Board logo

標題: 圓外兩點對圓上點距離乘積 [打印本頁]
作者: larson    時間: 2020-10-31 14:16     標題: 圓外兩點對圓上點距離乘積

已知點\(P\)在圓\(x^2+y^2=4\)上，設點\(A(3,\sqrt{23}),B(3,-\sqrt{23})\)，求\(\overline{PA}\cdot \overline{PB}\)的最大值與最小值。
作者: satsuki931000    時間: 2020-10-31 16:39

後記，感謝鋼琴老師和Lopez大糾正，原帖已做更改
頭一次上傳動畫檔 操作有疏失還請見諒



[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2020-10-31 20:01 編輯 ]

圖片附件: 15.JPG (2020-10-31 20:01, 38.96 KB) / 該附件被下載次數 3158
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5675&k=5f67e7267fcf435a4eca4ad1cf145bb6&t=1732278649



圖片附件: GeoGebra 2020-10-31 19-50-34.gif (2020-10-31 19:56, 1.65 MB) / 該附件被下載次數 3866
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5676&k=045d625e0c1b2e2631375f5ba8252777&t=1732278649

作者: thepiano    時間: 2020-10-31 18:49     標題: 回復 2# satsuki931000 的帖子

最小值不會出現在\(\left( x,y \right)=\left( 2,0 \right)\)，也就是24

小弟算的最小值出現在\(\left( x,y \right)=\left( \frac{27}{16},\pm \frac{\sqrt{295}}{16} \right)\)
此時最小值是\(\frac{7}{2}\sqrt{46}\)
方法繁瑣就不獻醜了

小弟的電腦看不到您的動畫
作者: Lopez    時間: 2020-10-31 18:54     標題: 回復 2# satsuki931000 的帖子

(-1,0) , (1,0) 好像都不在 x² + y² = 4 上 ??
作者: satsuki931000    時間: 2020-10-31 20:02

感謝兩位老師的訂正
不過最小值除了微分法之外有沒有其他作法

小弟原先的方法錯誤在哪
作者: thepiano    時間: 2020-10-31 20:28     標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

化簡到最後，根號裡面是一個二次函數，可以配方求出最小值和最大值，不須微分

您的算式錯誤之處在算幾不等式中，不等號要有一邊是定值
作者: Lopez    時間: 2020-10-31 21:17     標題: 回復 1# larson 的帖子

作者: satsuki931000    時間: 2020-10-31 21:22     標題: 回復 6# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師的指教
作者: larson    時間: 2020-11-1 14:46     標題: 謝謝大家的回覆

本以為很對稱可以有基本的幾何定理可用，但都無對應的幾何定理，謝謝老師們的回覆。
作者: larson    時間: 2020-11-6 19:13     標題: 為何轉複數之後答案不同？

如附件，是哪一個推論有問題，為何轉複數之後答案不同？

令\(\omega_1=3+\sqrt{23}i,\omega_2=3-\sqrt{23}i\)
則原題改為求：已知\(|\;\omega|\;=4\)，求\(|\;\omega-\omega_2|\; |\;\omega-\omega_2|\;=|\;\omega^2-6\omega+32|\;\)的最小值
答案算出來是\(2\sqrt{46}\)
作者: Lopez    時間: 2020-11-6 20:27     標題: 回復 10# larson 的帖子

∣ω∣ = √( x² + y² ) = 2
作者: larson    時間: 2020-11-6 23:02     標題: 回復 11# Lopez 的帖子

感謝，轉複數也得到一樣的答案



歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0