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標題: 110新竹高中 [打印本頁]

作者: 呆呆右    時間: 2021-4-10 11:08     標題: 110新竹高中

感謝各位老師們協助幫忙整理試題
若有錯誤,請不吝嗇指正
附件為Superconan老師整理的版本

填充題(5分*10題)
1.ABCDEFabcdef兩兩配成6對(可以AB,Aa,Ab,ab等等)
至少兩對同義(像是Aa)的方法數

2.五顆大小不同的西瓜排成一列
某人拿一個西瓜的方式如下:
前兩個必不取
之後看到比這兩個都大的西瓜就拿
求拿到最大的機率
(題目沒說有關最後都沒拿的事情,應是此與所求無關)

3.Sn=2an-1,b1=3,b_(n+1)=bn+an
求<bn>的前n項之和

4.sin(20度)=根號3*cos(40度)+sin(x度)
求x=?(0<=x<360)

5.OA向量=(3,3,1),OB向量=(2,4,0),OC向量=(3,-6,-9)
H異於原點,OA在OH上的正射影為OH
OB在OH上的正射影為2OH
OC在OH上的正射影為3OH
求OH的長度

6.P在x^2/36+y^2/32=1上,A(-2,0),B(-1,4)
求PA+PB的最小值

7.O是三角形ABC的外心
AO向量=AB向量+2AC向量
求sin角BAC

8.實係數多項式x^3+ax^2+bx+c=0
每個根的絕對值都是1,三根之和為-2
求數組(a,b,c)

9.設z為複數,Arg((z+k)/(z))=pi/6,Arg((z+2k)/(z+k))=pi/4
且k>0,求k/z

10.a1=1,a2=1/2,前兩項之積開根號為後一項
求lim n->inf an

計算題(10分*5題)
1.求g(1)+...g(2^n)
(g(n)=n的最大奇因數)

2.四面體ABCD給六邊(5,6,7,8,8,9)求體積。
(應該是AB=5,BC=6,AC=7,DB=8,DC=8,DA=9)

3.y^2=4x
兩直線互相垂直,且通過焦點
與拋物線交於A,B和C,D
求線段AB+線段CD的最小值

4.z是不等於0的複數
已知z+1/z是實數
證明z^n+1/z^n是實數,對任意整數n

5.y=x^3-5x+2
與y=mx恰有兩交點
(1)求m(6分)
(2)求兩者所圍的面積(4分)

附件: 110新竹高中填充題答案.pdf (2021-5-11 16:39, 61.41 KB) / 該附件被下載次數 652
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6013&k=4f4fe9a38a1650916b69f311be39e3d9&t=1635367056

附件: 110新竹高中(記憶版).pdf (2021-5-24 23:36, 278.57 KB) / 該附件被下載次數 478
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6031&k=7e5ae35699c0b2df85863837b1713979&t=1635367056

附件: 110新竹高中(官方版).pdf (2021-5-24 23:36, 394.64 KB) / 該附件被下載次數 582
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6032&k=b7a4ffa6b4250864207b288f3a290d8d&t=1635367056
作者: bugmens    時間: 2021-4-10 12:03

P在x^2/36+y^2/32=1上,A(-2,0),B(-1,4)求PA+PB的最小值
[解答]
過\(B(-1,4)\)和\(F(2,0)\)的直線交橢圓於\(P\)點
\(\overline{PA}+\overline{PF}=2a\)
\(\overline{PA}+\overline{PB}+\overline{BF}=2a=12\)
\(\overline{PA}+\overline{PB}=2a-\overline{BF}\)有最小值7
(我的教甄解題之路 兩根號的極值問題,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

10.
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(\displaystyle a_1=1,a_2=\frac{1}{2}\),\(a_{n+2}=\sqrt{a_na_{n+1}}\),\(n \in N\),則\(\lim_{n\to \infty}a_n=\)?

