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標題: 109文華高中 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2020-4-18 17:27 標題: 109文華高中

如附件
想請教計算那三題

附上本次考試所有考生成績的直方圖給各位參考

[ 本帖最後由 Superconan 於 2020-4-23 11:02 編輯 ]

附件: 109文華高中(填充題與計算題).pdf (2020-4-23 11:02, 623.33 KB) / 該附件被下載次數 13324
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附件: 數學科(填充題參考答案).pdf (2020-4-18 17:27, 295.59 KB) / 該附件被下載次數 9140
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5393&k=75976091e351e490ecc640e466ef8005&t=1732274624

圖片附件: 5初試成績直方圖.png (2020-4-20 22:53, 43.76 KB) / 該附件被下載次數 8643
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作者: AshsNutn 時間: 2020-4-18 17:47

謝謝分享！
想請教填充12
設\(f(x)=x^3-kx^2+4k\)，若\(f(x)=0\)恰有兩相異負根與一正根，則實數\(k\)的範圍為　　　。

已有兩負根一正根前提下

由中心點得k<-3√3
由一次微分找到x=2k/3反求y得
k<-3√6
取交集得
k小於-3根號6

不曉得錯誤在哪，謝謝！

作者: thepiano 時間: 2020-4-18 20:49 標題: 回復 2# AshsNutn 的帖子

\(\displaystyle x=\frac{2}{3}k\)代入，算出來是還是\(k<-3\sqrt{3}\)

作者: thepiano 時間: 2020-4-18 22:17 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

計算第一題
\(\forall x \in R\)，不等式\(\displaystyle x^2 log_a \frac{a^2(a+1)}{3}+2xlog_a\frac{3a}{a+1}+log_a \frac{(a+1)^2}{9a^2}>0\)恆成立，求\(a\)的範圍？
[解答]
令\({{\log }_{a}}\frac{a+1}{3}=t\)
原不等式改寫成\(\left( 2+t \right){{x}^{2}}+2\left( 1-t \right)x+2\left( t-1 \right)>0\)
再利用\(t>-2\)及判別式小於0，可得\(\frac{1}{2}<a<1\)

計算第二題
類似的考古題考過兩次

作者: satsuki931000 時間: 2020-4-19 01:20

計算2 參考108雄女

計算3
已知連續隨機變數\(X\)的機率密度函數\(f(x)=\cases{ax+b，0<x<1\cr 0，x\le 0或x\ge 1}\)且\(X\)的期望值\(\displaystyle E(X)=\frac{7}{12}\)，則\(X\)的變異數\(V(X)\)為何？
[解答]
應該是這樣算
機率總和為1
所以先由積分0~1 f(x)dx=1 列出第一個ab關係式
PS.因為上述區間範圍外皆為0，積分出來依舊是0，故考慮0~1即可

E(X)為積分0~1 xf(x)dx=7/12 列出第2個關係式

由上述可以得到a=1 b=1/2

Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
先求出E(X^2)=積分0~1 (x^2)f(x)dx=5/12

故得Var(X)=5/12-(7/12)^2=11/144

作者: swallow7103 時間: 2020-4-19 18:32

填充11
一拋物線\(y^2=4x\)與一直線交於\(A\)、\(B\)兩點，已知拋物線與直線所圍出來的面積為\(\displaystyle \frac{9}{8}\)，則\(A\)、\(B\)的中點軌跡方程式為　　　。
獻醜一下，不知道有無其他快速解法???

附件: 109文華高中填充11.pdf (2020-4-19 18:32, 2.55 MB) / 該附件被下載次數 12364
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5401&k=1e80064b98eafe1912aa568b66d5d2af&t=1732274624

作者: Ellipse 時間: 2020-4-19 21:19

引用:

原帖由 swallow7103 於 2020-4-19 18:32 發表
填充11 獻醜一下，不知道有無其他快速解法???

"拋物線與直線所圍成的區域面積"其實是有公式的
如您的假設~~
拋物線:x=(1/4)y² , 與直線AB的交點為A( (y1)²/4 ,y1 ) ,B( (y2)²/4 ,y2 )
則拋物線與直線所圍成的區域面積=[(1/4) /6]*| y1-y2|^3= 9/8
可得| y1-y2| =3 ,剩下就用您後面的方式處理~~

