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標題: 96台南女中 [打印本頁]
作者: satsuki931000    時間: 2021-1-12 21:44     標題: 96台南女中

10.
三球面\(S_1\)、\(S_2\)、\(S_3\)兩兩外切，半徑分別為4、9、16，已知相異二平面\(E_1\)、\(E_2\)皆為三球面之公切面，設兩平面\(E_1\)、\(E_2\)之銳夾角為\(\theta\)，則\(cos \theta\)之值為　　　。

11.
有一點光源從拋物線\(y=2x^2\)上的點\(P\)發射一條雷射光，射向焦點\(F\)，經對稱軸反射後，經過拋物線上的另一點\(Q\)，設\(\overline{PF}=a\)，\(\overline{QF}=b\)，則\(4a+b\)的最小值為　　　。

12.
設\(\displaystyle \omega=cos\frac{2\pi}{n}+isin\frac{2\pi}{n}(n \in N)\)，設\(\displaystyle A_n=(\frac{5}{4}-\frac{\omega^2+1}{2\omega})
(\frac{5}{4}-\frac{\omega^4+1}{2\omega^2})(\frac{5}{4}-\frac{\omega^6+1}{2\omega^3})\ldots(\frac{5}{4}-\frac{\omega^{2n-2}+1}{2\omega^{n-1}})\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}A_n=\)　　　。

答案分別是
\(\displaystyle \frac{67}{522}\) , \(\frac{9}{8}\)，\(4\)
還請各位幫忙
作者: anyway13    時間: 2021-1-12 23:25     標題: 回覆第二題

第二題算出來是 5/8,因為欲使4a+b最小,必須讓a,b越小越好

知F(0,1/8)  考慮P=Q=(0,0)  PF距離最短 又經過P從原點出發打到F反射後(對稱軸x=0)

再打到原點 得a=b=1/8  故所求=5/8


Note:  PF距離最短 則P是原點 (令P(a,2a^2) 算出PF距離後 再微分,得a=0時有min)

請板上老師指教
作者: anyway13    時間: 2021-1-13 01:07     標題: 回覆第三題

第三題  小弟做出來的答案差一個負號,不知道是哪裡少算一個負號

請老師參考

附件: 0113計算3.pdf (2021-1-13 01:07, 110.86 KB) / 該附件被下載次數 7927
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5718&k=a0a8c32fad49847b32eaa1cfeca77f3e&t=1769618405
作者: satsuki931000    時間: 2021-1-13 11:14     標題: 回復 3# anyway13 的帖子

問題出在 \(\frac{1}{\omega^{\frac{n(n-1)}{2}}} \) 這邊

\(\omega^{\frac{n(n-1)}{2}}=cos(n-1)\pi +isin(n-1)\pi \)
當\(n\)為奇數時，整個為1
當\(n\)為偶數時，整個為-1

因此所求極限
\(\displaystyle (\frac{-1}{4})^{n-1}(2^n-1)(2^n)(1-(\frac{1}{2})^{n})(\frac{1}{\omega^{\frac{n(n-1)}{2}}}) \to  4 \)

感謝您的解答
作者: anyway13    時間: 2021-1-13 18:55     標題: 回復 4# satsuki931000 的帖子

謝謝satsuki931000老師解惑
作者: thepiano    時間: 2021-1-15 22:23     標題: 回復 1# satsuki931000 的帖子

第 1 題
三球心連線所成三角形之三邊長分別為 13、20、25
三球心到 E_1 的投影點所成三角形之三邊長分別為 2√(4 * 9)、2√(4 * 16)、2√(9 * 16)
則 cos(θ/2) 為後者面積與前者面積之比值

110.3.6補充圖形

圖片附件: 外公切平面的夾角.gif (2021-3-5 23:59, 289.92 KB) / 該附件被下載次數 6317
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附件: 外公切平面的夾角SketchUp檔.zip (2021-3-5 23:59, 195.8 KB) / 該附件被下載次數 9352
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作者: ibvtys    時間: 2021-4-6 20:06     標題: 96台南女中