設\(a_1=1\),\(a_2=8\)且\(a_n=\sqrt{a_{n-1}\times a_{n-2}}\),\(\forall n\ge 3\),求此數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的第\(n\)項\(a_n\)為何?(用\(n\)表示)
(102松山高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2156&page=1#pid14147)
作者: Christina    時間: 2021-4-10 12:29     標題: 回復 1# 呆呆右 的帖子

印象中第八題是問Sin
作者: studentJ    時間: 2021-4-10 13:29

好像記得最小值
作者: zidanesquall    時間: 2021-4-10 13:36

填充9.找最小值
計算4.n為整數
作者: koeagle    時間: 2021-4-10 15:11

計算3  兩直線通過焦點
填充8  題目無誤,109台中一中考過
作者: ibvtys    時間: 2021-4-10 15:40

想請教填充4, 計算2.3
作者: thepiano    時間: 2021-4-10 16:30     標題: 回復 7# ibvtys 的帖子

計算第 3 題
AB 和 CD 應是焦點弦,且是求 AB + CD 的最小值

設直線 AB 和 x 軸之夾角為 θ,直線 CD 和 x 軸之夾角為 π/2 + θ
由 AB = 4c / (sinθ)^2,CD = 4c / [sin(π/2 + θ)]^2 =  4c / (cosθ)^2
可求出 AB + CD 的最小值為 16

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-10 16:54 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2021-4-10 16:43     標題: 回復 7# ibvtys 的帖子

計算第 2 題
參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=5#pid5334
作者: Superconan    時間: 2021-4-10 16:46

感謝呆呆右老師分享題目
我將老師提供的試題與我記得的部分合併,打成檔案,題號順序是正確的。
若題目敘述有需要更正的部分,再請老師們留言告知。

計算最後一題的配分應該是第一小題6分,第二小題4分。
填充第 1 題增加舉例,當時題目應該是給這三個例子。
計算第 4 題改為 n 是整數(已確認)。

[ 本帖最後由 Superconan 於 2021-4-11 17:38 編輯 ]

附件: 110新竹高中試題(記憶版).pdf (2021-4-11 17:38, 278.57 KB) / 該附件被下載次數 927
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5835&k=7ed3f8e5068d78cfae605da6f6b48a21&t=1635367056
作者: Superconan    時間: 2021-4-10 16:51

今天考試時有消防車,外面很吵的原因
https://udn.com/news/story/7320/5378812
---
不知道可否分享這個?若不妥我再刪除。
作者: yosong    時間: 2021-4-10 17:00     標題: 填充4

填充四 有錯請不吝指正

圖片附件: 1618045177332.jpg (2021-4-10 17:00, 78.08 KB) / 該附件被下載次數 242
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5819&k=bb288262b10d9d7902a146ef8b97a0fc&t=1635367056


作者: 5pn3gp6    時間: 2021-4-10 17:09

引用:
原帖由 Superconan 於 2021-4-10 16:46 發表
感謝呆呆右老師分享題目
我將老師提供的試題與我記得的部分合併,打成檔案,題號順序是正確的。
若題目敘述有需要更正的部分,再請老師們留言告知。
計算最後一題有點忘記是不是第一小題四分,第二小題六分。 ...
感謝 Superconan老師 打上題目
稍微提一下,計算4我記得題目並沒有提到z的絕對值=1 這件事
這應該是推論過程之中才會得到的
作者: 呆呆右    時間: 2021-4-10 17:22

引用:
原帖由 Superconan 於 2021-4-10 16:46 發表
感謝呆呆右老師分享題目
我將老師提供的試題與我記得的部分合併,打成檔案,題號順序是正確的。
若題目敘述有需要更正的部分,再請老師們留言告知。
計算最後一題有點忘記是不是第一小題四分,第二小題六分。 ...
感謝以上老師幫忙還原題目。
z+1/z...那題,補上n是任意正整數
|z|我記得題目沒有說
可以證明的是z=r(cos(theta)+isin(theta))
(1)sin(theta)=0,...(r不必然為1)
(2)sin(theta)不等於0,可證得r=1,...