作者: 年獸 時間: 2020-4-20 07:29 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

計算 1 要記得檢查真數跟底數的條件
雖然我瞄了一下前幾樓的答案，沒檢查答案也會對
但既然考計算，我猜沒檢查會扣分

作者: thepiano 時間: 2020-4-20 09:30 標題: 回復 8# 年獸的帖子

不是沒檢查，而是在這裡回答不用寫得太清楚

作者: 年獸 時間: 2020-4-22 07:33 標題: 回復 9# thepiano 的帖子

了解

作者: Sandy 時間: 2020-4-23 16:05

補充一下公式
已知\(ax^2+bx+c=0\)之二實根\(\alpha,\beta\)，則\(\displaystyle \int_a^b ax^2+bx+c dx=\frac{1}{6}a(\alpha-\beta)^3\)
(105陽明高中計算證明題)

舉手問一下#16

引用:

原帖由 Ellipse 於 2020-4-19 21:19 發表

"拋物線與直線所圍成的區域面積"其實是有公式的
如您的假設~~
拋物線:x=(1/4)y² , 與直線AB的交點為A( (y1)²/4 ,y1 ) ,B( (y2)²/4 ,y2 )
則拋物線與直線所圍成的區域面積=[(1/4) /6]*| y1-y2|^3= 9/8
可 ...

作者: superlori 時間: 2020-4-23 17:18 標題: 回復 11# Sandy 的帖子

(6^3-3^3)(1/6)│OA向量,OB向量,OC向量│

作者: bugmens 時間: 2020-4-23 18:52

5.
已知\(x,y,z\)滿足\(x+y+z=1\)，\(x^2+y^2+z^2=3\)，\(x^3+y^3+z^3=5\)，則\(x^4+y^4+z^4=\)？
(我的教甄準備之路　利用根與係數的關係解聯立方程式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076)

8.
在坐標平面上，從點\(A(0,0)\)走捷徑到點\(B(6,5)\)，共轉三次彎的情形下，走法共有　　　種。

坐標平面上，自\(A(0,0)\)沿方格之邊走到\(B(6,4)\)，以走捷徑方式(只能往上，往右)，恰轉三次彎(行進方向恰改變三次)的方法有　　　種。
(99嘉義高工，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=964&page=1#pid2198)
thepiano解題，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1550

計算2.
如右圖，一直圓柱體底面為半徑6公尺的圓，平面\(E\)通過直圓柱底面圓的直徑，且平面 E 與直圓柱的底面夾角為\(30^{\circ}\)，平面\(E\)將此直圓柱體切割成兩塊，求較小塊的體積為多少立方公尺？

底面半徑為5的直圓柱，今有一個含底面一直徑而與底面成\( 45^{\circ} \)的一個平面截出一小塊立體圖形，則此立體圖形體積為何？
(A)80　(B)\( \displaystyle \frac{250}{3} \)　(C)\( \displaystyle \frac{260}{3} \)　(D)90
(105大安高工代理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2556&page=1#pid16011)
公式：\(\frac{2}{3}{{r}^{3}}\tan \theta \)

作者: jerryborg123 時間: 2020-4-24 16:43

想請教填充第二題
在複數平面上，\(O\)為原點，點\(A(z_1)\)，\(B(z_2)\)，已知\(|\;z_1-3+4i|\;=1\)且\(\displaystyle \frac{z_2}{z_1}=1+\sqrt{3}i\)，則\(\Delta OAB\)面積之最大值為　　　。

Z2 是圓心在(6,-8)半徑為2，主幅角和z1 差60度，這個想法對嗎？
這樣算最後用行列式、函數疊合求出的面積最大值為5+3^(1/2)/2，與正確答案不同

作者: superlori 時間: 2020-4-24 17:13 標題: 回復 14# jerryborg123 的帖子

應該是Z1是圓上一點(圓心在(3,-4),半徑為1)
Z1和Z2夾角為60度

作者: Ellipse 時間: 2020-4-24 17:22

引用:

原帖由 jerryborg123 於 2020-4-24 16:43 發表
想請教填充第二題

Z2 是圓心在(6,-8)半徑為2，主幅角和z1 差60度，這個想法對嗎？
這樣算最後用行列式、函數疊合求出的面積最大值為5+3^(1/2)/2，與正確答案不同 ...

應該是Z1(A點) 在圓心(3,-4)半徑為1的圓上
將OA逆時針旋轉60度,然後再伸長為OA的2倍 (即OB=2OA)
所求三角形OAB面積=(1/2)*OA*OB*sin60度=√3/2*OA²
當OA=√(3²+(-4)²) +1 =6時
所求有最大值=(√3/2)*6²=18√3

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-4-24 22:52 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2020-4-24 17:23

引用:

原帖由 jerryborg123 於 2020-4-24 16:43 發表
想請教填充第二題

Z2 是圓心在(6,-8)半徑為2，主幅角和z1 差60度，這個想法對嗎？
這樣算最後用行列式、函數疊合求出的面積最大值為5+3^(1/2)/2，與正確答案不同 ...

