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標題: 97楊梅高中 [打印本頁]

作者: satsuki931000    時間: 2021-1-24 14:54     標題: 97楊梅高中

已知\(a,b,c \in R^{+} \) 三數不全相等
且\(abc=1 \)
試證\( \displaystyle \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} > \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \)

110.8.15版主補充
將文章標題改為97楊梅高中

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作者: koeagle    時間: 2021-1-24 16:34     標題: 回復 1# satsuki931000 的帖子

(97楊梅高中)
算幾不等式:
\( \displaystyle \frac{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} }{2} \geq \sqrt{ \frac{1}{ab} } = \sqrt{c} \),\( \displaystyle \frac{ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} }{2} \geq \sqrt{ \frac{1}{bc} } = \sqrt{a} \),\( \displaystyle \frac{ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} }{2} \geq \sqrt{ \frac{1}{ca} } = \sqrt{b} \)

三式相加:\( \displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \)  (因為三數不全相等,等號不成立)
作者: satsuki931000    時間: 2021-1-24 17:07     標題: 回復 2# koeagle 的帖子

簡潔有力 謝謝您




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