結果#13F先講了

[ 本帖最後由 呆呆右 於 2021-4-10 17:23 編輯 ]
作者: studentJ    時間: 2021-4-10 17:36     標題: 回復 8# thepiano 的帖子

想問AB為何可以這樣表示,謝謝
作者: 呆呆右    時間: 2021-4-10 17:46

引用:
原帖由 Superconan 於 2021-4-10 17:39 發表


謝謝老師,已更新。
計算第五題的配分,應該是6分跟4分
另外方便我之後將老師最終的檔案
放在1F附件嗎?
作者: XINHAN    時間: 2021-4-10 17:47

引用:
原帖由 studentJ 於 2021-4-10 17:36 發表
想問AB為何可以這樣表示,謝謝
考慮拋物線定義,並假設線段與x軸正向夾角,即可寫出鋼琴老師的式子~
我考場內也是算出16~
作者: zidanesquall    時間: 2021-4-10 17:58     標題: 回復 15# 呆呆右 的帖子

我記得計算的第4題n是整數,不是正整數
作者: Superconan    時間: 2021-4-10 18:11     標題: 回復 18# zidanesquall 的帖子

我記得應該是正整數,因為我一看到n是正整數,馬上想到會不會是用數學歸納法來證

[ 本帖最後由 Superconan 於 2021-4-10 18:54 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2021-4-10 18:14     標題: 回復 16# studentJ 的帖子

A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)
直線 AB:y = tanθ(x - c)
y^2 = 4cx

[tanθ(x - c)]^2 = 4cx
(tanθ)^2 * x^2 - [2c(tanθ)^2 + 4c]x + c^2 * (tanθ)^2 = 0
x_1 + x_2 = 2c + [4c / (tanθ)^2]

AF = x_1 + c,BF = x_2 + c
AB = x_1 + x_2 + 2c = 4c + [4c / (tanθ)^2] = 4c / (sinθ)^2
作者: Superconan    時間: 2021-4-10 18:51

引用:
原帖由 呆呆右 於 2021-4-10 17:46 發表


計算第五題的配分,應該是6分跟4分
另外方便我之後將老師最終的檔案
放在1F附件嗎?
最終檔案放 1F 附件當然沒問題,到時候再麻煩呆呆右老師了。
另外,感謝 5pn3gp6老師、呆呆右老師 提醒題目應修正的地方,為了不佔用太多版面,我將剛剛的感謝貼文刪除。
作者: z78569    時間: 2021-4-10 19:22

想請教填充一
我不知道他的題目意思是什麼
是大寫只能配小寫還是?
作者: 5pn3gp6    時間: 2021-4-10 19:48

引用:
原帖由 z78569 於 2021-4-10 19:22 發表
想請教填充一
我不知道他的題目意思是什麼
是大寫只能配小寫還是?
它可以Aa,Ab,AB等等配對
但只有大小寫是同個字母配對的,如Aa,Bb,Cc,才稱為同義(還是正規?正統?)
題目要的是至少兩對同義的。

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2021-4-10 20:48 編輯 ]
作者: ibvtys    時間: 2021-4-10 19:53

想再請教填充2 , 考試當下是用數狀圖 , 不知道有沒有快一點的方法
作者: 有魚魚    時間: 2021-4-10 19:54     標題: 回復 19# Superconan 的帖子

我確定題目是整數,而非正整數
因為一開始看到並非正整數,還愣了一下...

不過是否正整數如果對,那負整數也一定成立?
作者: Almighty    時間: 2021-4-10 20:11     標題: 回復 24# ibvtys 的帖子

考慮大西瓜的位置!!!