作者: jerryborg123 時間: 2020-4-24 19:36 標題: 回復 17# Ellipse 的帖子

想請教老師，為什麼旋轉的是OA呢？
我的想法是圓的半徑轉60度，所以認為角AOB不會固定是60度
----------------------------------------------------------------------------------
我懂了，是我自己搞錯，謝謝橢圓老師

作者: jerryborg123 時間: 2020-4-27 15:43

想請教填充第九題

作者: thepiano 時間: 2020-4-27 15:53 標題: 回復 19# jerryborg123 的帖子

第 9 題
設\(f(x)\)、\(g(x)\)皆為實係數多項式，當\(0\le x \le 1\)，恆有\(f(x)\ge g(x)\)，設\(0\le k \le 1\)，斜線區域\(R_k\)為\(y=f(x)\)、\(y=g(x)\)圖形與直線\(x=0\)、\(x=k\)所圍成的封閉圖形。已知\(R_k\)的面積為\(\displaystyle \frac{2}{5}k^5-k^4+k^2\)，將\(R_k\)繞\(x\)軸旋轉所得旋轉體體積為\(\displaystyle (-\frac{4}{9}k^9+k^8+\frac{2}{3}k^6-\frac{16}{5}k^5+\frac{8}{3}k^3)\pi\)，則多項式\(g(x)=\)　　　。

參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=29116#p29116

作者: superlori 時間: 2020-4-27 16:38 標題: 回復 19# jerryborg123 的帖子

請參考

圖片附件: 0A039586-D02E-4EF3-98CA-4240D3D60138~2.jpeg (2020-8-6 00:05, 1.58 MB) / 該附件被下載次數 4278
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5428&k=093975bbee1807e09002ac1549079752&t=1732274624

作者: jerryborg123 時間: 2020-4-28 14:20

懂了，感謝兩位老師！

作者: jerryborg123 時間: 2020-4-29 17:03

想請教填充13題

作者: zanlinphon 時間: 2020-4-29 18:44

如圖

圖片附件: 15881572727929013651331942176737~3.jpg (2020-8-6 00:04, 1.65 MB) / 該附件被下載次數 4264
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5434&k=b1409c80ed6a4f3d1a5003356e1bdf0c&t=1732274624

作者: jerryborg123 時間: 2020-5-1 16:52 標題: 回復 24# zanlinphon 的帖子

感謝您，果然有更好的方法，原本分情況討論太慢

作者: zidanesquall 時間: 2020-5-1 21:26 標題: 回復 22# jerryborg123 的帖子

我用窮舉類推，從 x=1開始計算，

(1,4,8),(1,4,9),...,(1,4,15) 共8種
(1,5,9),(1,5,10),...,(1,5,15)共7種

x=1，總共有8+7+6+5+4+3+2+1組
x=2，總共有7+6+5+4+3+2+1組
....
x=8，總共有1組

機率就是 \(\displaystyle\frac{\sum^{8}_{k=1}\frac{k(k+1)}{2}}{H^{15}_{3}}=\frac{3}{17}\)

作者: zanlinphon 時間: 2020-5-2 22:16 標題: 回復 13# bugmens 的帖子

請問老師
\(\displaystyle \frac{2}{3} r^3 tan sita \) 如何證明的

[ 本帖最後由 zanlinphon 於 2020-5-2 22:18 編輯 ]

作者: Uukuokuo 時間: 2020-5-9 09:35 標題: 回復 27# zanlinphon 的帖子

如圖

圖片附件: P_20200509_092928_vHDR_Auto~3.jpg (2020-8-6 00:02, 1.68 MB) / 該附件被下載次數 4263
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5449&k=580031d8cc064a4949bdb6d175e7c671&t=1732274624

作者: Sandy 時間: 2020-5-12 16:51

引用:

原帖由 zanlinphon 於 2020-5-2 22:16 發表
請問老師
\(\displaystyle \frac{2}{3} r^3 tan sita \) 如何證明的

圖片附件: 105高雄餐飲填充8_1.jpg (2020-5-12 16:51, 304.3 KB) / 該附件被下載次數 3566
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5455&k=e7611ea8ecffaee995cdba5e3ab2564b&t=1732274624

