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標題: 多項式除法:求x^48除以(x^2+x+3)的餘式 [打印本頁]

作者: 克勞棣    時間: 2020-5-4 17:50     標題: 多項式除法:求x^48除以(x^2+x+3)的餘式

如題。謝謝!
這不是作業,也不是任何考試的題目(所以應該不會有非常高超的技巧可以用),而是我自己想到的題目。
我剛剛在努力算答案,求得答案是(169756952960‬x+107649721761)。不曉得對不對?
作者: Lopez    時間: 2020-5-5 15:21     標題: 回復 1# 克勞棣 的帖子


作者: Ellipse    時間: 2020-5-5 20:55

您問的這種問題說實在的,要用手算出來都很困難
直接丟給mathematica算就好
以下是它的指令~~~

圖片附件: 1588683288129.jpg (2020-5-5 20:55, 43.78 KB) / 該附件被下載次數 240
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5447&k=95447d0698ffd4f4fddf7fee213c3898&t=1606753460


作者: 克勞棣    時間: 2020-5-6 00:20     標題: 回復 3# Ellipse 的帖子

在下要的並不只是結果,重點是享受解題過程的樂趣嘛!
而且我沒規定每一步都要純手算,大整數的四則運算可以用電腦內建的"小算盤"代勞的(但"思考"是家用電腦至今無法代勞的)。
--------
顯然x^2+x+3≡0(mod x^2+x+3),則
(以下省略(mod x^2+x+3))
x^2+x+1≡(-2)
→(x-1)(x^2+x+1)≡(-2)(x-1)
→x^3-1≡-2x+2
→x^3≡-2x+3

x^48≡(x^3)^16≡(-2x+3)^16
≡((-2x+3)^2)^8≡(4x^2-12x+9)^8≡(-16x-3)^8
(將括號內的二次式除以(x^2+x+3),求其餘式,下同)
≡(256x^2+96x+9)^4≡(-160x-759)^4
≡(25600x^2+242880x+‭576081‬)^2≡(217280x+‭499281‬)^2
≡‭47210598400‬x^2+‭216967551360‬x+‭249281516961‬‬≡‭169756952960x+‬‭107649721761‬




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