[ 本帖最後由 Almighty 於 2021-4-10 20:19 編輯 ]

圖片附件: S__127918097.jpg (2021-4-10 20:19, 169.91 KB) / 該附件被下載次數 291
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作者: ibvtys    時間: 2021-4-10 20:25     標題: 回復 25# 有魚魚 的帖子

z^n + 1/z^n = z^n + z^(-n) 是偶函數 , 所以正整數成立 , 負整數也會成立 , 但考試時候忘記寫了QQ
作者: z78569    時間: 2021-4-10 22:12

請教填充9
感謝各位
作者: Almighty    時間: 2021-4-10 23:31     標題: 回復 28# z78569 的帖子

應該這樣吧吧吧
為何要湊"(2z+2k)-z"
而不是湊"(z+k)+k"
是經過多方嘗試後
才容易連結到所求的k/z

[ 本帖最後由 Almighty 於 2021-4-10 23:34 編輯 ]

圖片附件: S__127926276.jpg (2021-4-10 23:32, 210.84 KB) / 該附件被下載次數 284
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作者: swallow7103    時間: 2021-4-11 10:07

計算二  四面體體積計算
重算一次後發現自己考試粗心了...

圖片附件: IMG_20210411_093148.jpg (2021-4-11 10:07, 1.43 MB) / 該附件被下載次數 341
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5825&k=eb5879c867803d3a3db93d457522fa10&t=1635367056


作者: swallow7103    時間: 2021-4-11 10:09

計算三  另解

圖片附件: IMG_20210411_094544.jpg (2021-4-11 10:09, 1.37 MB) / 該附件被下載次數 248
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5826&k=411062564a0f0ba1546cadc4b062f02a&t=1635367056


作者: Almighty    時間: 2021-4-11 12:53

計算二提供解法
徒法煉鋼找高出來
勤勞算餘弦定理就好
"有一個向量內積公式可以代入,慢慢算也會有解"

等腰三角BCD,取BC終點M
作中垂線交AC於N
最後想辦法利用三角DMN找高H出來

[ 本帖最後由 Almighty 於 2021-4-11 12:55 編輯 ]

圖片附件: S__127967234.jpg (2021-4-11 12:54, 194.15 KB) / 該附件被下載次數 230
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作者: math1    時間: 2021-4-11 13:54     標題: 請問第10題和計算第一題

請問第10題和計算第一題

[ 本帖最後由 math1 於 2021-4-11 14:00 編輯 ]
作者: Almighty    時間: 2021-4-11 14:27     標題: 回復 33# math1 的帖子

第10題觀察指數的變化
是一個(類似)費氏數列
去找一般式 就可以求解
作者: math1    時間: 2021-4-11 14:35     標題: 回復 34# Almighty 的帖子

知道要找一般式,但我化簡不出來
作者: math1    時間: 2021-4-11 14:41     標題: 回復 20# thepiano 的帖子

倒數第二行看不懂,能麻煩您解釋嗎?謝謝

[ 本帖最後由 math1 於 2021-4-11 14:49 編輯 ]
作者: firzenf04    時間: 2021-4-11 14:50     標題: 回復 35# math1 的帖子

填充10

圖片附件: 171180643_1091436368004350_5309748482104841556_n.jpg (2021-4-11 14:50, 377.26 KB) / 該附件被下載次數 239
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5828&k=b0cf45d01f1212f3f2e0eaaf7fb9a9e2&t=1635367056


作者: firzenf04    時間: 2021-4-11 14:53     標題: 回復 33# math1 的帖子

計算1

[ 本帖最後由 firzenf04 於 2021-4-11 15:04 編輯 ]

圖片附件: 171611089_2774487486101303_6287935981642846214_n.jpg (2021-4-11 14:53, 544.61 KB) / 該附件被下載次數 230
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5829&k=211c28294628720272507766196987c2&t=1635367056



圖片附件: 172292187_481129119603533_8135256772426704109_n.jpg (2021-4-11 15:04, 432.83 KB) / 該附件被下載次數 225
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作者: peter0210    時間: 2021-4-11 15:16

