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標題: 109中正預校(國中部) [打印本頁]

作者: Ellipse    時間: 2020-5-11 12:59     標題: 109中正預校(國中部)

如附件~
填充(E)的題目有問題,答案無法填....

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-5-11 13:09 編輯 ]

附件: 109中正預校試題(國中部).pdf (2020-5-11 12:59, 217.67 KB) / 該附件被下載次數 7394
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5451&k=f93e5767e6256c4035bce6cd011af348&t=1711642973

附件: 109中正預校答案(國中部).pdf (2020-5-11 12:59, 320.69 KB) / 該附件被下載次數 7003
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5452&k=651ffd884135073380198749bd362970&t=1711642973
作者: jasonmv6124    時間: 2020-5-11 13:27

請問Q不是應該是10個解嗎?
作者: g112    時間: 2020-5-11 13:31

引用:
原帖由 jasonmv6124 於 2020-5-11 13:27 發表
請問Q不是應該是10個解嗎?
E.應該是351

Q算10個+1

所以這份至少有兩題答案有誤(無法填)

另外想請教最後一題怎麼算,謝謝
作者: bugmens    時間: 2020-5-11 14:19

D.
設\(a,b,c\)為正實數,試求\(\displaystyle \frac{2b-2c}{a+b+2c}+\frac{2a+4c}{a+2b+c}+\frac{b}{a+b+c}\)的最小值   
連結有解答
(建中通訊解題 第61期,http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)


F.
設有一階梯共有20階,每次只能走2階或3階,第8階階梯壞掉不能踩且必須踩上第12階的上樓方法數為   
(101中科實中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=2#pid5048)

G.
球體\(S:x^2+y^2+z^2 \le 4\)被平面\(E:3x+2y+2\sqrt{3}z=5\)割成兩部份,求較小部份的體積為   
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=951&page=2#pid2258

I.
已知三次方程式\(x^3-2x^2-6x+5=0\)的三根分別為\(\alpha,\beta,\gamma\),則\(\alpha^5+\beta^5+\gamma^5=\)   
[公式]
\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}\)
數學傳播第七卷第四期,林文東,一元n次方程式根的同次冪之和的求法
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434可下載文章

K.
凸12邊形的任意3條對角線不交於12邊形內一點,求這些對角線將凸12邊形分成   個區域數。
[公式]
\(C_0^n+C_2^n+C_4^n-n\)

已知一個凸八邊形中的任意3條對角線不交於形內一點,求這些對角線將凸八邊形分成的區域的個數?
(建中通訊解題第55期)

上面題目問區域數,下面題目問三角形個數?
平面上凸n邊形之對角線沒有三線共點者,則由此凸n邊形之邊與對角線所圍出三角形個數
[公式]
\(C_3^n+4C_4^n+5C_5^n+C_6^n\)
https://math.pro/db/thread-624-1-1.html

O.
有一個遊戲叫做「九宮格」,就是被叫到的人,其座位周圍在九宮格內的人都要站起來,如右圖,座位標示「●」被叫到時,周邊標示「☆」的人都要站起來。
由例二得知,坐在最外層的人被叫到時,要站起來的人數會比較少。今已知甲乙兩位學生在同一班,而該班學生共有5×5位,則當兩人任意坐時,當甲被叫到而乙必須站起來的機率為   
96高中模擬考,http://www.tcgs.tc.edu.tw/~sunp/simulate/math/Taipei/964mathA.pdf

P.
三角形的三邊長分別為\(\sqrt{29}\)、\(\sqrt{37}\)、\(\sqrt{52}\),求此三角形面積為   
(建中通訊解題 第38期)

T.
已知實數\(a,b,c\)滿足\(\cases{a(4-b)=4 \cr b(4-c)=4 \cr c(4-a)=4}\),則\(a+b+c=\)   
輪換方程式,將題目整理到這裡https://math.pro/db/thread-2020-1-1.html

U.
長方形如右圖,\(E\)、\(F\)分別在\(\overline{AB}\)、\(\overline{BC}\)邊上,已知\(\Delta ADE\)、\(\Delta BEF\)、\(\Delta CDF\)的面積分別為2、3、4,則\(\Delta DEF\)的面積為   
http://www.mathland.idv.tw/life/rectri.pdf
作者: jasonmv6124    時間: 2020-5-11 15:26     標題: 回復 3# g112 的帖子