最近南女要獨招 , 報名網站上有提供以前的題目 , 但有些找不到解法 , 希望這裡的老師能幫幫忙 , 附上題目和解答 , 想請教9,12,16

114.5.25補充
2.
已知\(\triangle ABC\)，\(\overline{AB}=5\)，其外接圓半徑為10，試求\(\left|\ \matrix{-1&cosC&cosB\cr cosC&-1&cosA\cr cosB&cosA&1}\right|\ =\)　　　。
[解答]
原式第1行\(*a\)，第2行\(*b\)，第3行\(*c\)
\(\displaystyle =\frac{1}{abc}\left|\ \matrix{-a&b cosC&c cosB\cr acosC&-b&c cosA\cr a cosB&b cosA&c}\right|\ \)
第1,2行加到第3行
\(\displaystyle =\frac{1}{abc}\left|\ \matrix{-a&b cosC&-a+b cosC+c cosB\cr acosC&-b&-b+a cosC+c cosA\cr a cosB&b cosA&c+a cosB+b cosA}\right|\ \)
由投影定理\(\cases{a=c cosB+b cosC\cr b=a cosC+c cosA\cr c=a cosB+b cosA}\)可知
\(\displaystyle =\frac{1}{abc}\left|\ \matrix{-a&b cos C&0\cr a cos C&-b&0\cr a cos B&b cosA&2c}\right|\ \)
\(=\frac{2c}{abc}\left|\ \matrix{-a&b cosC\cr a cos C&-b} \right|\ \)
\(=2\left|\ \matrix{-1&cosC\cr cosC&-1} \right|\ \)
\(=2(1-cos^2C)\)
\(=2sin^2C\)
\(\displaystyle =2\left(\frac{c}{2R}\right)^2\)
\(\displaystyle =\frac{1}{8}\)

已知\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)且外接圓半徑為8，試求\(\left|\ \matrix{-1&cosC&cosB\cr cosC&-1&cosA\cr cosB&cosA&1}\right|\ =\)　　　。
(114成德高中，https://math.pro/db/thread-4000-1-1.html)

\(\triangle ABC\)中，求\(triangle =\left|\ \matrix{-1&cosC&cosB\cr cosC&-1&cosA\cr cosB&cosA&-1}\right|\ =\)　　　。
(高中數學101　第56單元行列式(二)特殊行列式)

附件: 96台南女中(試題).pdf (2021-4-6 20:06, 158.22 KB) / 該附件被下載次數 9329
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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5813&k=29f439b60a5494ec3c1280a03abf84e0&t=1769618405
作者: CyberCat    時間: 2021-4-6 20:51     標題: 回復 1# ibvtys 的帖子

第9題
架座標，求歪斜線距離 (提示：O1A1B1是正三角形)

第16題
令x/6=θ
原式改寫成 3cos2θ-2sin3θ-6sinθ (再用倍角公式跟三倍角公式換成只有sinθ就可以處理了)
作者: ibvtys    時間: 2021-4-6 21:35     標題: 回復 2# CyberCat 的帖子

感謝~理解了
作者: BambooLotus    時間: 2021-4-6 22:51

12.
設\(\displaystyle \omega=cos\frac{2\pi}{n}+isin\frac{2\pi}{n}(n \in N)\)，設\(\displaystyle A_n=(\frac{5}{4}-\frac{\omega^2+1}{2\omega})
(\frac{5}{4}-\frac{\omega^4+1}{2\omega^2})(\frac{5}{4}-\frac{\omega^6+1}{2\omega^3})\ldots(\frac{5}{4}-\frac{\omega^{2n-2}+1}{2\omega^{n-1}})\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}A_n=\)　　　。
等待好方法，自己也不知道有沒有問題的解法

圖片附件: 20210406_224642.jpg (2021-4-6 22:51, 508.26 KB) / 該附件被下載次數 6164
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5814&k=08f56ca5460106f305b4cb50cbeb932d&t=1769618405

作者: czk0622    時間: 2021-4-7 00:20     標題: 回復 1# ibvtys 的帖子

第12題
考慮 \(\displaystyle (\frac{1}{2}-\omega^{k})(\frac{1}{2}-\omega^{n-k})=(\frac{1}{2})^{2}-(\omega^{k}+\omega^{n-k})\cdot\frac{1}{2}+1=\frac{5}{4}-(\frac{\omega^{k}}{2}+\frac{1}{2\omega^{k}})=\frac{5}{4}-\frac{\omega^{2k}+1}{2\omega^{k}}\)
因為 \(\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+......+\frac{1}{2^{n-1}}=(\frac{1}{2}-\omega)(\frac{1}{2}-\omega^{2})......(\frac{1}{2}-\omega^{n-1})\)
                                                     \(\displaystyle =(\frac{1}{2}-\omega^{n-1})(\frac{1}{2}-\omega^{n-2})...(\frac{1}{2}-\omega)\)
將此式連乘兩次得(等式後面前後對調上下相乘)
所求 \(\displaystyle A_{n}=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+......+\frac{1}{2^{n-1}})^{2}\)
即 \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}A_{n}=(\frac{1}{1-\frac{1}{2}})^{2}=4\)
作者: ibvtys    時間: 2021-4-7 00:32     標題: 回復 5# czk0622 的帖子

對這類型的題目一直不太會~感謝幫助



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