作者: plpl69541 時間: 2020-7-26 02:26

不好意思，想請問填充題第16題

作者: satsuki931000 時間: 2020-7-26 10:02

16題

圖片附件: 16.JPG (2020-7-26 10:02, 31.41 KB) / 該附件被下載次數 3658
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5597&k=198f07e1c790d6cf18425fb16742fa3f&t=1732274624

作者: plpl69541 時間: 2020-7-27 12:11

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2020-7-26 10:02 發表
16題

5597

謝謝老師

作者: nanpolend 時間: 2020-8-5 18:21 標題: 回復 13# bugmens 的帖子

填充題五詳解

圖片附件: 15966227987021802148588~2.jpg (2020-8-6 00:00, 1.05 MB) / 該附件被下載次數 3230
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5606&k=fea845bf766f090ab169ef9088a736c9&t=1732274624

作者: nanpolend 時間: 2020-8-6 13:58 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

請教填6.

作者: thepiano 時間: 2020-8-6 15:56 標題: 回復 34# nanpolend 的帖子

填充第 6 題
可看出另一實根為 -1
任兩根之和成等差，表示三根成等差
......

作者: nanpolend 時間: 2020-8-7 14:58 標題: 回復 35# thepiano 的帖子

填充6和8.10
看了還是解不太出來

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2020-8-7 19:39 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2020-8-7 22:29 標題: 回復 36# nanpolend 的帖子

從頭寫出您卡住的地方

作者: nanpolend 時間: 2020-8-7 22:45 標題: 回復 37# thepiano 的帖子

填6卡在x=-1另二根成等差
-1.-1+d.-1+2d如何帶入求a
填8卡在看完圈圈和三角形
類題不知為何C3-1 *C2-1*5=30
填10卡在利用餘弦定理
如何求出線段PS和線段SE

作者: thepiano 時間: 2020-8-8 07:25 標題: 回復 38# nanpolend 的帖子

第6題
\(\begin{align}
& -1+\left( -1+d \right)+\left( -1+2d \right)=a-1 \\
& \left( -1 \right)\left( -1+d \right)\left( -1+2d \right)=-2a-5 \\
\end{align}\)
解聯立

第8題
△→□→□→□→□→□→△

不管幾個 ↑ 填入某個 □ 中都會產生 2 次轉彎
不管幾個 ↑ 填入某個 △ 中都只會產生 1 次轉彎

恰轉 3 次彎的情形： a 個 ↑ 填入 1個 □ 和 (5 - a) 個 ↑ 填入 1 個 △，1 ≦ a ≦ 4

5個 □ 選一個，2 個 △ 選一個，而a 有 1 ~ 4 這四種情形
故 \(C_{1}^{5}\times C_{1}^{2}\times 4=40\)

第 10 題
利用 R 在平面 PEQ 上，求出 R 的坐標
如此就有向量 PR 和向量 EQ，再直接求夾角的餘弦值即可

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-8-8 07:53 編輯 ]

作者: nanpolend 時間: 2020-8-8 15:06 標題: 回復 39# thepiano 的帖子

感謝piano老師

作者: nanpolend 時間: 2020-8-9 23:32 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

請教填充題14

作者: thepiano 時間: 2020-8-10 10:27 標題: 回復 41# nanpolend 的帖子

第14題
\(\begin{align}
& C_{r-2}^{n-2}=C_{r}^{n-2} \\
& r-2=n-2-r \\
& \frac{r}{n}=\frac{1}{2} \\
& ...... \\
\end{align}\)

作者: nanpolend 時間: 2020-8-10 19:01 標題: 回復 42# thepiano 的帖子

感謝指導
展開解得n=1(不合)or n=2r
即r/n=1/2
旋轉矩陣提出半徑2
角度pi/6
利美福定理
30次方=5pi
2^30* [-1 0]* [1/2] = [-2^29]
[ 0 -1] [1/2] [-2^29]

作者: zidanesquall 時間: 2021-3-23 22:43

想請教填充第二部分第15題

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2021-3-24 09:41 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2021-3-23 23:25 標題: 回復 44# zidanesquall 的帖子

應該是第二部分，填充 15.

依不等式作圖，可得一區域，以 (0,1) 為對稱中心，故此區域的形心即為 (0,1)

而此區域的面積為 \( 2\cdot \frac \pi 4 + 1 = \frac \pi 2 +1 \)

由 Pappus 定理，得所求旋轉體體積為 \( (\frac \pi 2 +1) \times 2\pi = \pi^2 + 2\pi \)

作者: zidanesquall 時間: 2021-3-24 09:40 標題: 回復 45# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師，我自己卡旋轉體太久，完全沒想到可以用Pappus Thm，謝謝！

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2021-3-24 23:50 編輯 ]

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