請問E不是應該是320嗎?
作者: superlori    時間: 2020-5-11 16:26     標題: 回復 5# jasonmv6124 的帖子

(1)張成面積的最大值為長方形,長31寬2面積62
(2)圓上一點(a,b)和圓上一點(c,d)距離的最小值為17,m=17^2=289
M+m=62+289=351
---------------------------------------------
答案給79應該就是62+17(出題老師大概忘了要平方)
作者: 克勞棣    時間: 2020-5-11 16:54

P.
三角形的三邊長分別為√29 、√37 、√52 ,求此三角形面積為16。
cosθ
=((√29)^2+(√37)^2-(√52)^2)/(2*√29*√37)
=14/(2*√29*√37)

sinθ
=√(2^2*29*37-14^2)/(2*√29*√37)
=√(4096)/(2*√29*√37)
=64/(2*√29*√37)

面積=(1/2)*√29*√37*sinθ=16
(事實上,不管計算三個角的哪一個角,最後都會變出√4096,所以結果都是一樣的)

[ 本帖最後由 克勞棣 於 2020-5-11 17:03 編輯 ]
作者: jasonmv6124    時間: 2020-5-11 19:14     標題: 回復 6# superlori 的帖子

謝謝你 我想成三角形了

另外請問J.K.S
作者: thepiano    時間: 2020-5-11 20:14     標題: 回復 8# jasonmv6124 的帖子

填充 S
101 中正高中二招計算第二題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1446&page=6#pid10008
作者: thepiano    時間: 2020-5-11 20:32     標題: 回復 8# jasonmv6124 的帖子

填充 K
十二邊形的 12 個頂點可決定 C(12,2) - 12 = 54 條對角線
若這 54 條對角線均不相交,可將十二邊形分割成 54 + 1 = 55 個區域
但事實上不可能,任兩條對角線有 1 個交點,每多 1 個交點就多 1 個區域
故所求 = 55 + C(12,4) = 550
作者: yi4012    時間: 2020-5-11 20:38     標題: 回復 8# jasonmv6124 的帖子

問題S
S=根號3*1*sinA/2=根號3*sinA/2
T=1*1*sinC/2=sinC/2
S^2+T^2=3sin^2 A/4+sin^2 C/4
因為共用BD,所以
BD^2=4-2根號3*cosA=2-2cosC
cosC=1-根號3*cosA
cos^2 C=3cos^2 A-2根號3*cosA+1
sin^2 C=-3cos^2 A+2根號3*cosA
帶入可得一個二次式,cosA用X代替
S^2+T^2=-1.5X^2+X*根號3/2+3/4
當X=根號3/6時有最大值7/8
作者: thepiano    時間: 2020-5-11 20:44     標題: 回復 8# jasonmv6124 的帖子

填充題J
\(\begin{align}
  & y=\frac{a{{x}^{2}}+bx+6}{{{x}^{2}}+2} \\
& \left( a-y \right){{x}^{2}}+bx+\left( 6-2y \right)=0 \\
& {{b}^{2}}-4\left( a-y \right)\left( 6-2y \right)\ge 0 \\
& {{y}^{2}}-\left( a+3 \right)y+\left( 3a-\frac{{{b}^{2}}}{8} \right)\le 0 \\
&  \\
& 2\le y\le 6 \\
& \left( y-2 \right)\left( y-6 \right)\le 0 \\
&  \\
& a=5 \\
\end{align}\)
作者: jasonmv6124    時間: 2020-5-11 20:48

謝謝 yi4012 thepiano

另外Y我怎麼算都算不一樣...

