3,1)\)、\(\vec{OB}=(4,2,0)\)、\(\vec{OC}=(3,-6,-9)\)，\(H\)為異於原點\(O\)的點。若\(\vec{OA}\)、\(\vec{OB}\)、\(\vec{OC}\)在\(\vec{OH}\)方向上的正射影分別為\(\vec{OH}\)、\(2\vec{OH}\)、\(3\vec{OH}\)，則\(|\;\vec{OH}|\;=\)？
[解答]
我記得OA向量好像不是(3,3,1)，但我也印象模糊，所以就先用記憶板的檔案訂正

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作者: XINHAN    時間: 2021-4-13 09:33     標題: 填充10另解分享

填充10
已知一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，\(\displaystyle a_1=1,a_2=\frac{1}{2}\)，\(a_{n+2}=\sqrt{a_na_{n+1}}\)，\(n \in N\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)？
[解答]
另解分享

圖片附件: S__26025995.jpg (2021-4-13 09:33, 135.89 KB) / 該附件被下載次數 1680
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5844&k=565828cd48dba2fa9374c1caeaa11dac&t=1714210838

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作者: enlighten    時間: 2021-4-13 22:36     標題: 回復 55# XINHAN 的帖子

應該是OA*OH=OH^2?

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作者: anyway13    時間: 2021-4-14 00:07     標題: 填充第五題 請參考

填充第五題
空間中，已知\(\vec{OA}=(3,3,1)\)、\(\vec{OB}=(4,2,0)\)、\(\vec{OC}=(3,-6,-9)\)，\(H\)為異於原點\(O\)的點。若\(\vec{OA}\)、\(\vec{OB}\)、\(\vec{OC}\)在\(\vec{OH}\)方向上的正射影分別為\(\vec{OH}\)、\(2\vec{OH}\)、\(3\vec{OH}\)，則\(|\;\vec{OH}|\;=\)？
[解答]
請參考

圖片附件: 第五題.jpg (2021-4-14 00:07, 225.61 KB) / 該附件被下載次數 1680
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5845&k=e8e21cfcc9f8a2ad7eb26477c5fda2ae&t=1714210838

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作者: anyway13    時間: 2021-4-14 01:15     標題: 第9題另解 請參考

第9題
已知\(z\)為一複數，且滿足\(\displaystyle Arg(\frac{z+k}{z})=\frac{\pi}{6}\)及\(\displaystyle Arg(\frac{z+2k}{z+k})=\frac{\pi}{4}\)，其中\(k>0\)，求\(\displaystyle \frac{k}{z}\)的值。
[解答]
另解 請參考

附件: [第9題另解] 0414第9題另解.pdf (2021-4-14 01:15, 111.06 KB) / 該附件被下載次數 2517
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5848&k=414bc1ab588d73c4348d27497eb1f464&t=1714210838

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作者: peter0210    時間: 2021-4-14 14:51

填充5

圖片附件: 1618382850972_2.jpg (2021-4-14 14:51, 81.04 KB) / 該附件被下載次數 1714
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5849&k=8767a305ba41a7d1b0f2d4a33f7c5dea&t=1714210838

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作者: studentJ    時間: 2021-4-16 23:05

53複試

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作者: zidanesquall    時間: 2021-4-17 19:41

想請教填充8

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作者: tsusy    時間: 2021-4-17 20:26     標題: 回復 62# zidanesquall 的帖子

填充8.
實係數三次多項方程式 \( \Rightarrow \) 至少一實根，實根僅能為 1 或 \( -1 \)

若三根皆實根，則三根之和 = 3, 1, \( -1 \), 或 \( -3 \)，與已知條件矛盾，故三根為一實二虛。

令此兩虛根為 \( a \pm bi \)，其中 \( a,b \) 為實數，因各根的絕對值皆為 1，因此 \( a^2 + b^2 =1\) 且 \( |a| \le 1 \)。

若實根為 1，則三根之和 \( 1+a+a = -2 \Rightarrow a = - \frac32 \) ，而得矛盾，
故實根為 \( -1 \)， \( a = -\frac12 \)，兩虛根為 \( - \frac12 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \)

\( x^{3}+ax^{2}+bx+c=(x+1)(x^{2}+x+1)=x^{3}+2x^{2}+2x+1 \)

\( \Rightarrow (a,b,c) =(2,2,1) \)

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作者: zidanesquall    時間: 2021-4-17 20:53     標題: 回復 63# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師

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作者: math1    時間: 2021-5-2 17:16     標題: 不知道在這裡問合不合適

請問竹中複試不是已經放榜了嗎？怎麼網站上查不到名單呢？
想請問有沒有人有名單，謝謝。

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作者: thepiano    時間: 2021-5-2 17:32     標題: 回復 65# math1 的帖子

只有編號
https://imgur.com/13ZYrHu

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作者: Superconan    時間: 2021-5-24 23:16

05/24 學校公告填答題試題

110.5.24版主補充
將題目移到第一篇

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作者: anyway13    時間: 2022-10-30 12:29     標題: 遲來的感謝(第一題)

感謝版上老師 the piano, Almighty, cut6997, kggj5220

今天複習得時候才發現當年問的問題居然卡的地方一模一樣( 有好多老師好心的回覆  當初不知道漏看還...)

今天看完回複  才真的弄清楚此題  感謝各位老師

[ 本帖最後由 anyway13 於 2022-10-30 12:30 編輯 ]

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