填充9

圖片附件: 填充9.jpg (2021-4-11 15:16, 42.12 KB) / 該附件被下載次數 253
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作者: thepiano    時間: 2021-4-11 15:19     標題: 回復 36# math1 的帖子

拋物線上一點到焦點的距離 = 到準線的距離
作者: peter0210    時間: 2021-4-11 19:17

計算1另解

圖片附件: 計1.jpg (2021-4-11 19:17, 100.73 KB) / 該附件被下載次數 219
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5836&k=016a0bfc3dfd2ab7ab068488ec530789&t=1635367056


作者: koeagle    時間: 2021-4-11 20:57

想請教填充1,謝謝。
作者: thepiano    時間: 2021-4-11 21:29     標題: 回復 42# koeagle 的帖子

填充第 1 題

六對同義:1 種
五對同義:0 種
四對同義,二組不同義:C(6,4) * 2 = 30 種
三對同義,三組不同義:C(6,3) * 8 = 160 種
二對同義,四組不同義:C(6,2) * 60 = 900 種

總共 1091 種
作者: koeagle    時間: 2021-4-11 21:33     標題: 回復 43# thepiano 的帖子

謝謝 thepiano 老師。
謝謝 czk0622 老師。

[ 本帖最後由 koeagle 於 2021-4-11 21:49 編輯 ]
作者: czk0622    時間: 2021-4-11 21:44     標題: 回復 42# koeagle 的帖子

填充第 1 題
反面作法(取捨原理)
任意分組-全不同義-恰1組同義\(=10395-6040-3264=1091\)
任意分組:\(\Pi^{6}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/6!=10395\)
全不同義:\(\Pi^{6}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/6!-C^{6}_{1}\Pi^{5}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/5!+C^{6}_{2}\Pi^{4}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/4!-C^{6}_{3}\Pi^{3}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/3!+C^{6}_{4}\Pi^{2}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/2!-C^{6}_{5}\Pi^{1}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/1!+C^{6}_{6}=6040\)
恰1組同義:\(C^{6}_{1}(\Pi^{5}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/5!-C^{5}_{1}\Pi^{4}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/4!+C^{5}_{2}\Pi^{3}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/3!-C^{5}_{3}\Pi^{2}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/2!+C^{5}_{4}\Pi^{1}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/1!-C^{5}_{5})=6\times 544=3264\)

看著手稿還打錯,謝謝thepiano老師修正

[ 本帖最後由 czk0622 於 2021-4-11 22:44 編輯 ]
作者: anyway13    時間: 2021-4-12 01:24     標題: 回復 43# thepiano 的帖子

鋼琴老師您好

可否問一下當兩組同義時  C(6,2)X60  ,60是怎麼得到的呢?

同樣的問題四組同義時   C(6,4)X2   , 2是怎麼得到的呢?
不知道這樣理解有錯嗎?   
A        B        C        D        E        F
a        b        c        d        f        e
最後兩組不同義的配對只能是E配f  ,F配e這一組(only這組??_).  不知道是哪作錯了?
作者: Almighty    時間: 2021-4-12 01:59     標題: 回復 47# anyway13 的帖子

ABCDEF
abcdef
C(6,4)—>Aa Bb Cc Dd
E  e固定 與F  f有2! 排列

同理
C(6,2)—>Aa Bb
CDEF    cdef討論(可以樹狀圖畫一下蠻清楚的)
針對CD Cd CE Ce CF Cf討論
CD—>cd  cE  ce  cF  cf—>每種剩下2!排列
故為6*5*2=60
作者: cut6997    時間: 2021-4-12 03:04     標題: 回復 47# anyway13 的帖子

2不同=2亂排-0不同=4!/(2!2!2!)-1=2
3不同=3亂排-2不同-0不同=6!/(2!2!2!3!)-3*2--1=8
4不同=4亂排-3不同-2不同-0不同=8!/(2!2!2!2!4!)-4*8-6*2-1=60
作者: kggj5220    時間: 2021-4-12 12:12     標題: 回復 46# anyway13 的帖子