[ 本帖最後由 jasonmv6124 於 2020-5-11 20:56 編輯 ]
作者: 克勞棣    時間: 2020-5-11 21:26

F.
設有一階梯共有20階,每次只能走2階或3階,第8階階梯壞掉不能踩且必須踩上第12階的上樓方法數為____。
a_1=0
a_2=a_3=a_4=1
a_5=a_3+a_2=2
a_6=a_4+a_3=2
a_7=a_5+a_4=3
a_8=a_6+a_5=4
a_9=a_7+a_6=5
a_10=a_8+a_7=7
a_11=a_9+a_8=9
a_12=a_10+a_9=12

必踩第12階:先爬完12階,再爬剩下的8階。a_12 * a_8=12*4=48

接下來不知怎麼做,請教,謝謝!
作者: yi4012    時間: 2020-5-11 21:38     標題: 回復 14# 克勞棣 的帖子

我是直接利用(過12-有過8)*剩下8階
2A+3B=12
走法有12種
2A+3B=8有4種
所以是(12-4)*4=32
你忘記扣有過8的方法數了
作者: thepiano    時間: 2020-5-11 21:47     標題: 回復 13# jasonmv6124 的帖子

填充最後一題
電費四捨五入後應是 3408 元吧?
作者: yi4012    時間: 2020-5-11 23:23     標題: 回復 16# thepiano 的帖子

我知道問題出在哪裡了
因為是兩個月共用電量
而下方是單月,也就是說一個月平均為460度
120*1.63+210*2.38+130*3.52=1153
1153*2=2306
圖片中是單月度數分段
所以[120*1.63+(330-120)*2.38+(460-330)*3.52]*2=2306
作者: AshsNutn    時間: 2020-5-12 00:22     標題: 回復 17# yi4012 的帖子

這一題考得還真細心,我就是粗心那個
作者: thepiano    時間: 2020-5-12 06:37     標題: 回復 17# yi4012 的帖子

剛用台電網站的試算程式,的確是 2306 元
不過這種一字之差的題目放最後一題,未免太 ......
作者: yi4012    時間: 2020-5-12 07:44     標題: 回復 2# jasonmv6124 的帖子

f(f(x))=-5
所以f(x)=-3或f(x)=2
圖片畫線可知道f(x)=2
x=3,0~2、-5~ -3
f(x)=-3
x=-5~ -3、-3~0、0~2、2~3、5~
可以判斷交點有9個(一個重根算一個)
作者: Ellipse    時間: 2020-5-12 08:35

引用:
原帖由 yi4012 於 2020-5-12 07:44 發表
f(f(x))=-5
所以f(x)=-3或f(x)=2
圖片畫線可知道f(x)=2
x=3,0~2、-5~ -3
f(x)=-3
x=-5~ -3、-3~0、0~2、2~3、5~
可以判斷交點有9個(一個重根算一個)
f(f(x))=-5
所以f(x)=-3或f(x)=2或 f(x)=t (t>5)
作者: studentJ    時間: 2020-5-12 10:35     標題: 回復 14# 克勞棣 的帖子

小弟我在考場是直接列到a_20
但是a_8我是寫0

您的a10.11.12都錯了,因為不能採第八階
作者: koeagle    時間: 2020-5-12 15:13

想請教C,R,T這三題,謝謝。
作者: abc409212000    時間: 2020-5-12 16:06     標題: 回復 23# koeagle 的帖子



圖片附件: C.png (2020-5-12 16:06, 54.35 KB) / 該附件被下載次數 2447
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5453&k=e987ba531c14cba1f71b45dbf343cc45&t=1711642973



圖片附件: R.png (2020-5-12 16:06, 33.18 KB) / 該附件被下載次數 2423
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5454&k=3b1c480b2a3ab0a169d25523cc560fc4&t=1711642973


作者: 克勞棣    時間: 2020-5-12 16:07

引用:
原帖由 studentJ 於 2020-5-12 10:35 發表
小弟我在考場是直接列到a_20
但是a_8我是寫0

您的a10.11.12都錯了,因為不能採第八階
您誤會了,我沒有忽略不能踩第八階,我的a10.11.12是"沒有規定必踩或必不踩哪一階"的原始方法數,接下來我才要扣掉"必踩第8階的方法數",可是我算不到32這個答案,所以才來請益。
作者: 克勞棣    時間: 2020-5-12 16:27

引用:
原帖由 yi4012 於 2020-5-11 21:38 發表
我是直接利用(過12-有過8)*剩下8階
2A+3B=12
走法有12種
2A+3B=8有4種
所以是(12-4)*4=32
你忘記扣有過8的方法數了
原始方法數所構成的數列:0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12
請問您的意思是這樣嗎?
(a12-a8*a4)*a8
=(12-4*1)*4
=32
作者: thepiano    時間: 2020-5-12 17:18     標題: 回復 23# koeagle 的帖子

