標題: 2006 MPSI 入學考試 第8題 [打印本頁]

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作者: JingLai    時間: 2020-5-17 22:48     標題: 2006 MPSI 入學考試 第8題

朋友問的，想不出來，附上英文版題目及翻譯，請各位大神一起幫忙想想看
但我不知道為什麼打latex語法都沒辦法顯示，只好附圖片檔

圖片附件: [英文版題目] 1589429649749.jpg (2020-5-17 22:48, 183.19 KB) / 該附件被下載次數 4278
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圖片附件: [中文版題目] 97551919_575547099753627_5533353302562963456_n.png (2020-5-17 22:48, 31.86 KB) / 該附件被下載次數 4198
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作者: 克勞棣    時間: 2020-5-18 01:34     標題: 回復 1# JingLai 的帖子

我只會證明第1題
顯然a^n-1≡0 (mod a^n-1)，則
a^n≡1 (mod a^n-1)
a^(nk)≡1^k≡1 (mod a^n-1)
(a^k)^n≡1 (mod a^n-1)
b^n≡1 (mod a^n-1)
b^n-1≡0 (mod a^n-1)
即(b^n-1)皆為(a^n-1)之倍數
故u_n皆為正整數

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作者: tsusy    時間: 2020-5-19 22:26     標題: 回復 1# JingLai 的帖子

之前做過，我覺得我的做法不太好

2. 歸謬法、計算 \( \lim\limits_{n\to\infty} au_{n+1} - bu_{n} =0 \)

(1) \( au_{n+1}-bu_{n}=\frac{(b-1)a^{n+1}+(1-a)b^{n+1}+a-b}{(a^{n+1}-1)(a^{n}-1)} \)

觀察分子，易論證 \( n \) 夠大時，分子為負，故 \( au_{n+1} - bu_n \neq 0\)

(2) 承 (1) 的通分式，分子拆開，可得 \( \lim\limits_{n\to\infty} au_{n+1} - bu_{n} =0 \)

(3) 設 \( u_n \) 皆為正整數，當 \( n \) 夠大時，
由 (1) 及(3)的假設可得 \( au_{n+1} - bu_n \) 為非 0 整數，故\( |au_{n+1} - bu_n | \geq 1 \)
與 (2) 中結論矛盾，故存在正整數 \( n \) 使得 \( u_n \) 不為正整數

3. 基本上就是要仿照2的構造一個輔助式，印象不難做

4. 如果一直構造下去的話，會得到除了 1. 以外，都能找到正整數 \( n \)，使得 \( u_n \) 不是正整數
但...那個構造，我沒找到簡潔的式子可以一直構造下，也就是沒完成證明

[ 本帖最後由 tsusy 於 2020-5-19 22:29 編輯 ]

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作者: tsusy    時間: 2020-5-20 18:25     標題: 回復 1# JingLai 的帖子

3.
注意
\( a^{2}(au_{n+2}-bu_{n+1})-b(au_{n+1}-bu_{n})=\frac{(1-a)(1-a^{2})b^{n+2}}{(a^{n+2}-1)(a^{n+1}-1)(a^{n}-1)}+a^{2}\cdot\frac{(b-1)a^{n+2}+a-b}{(a^{n+2}-1)(a^{n+1}-1)}-b\cdot\frac{(b-1)a^{n+1}+a-b}{(a^{n+1}-1)(a^{n}-1)} \)

當 \( b <a^3 \) 時，上式極限為 0；當 \( b> a^2 \) 且 \( n \) 夠大時，上式為負
剩下的論證同第 2 小題

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