老師應該是把
E---F
f----e     即為(Ef)(Fe)
視為一種錯排列的問題吧
但其實這題不是單純錯排喔
它也可以是
E----e
F----f    即為(EF)(ef)
亦為不同義
所以有2種,至於2種的算法就如上老師們的各種算法了
希望有解答到你的問題
作者: thepiano    時間: 2021-4-12 12:44     標題: 回復 46# anyway13 的帖子

小弟一開始也以為題意是一個大寫字母配一個小寫字母成一組,所以也用錯排做了一遍
後來看到題目的舉例才發現原來是任意配
作者: XINHAN    時間: 2021-4-12 16:28     標題: 計算2另解分享

計算2另解分享

[ 本帖最後由 XINHAN 於 2021-4-12 16:29 編輯 ]

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作者: XINHAN    時間: 2021-4-12 17:14     標題: 填充4另解分享

填充4另解分享

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作者: XINHAN    時間: 2021-4-12 17:15     標題: 計算三另解分享

計算三另解分享

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作者: anyway13    時間: 2021-4-12 19:21     標題: 回覆#47Almighty,#48cut6997,#49kggj5220,#50 thepiano的帖子

感謝Almighty老師,cut6997老師,kggj5220老師和鋼琴老師。經過你們的詳細答覆和解說,終於有明白了。謝謝你們。
作者: XINHAN    時間: 2021-4-12 19:44     標題: 填充5有誤還請指教

我記得OA向量好像不是(3,3,1),但我也印象模糊,所以就先用記憶板的檔案訂正

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作者: XINHAN    時間: 2021-4-13 09:33     標題: 填充10另解分享

填充10另解分享

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作者: enlighten    時間: 2021-4-13 22:36     標題: 回復 55# XINHAN 的帖子

應該是OA*OH=OH^2?
作者: anyway13    時間: 2021-4-14 00:07     標題: 填充第五題 請參考

填充第五題 請參考

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作者: anyway13    時間: 2021-4-14 01:15     標題: 第9題另解 請參考

第9題另解 請參考

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作者: peter0210    時間: 2021-4-14 14:51

填充5

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作者: studentJ    時間: 2021-4-16 23:05

53複試
作者: zidanesquall    時間: 2021-4-17 19:41

想請教填充8
作者: tsusy    時間: 2021-4-17 20:26     標題: 回復 62# zidanesquall 的帖子

填充8.
實係數三次多項方程式 \( \Rightarrow \) 至少一實根,實根僅能為 1 或 \( -1 \)

若三根皆實根,則三根之和 = 3, 1, \( -1 \), 或 \( -3 \),與已知條件矛盾,故三根為一實二虛。

令此兩虛根為 \( a \pm bi \),其中 \( a,b \) 為實數,因各根的絕對值皆為 1,因此 \( a^2 + b^2 =1\) 且 \( |a| \le 1 \)。

若實根為 1,則三根之和 \( 1+a+a = -2 \Rightarrow a = - \frac32 \) ,而得矛盾,
故實根為 \( -1 \), \( a = -\frac12 \),兩虛根為 \( - \frac12 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \)

\( x^{3}+ax^{2}+bx+c=(x+1)(x^{2}+x+1)=x^{3}+2x^{2}+2x+1 \)

\( \Rightarrow (a,b,c) =(2,2,1) \)
作者: zidanesquall    時間: 2021-4-17 20:53     標題: 回復 63# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師
作者: math1    時間: 2021-5-2 17:16     標題: 不知道在這裡問合不合適

請問竹中複試不是已經放榜了嗎?怎麼網站上查不到名單呢?
想請問有沒有人有名單,謝謝。
作者: thepiano    時間: 2021-5-2 17:32     標題: 回復 65# math1 的帖子

只有編號
https://imgur.com/13ZYrHu
作者: Superconan    時間: 2021-5-24 23:16

05/24 學校公告填答題試題

110.5.24版主補充
將題目移到第一篇




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