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標題: 三平面關係(雄中段考試題) [打印本頁]

作者: larson 時間: 2020-9-29 09:43 標題: 三平面關係(雄中段考試題)

如附件，請問要如何解題？

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5645&k=e88bdb5f08277c9bfa5cd533b4a7b6ae&t=1714118916

作者: satsuki931000 時間: 2020-9-29 11:51

淺見
若有漏掉的細節還請指教

另外想順便問一個問題
對於不互相平行的三平面，兩兩相交成一直線，此三直線互相平行沒有交點
小弟目前想到一個最值觀的例子，無奈只差一步

取Z=0，Y=0的平面，之後只要在找一個平面對這兩平面截出平行X軸的直線即可
但舉不出這個平面是否能請各位前輩幫忙一下

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作者: thepiano 時間: 2020-9-29 12:35

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2020-9-29 11:51 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21823&ptid=3395]
另外想順便問一個問題
對於不互相平行的三平面，兩兩相交成一直線，此三直線互相平行沒有交點
小弟目前想到一個最值觀的例子，無奈只差一步

取Z=0，Y=0的平面，之後只要在找一個平面對這兩平面截出平行X軸的直線即可
但舉不出這個平面

y + z = 1

作者: satsuki931000 時間: 2020-9-29 13:30

謝謝鋼琴老師
這樣就可以補個例子了

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5647&k=4c50d1e66faf08ffa557791a9583acfc&t=1714118916

作者: larson 時間: 2020-9-29 14:37

謝謝兩位老師

作者: tsusy 時間: 2020-10-4 23:18 標題: 回復 2# satsuki931000 的帖子

換個作法做，用列運算，列運算做完的同時，也差不多構造完例子了

原三平面恰交於一點，表示經過一系列的列運算可化簡如下

\( \begin{bmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1}\\
a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2}\\
a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3}
\end{bmatrix}\to...\to\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & p\\
0 & 1 & 0 & q\\
0 & 0 & 1 & r
\end{bmatrix} \)，其中 \( (p,q,r) \) 為交點坐標。

將新的三平面聯立方面式同樣的列運算化簡得
\( \begin{bmatrix}b_{1} & c_{1} & d_{1} & a_{1}\\
b_{2} & c_{2} & d_{2} & a_{2}\\
b_{3} & c_{3} & d_{3} & a_{3}
\end{bmatrix}\to...\to\begin{bmatrix}0 & 0 & p & 1\\
1 & 0 & q & 0\\
0 & 1 & r & 0
\end{bmatrix} \)

(1) 若 \( p\neq0 \)，則新的聯立方程式有唯一解，故其相交情形為 (A)

(2) 若 \( p=0 \)，則 \( \begin{bmatrix}b_{1} & c_{1} & d_{1} & a_{1}\\
b_{2} & c_{2} & d_{2} & a_{2}\\
b_{3} & c_{3} & d_{3} & a_{3}
\end{bmatrix}\to...\to\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & q & 0\\
0 & 1 & r & 0
\end{bmatrix} \)，故此三平面中其二交於一直線，且此直線與另一平面平行。僅(D)(E)符合此特徵。

利用逆做列運算構造例子：新三平面方程式 \( \begin{cases}
t_{1}(x+qz)+s_{1}(y+rz) & =1\\
t_{2}(x+qz)+s_{2}(y+rz) & =0\\
t_{3}(x+qz)+s_{3}(y+rz) & =0
\end{cases} \) (此組方程式上下順序可能與原先不同)。

\( t,s \) 是否成比立決定其中的兩平面法向量是否平行 (\( q,r \) 不重要)

故(D)(E)皆有可能，例如以下

(D) \( (t_{1},s_{1},t_{2},s_{2},t_{3},,s_{3})=(1,0,1,0,0,1) \)

(E) \( (t_{1},s_{1},t_{2},s_{2},t_{3},,s_{3})=(1,1,1,0,0,1) \)

----------------我是分隔線，讓我離題一下-------------------

原題為：若三平面...，則"三平面"...

但只符合若的條件的情況下，則後面的聯立方程式組可能不是三平面啊！

例如：原三平面 \( x =0, y=0, z=0 \), 新的三個方程式 \( 0=1, x=0, z=0 \)

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