填充題T
\(\begin{align}
  & c\left( 4-a \right)=4 \\
& c=\frac{4}{4-a} \\
&  \\
& b\left( 4-c \right)=4 \\
& b=\frac{4}{4-c}=\frac{4}{4-\frac{4}{4-a}}=\frac{4-a}{3-a} \\
&  \\
& a\left( 4-b \right)=4 \\
& 4-b=\frac{4}{a} \\
& 4-\frac{4-a}{3-a}=\frac{4}{a} \\
& a=b=c=2 \\
\end{align}\)
作者: koeagle    時間: 2020-5-12 17:30     標題: 回復 24# abc409212000 的帖子

謝謝 abc409212000老師
謝謝 thepiano老師
作者: yi4012    時間: 2020-5-13 08:47     標題: 回復 28# koeagle 的帖子

T可以很明顯看出A=B=C=2帶入成立((填充題這樣寫就可以了))
我的算法是把三式相乘,利用算幾不等式
相加和為12/6>=積的1/6次方=4^(1/6)=2
等號成立所以六個數字一樣
所以A=B=C=4-A=4-B=4-C=2
A+B+C=2*3=6
作者: thepiano    時間: 2020-5-13 09:51     標題: 回復 29# yi4012 的帖子

用算幾的前提是那六個數為正,但從題目並看不出來,要先說明
若計算題只這樣寫,會扣分吧

另外,您把 64 打成 4 了

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-5-13 09:53 編輯 ]
作者: satsuki931000    時間: 2020-5-13 10:53

想請問J
作者: whatbear    時間: 2020-5-13 12:14     標題: 回復 31# satsuki931000 的帖子

鋼琴老師有在12樓回覆了。
作者: studentJ    時間: 2020-5-13 19:56     標題: 走樓梯問題

如圖片

圖片附件: 3878FE81-F5E3-45C2-93C4-25D0C785566E.jpeg (2020-5-13 19:56, 1.87 MB) / 該附件被下載次數 2437
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5456&k=9070b432992190ff10077dd1f8979b80&t=1711642973


作者: q1214951    時間: 2020-5-14 13:27     標題: 想請問C

各位老師們好,
想請問第C題,
我用以下方式得到答案4
想請問這種算法有哪裡想錯了嗎?
感謝各位老師!

圖片附件: AA8C9A3C-687C-433C-A7BA-20746891E6DC.jpeg (2020-5-14 13:27, 527.46 KB) / 該附件被下載次數 2300
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5459&k=dd83b07d194c1bf0712a31c25e85df09&t=1711642973


作者: Ellipse    時間: 2020-5-14 14:13

引用:
原帖由 q1214951 於 2020-5-14 13:27 發表
各位老師們好,
想請問第C題,
我用以下方式得到答案4
想請問這種算法有哪裡想錯了嗎?
感謝各位老師!
圖裡面,倒數第四行開始
若a_i=1 (i=2,3.......2020)
這樣就強迫a_1=2 (題目第一式的條件)
a_1+ 1/a_1 =4也不會成立

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-5-14 14:15 編輯 ]
作者: martinofncku    時間: 2020-5-14 17:15     標題: 請問

請問 W.  中 a^2+b^2+c^2=-3, 所以 a,b,c  屬於複數?
作者: q1214951    時間: 2020-5-14 17:40     標題: 回復 35# Ellipse 的帖子

抱歉,我沒有寫清楚,
我的意思是能不能取 \(a_2=a_2=a_3=...=a_{2020}=1\),
取 \(a_1=2+\sqrt{3}\),
這樣所求的 \(a_1+\frac{1}{a_1}\) 就會等於4了。
作者: Ellipse    時間: 2020-5-14 18:59

引用:
原帖由 q1214951 於 2020-5-14 17:40 發表
抱歉,我沒有寫清楚,
我的意思是能不能取 \(a_2=a_2=a_3=...=a_{2020}=1\),
取 \(a_1=2+\sqrt{3}\),
這樣所求的 \(a_1+\frac{1}{a_1}\) 就會等於4了。
題目條件是
a_1+a_2+a_3+.............+a_2020=2021------------------(1)
1/a_1+1/a_2+1/a_3+.............+1/a_2020=2021---------------(2)
後面取a_2=a_3=................=a_2020=1------(*)
代入(1) 得a_1=2,  代入(2)得 1/a_1=2   --><----
很明顯(*)的取法是不成立的

