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標題: 3題題目請教 [打印本頁]

作者: satsuki931000    時間: 2021-1-12 21:44     標題: 3題題目請教

三球面\(S_1\)、\(S_2\)、\(S_3\)兩兩外切,半徑分別為4、9、16,已知相異二平面\(E_1\)、\(E_2\)皆為三球面之公切面,設兩平面\(E_1\)、\(E_2\)之銳夾角為\(\theta\),則\(cos \theta\)之值為   

有一點光源從拋物線\(y=2x^2\)上的點\(P\)發射一條雷射光,射向焦點\(F\),經對稱軸反射後,經過拋物線上的另一點\(Q\),設\(\overline{PF}=a\),\(\overline{QF}=b\),則\(4a+b\)的最小值為   

設\(\displaystyle \omega=cos\frac{2\pi}{n}+isin\frac{2\pi}{n}(n \in N)\),設\(\displaystyle A_n=(\frac{5}{4}-\frac{\omega^2+1}{2\omega})
(\frac{5}{4}-\frac{\omega^4+1}{2\omega^2})(\frac{5}{4}-\frac{\omega^6+1}{2\omega^3})\ldots(\frac{5}{4}-\frac{\omega^{2n-2}+1}{2\omega^{n-1}})\),則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}A_n=\)   



答案分別是
\(\frac{67}{522}\) , \(\frac{9}{8}\),\(4\)
還請各位幫忙

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5717&k=5bfe2f73f1662defb35fe6ace6da766a&t=1614270902


作者: anyway13    時間: 2021-1-12 23:25     標題: 回覆第二題

第二題算出來是 5/8,因為欲使4a+b最小,必須讓a,b越小越好

知F(0,1/8)  考慮P=Q=(0,0)  PF距離最短 又經過P從原點出發打到F反射後(對稱軸x=0)

再打到原點 得a=b=1/8  故所求=5/8


Note:  PF距離最短 則P是原點 (令P(a,2a^2) 算出PF距離後 再微分,得a=0時有min)

請板上老師指教
作者: anyway13    時間: 2021-1-13 01:07     標題: 回覆第三題

第三題  小弟做出來的答案差一個負號,不知道是哪裡少算一個負號

請老師參考

附件: 0113計算3.pdf (2021-1-13 01:07, 110.86 KB) / 該附件被下載次數 71
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5718&k=c989896dda439b7b1410cf56d30d1dd9&t=1614270902
作者: satsuki931000    時間: 2021-1-13 11:14     標題: 回復 3# anyway13 的帖子

問題出在 \(\frac{1}{\omega^{\frac{n(n-1)}{2}}} \) 這邊

\(\omega^{\frac{n(n-1)}{2}}=cos(n-1)\pi +isin(n-1)\pi \)
當\(n\)為奇數時,整個為1
當\(n\)為偶數時,整個為-1

因此所求極限
\((\frac{-1}{4})^{n-1}(2^n-1)(2^n)(1-(\frac{1}{2})^{n})(\frac{1}{\omega^{\frac{n(n-1)}{2}}}) \to  4 \)

感謝您的解答

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-1-13 12:15 編輯 ]
作者: anyway13    時間: 2021-1-13 18:55     標題: 回復 4# satsuki931000 的帖子

謝謝satsuki931000老師解惑
作者: thepiano    時間: 2021-1-15 22:23     標題: 回復 1# satsuki931000 的帖子

第 1 題
三球心連線所成三角形之三邊長分別為 13、20、25
三球心到 E_1 的投影點所成三角形之三邊長分別為 2√(4 * 9)、2√(4 * 16)、2√(9 * 16)
則 cos(θ/2) 為後者面積與前者面積之比值




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