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-5-14 19:04 編輯 ]
作者: q1214951    時間: 2020-5-14 19:10     標題: 回復 38# Ellipse 的帖子

謝謝老師!
作者: anyway13    時間: 2020-5-16 16:39     標題: 請教老師L題

版上老師好

請問L題要怎麼做啊?  用解析座標實在太難做了

求指點迷津
作者: CyberCat    時間: 2020-5-16 16:45     標題: 回復 40# anyway13 的帖子

提示:△CMB~△DMA ,△CMD~△BMA
CM:DM = CB:DA = 8:4
AM:DM = BA:CD = 5:2

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2020-5-16 18:20 編輯 ]
作者: koeagle    時間: 2020-5-16 17:20     標題: 回復 40# anyway13 的帖子

填充L:
\( \displaystyle \angle{C} = 180^{\circ} - \angle{A} \) , \( \displaystyle \overline{AM} : \overline{CM} = \bigtriangleup ABD : \bigtriangleup BCD \) (利用相似,且同底 \( \displaystyle \overline{BD} \) )
\( \displaystyle \frac{ \overline{AM} }{ \overline{CM} } = \frac{ \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \sin{A} }{ \frac{1}{2} \times 8 \times 2 \times \sin{C} } = \frac{5}{4} \)
作者: anyway13    時間: 2020-5-16 19:27     標題: 回復 41# Cybercat 42# koeagle的帖子

謝謝 Cybercat老師  和koeagle老師指點解析
作者: 小姑姑    時間: 2020-5-17 06:29     標題: 請教第W題

請教第W題,
我計算的答案為16,
答案公告為4。
作者: Ellipse    時間: 2020-5-17 09:13

引用:
原帖由 小姑姑 於 2020-5-17 06:29 發表
請教第W題,
我計算的答案為16,
答案公告為4。
第一行提a,第二行提b,第三行提c,
再將a乘入第一列,b乘入第二列,c乘入第三列
化簡後得4a²b²c²=4(abc)²=4*1²=4

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-5-17 09:15 編輯 ]
作者: martinofncku    時間: 2020-5-17 15:37     標題: 請問

請問老師 M. & X.
作者: Lopez    時間: 2020-5-17 16:28     標題: 回復 46# martinofncku 的帖子

M.
等式減 x² + y² ,等式恆成立:
4x + 6y + 13 = 10x + 14y + 74 = 22x + 2ky + 121+k²

4x + 6y + 13 = 10x + 14y + 74
6x + 8y + 61 = 0 ... (1)

10x + 14y + 74 = 22x + 2ky + 121+k²
12x + ( 2k - 14 )y + 47+k² = 0
6x + ( k - 7 )y + (47+k²)/2 = 0 ... (2)

比較(1)(2)的 y 係數
8 = k - 7
k = 15
(47+k²)/2 = (47+15²)/2 = 136
即 k 取 15 時, (2) 即:
6x + 8y + 136 = 0 與(1)為相互平行不相交的直線,故無解.
Ans: k = 15
作者: koeagle    時間: 2020-5-17 16:46     標題: 回復 46# martinofncku 的帖子

填充M另解
(x,y)可視為(-2,-3) , (-5,-7) , (-11,-k)三點所形成的三角形外心
無解:面積為0,k=15
作者: 小姑姑    時間: 2020-5-17 18:37     標題: 回復 45# Ellipse 的帖子

謝謝,列提行灌果然快多了。
作者: Lopez    時間: 2020-5-17 19:31     標題: 回復 46# martinofncku 的帖子

X.
令 y = 11111 , 則 9y + 1 = 10^5


= ( 10y + 1 ) + ( 4y*10^ 5  + 4y ) - 6y
= 4y*10^ 5 + 8y + 1
= 4y*( 9y + 1 ) + 8y + 1
= 36y² + 12y + 1
= ( 6y + 1 )²

x = 6y + 1 = 66667
各位數字和 = 6*5 + 1 = 31




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