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標題: 109台中一中 [打印本頁]

作者: Almighty 時間: 2020-4-18 01:08 標題: 109台中一中

繼續再努力奮鬥
回憶讓大腦奮戰
題目未照原順序
還有兩題無法了
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感謝 #stu2005131 老師的回覆
感謝 #swallow703 老師的回覆
（學校之後應該也會公告試題）
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weiye 於 109.04.20,13:44 補附上台中一中公告之試題及詳解。
另有官方公告如下：
數學科填充題甲第9題，因「假設 a,b皆為正整數」，經研議後確實無法計算，故本題「不予採計分數，送分」。
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由於學校已經公告官方正式版
將記憶版手稿圖片刪除掉
若老師們可以的話
再把問題的題號改成正確題號
方便以後的老師閱讀方便～謝謝109/04/20,20:30
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含詳解第七題的最後算出來的答案有誤(過程無誤)110/02/26

附件: 109台中一中試題（含詳解）.pdf (2021-2-26 00:46, 710.35 KB) / 該附件被下載次數 11550
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5412&k=7d6226211d80f51e789ce670f858c2ac&t=1732251394

附件: 109台中一中答案.pdf (2020-4-20 13:45, 105.08 KB) / 該附件被下載次數 8872
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5413&k=7608fd2efe6f7d448c9409d4e0497c6f&t=1732251394

附件: [純試題方便下載練習] 109台中一中(試題).pdf (2021-2-25 23:32, 465.38 KB) / 該附件被下載次數 8940
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5774&k=f00a3309def67a2e281d9354eb5507e7&t=1732251394

作者: stu2005131 時間: 2020-4-18 01:42 標題: 回復 1# Almighty 的帖子

第六題應該是求角度的sin值

第九題有a,b為正整數的條件

有一題是給一堆外積的外積&內積組合是7
然後問另外三個向量所圍的平行四面體體積

作者: swallow7103 時間: 2020-4-18 09:38 標題: 回復 1# Almighty 的帖子

還少一題，
(8^x + 27^x) / (12^x +18^x) = 7/6
求 x = ?

作者: czk0622 時間: 2020-4-18 11:00 標題: 回復 1# Almighty 的帖子

15.
設\(\Delta ABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\)，且\(a+b+c=12\)，求\(\displaystyle \frac{a}{b+c-a}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}\)的最小值為　　　。
[解答]
設 \( A=b+c-a,B=a+c-b,C=a+b-c\)，則 \(\displaystyle A+B+C=a+b+c=12,a=\frac{B+C}{2},b=\frac{A+C}{2},c=\frac{A+B}{2}\)
原式 \(\displaystyle =\frac{B+C}{2A}+\frac{2A+2C}{B}+\frac{9A+9B}{2C}=(\frac{B}{2A}+\frac{2A}{B})+(\frac{C}{2A}+\frac{9A}{2C})+(\frac{2C}{B}+\frac{9B}{2C})\)
由算幾不等式知:原式\(\displaystyle \geq 2\sqrt{\frac{B}{2A}\frac{2A}{B}}+2\sqrt{\frac{C}{2A}\frac{9A}{2C}}+2\sqrt{\frac{2C}{B}\frac{9B}{2C}}=2+3+6=11\)
等號成立時 \(A:B:C=1:2:3\)，即 \(a=5,b=4,c=3\)

111.7,4補充
相關問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278

作者: Almighty 時間: 2020-4-18 13:10 標題: 回復 4# czk0622 的帖子

設\(\Delta ABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\)，且\(a+b+c=12\)，求\(\displaystyle \frac{a}{b+c-a}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}\)的最小值為　　　。
[解答]
我是這樣算～(柯西路線)
令\(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}=6\)
\(s-a=x\)、\(s-b=y\)、\(s-c=z\)，\(x+y+z=18-12=6\)
求\(\displaystyle =\frac{1(6-x)}{2x}+\frac{4(6-y)}{2y}+\frac{9(6-z)}{2z}\)
　\(\displaystyle =\frac{1}{2}\left[\left(\frac{6}{x}+\frac{24}{y}+\frac{54}{z}\right)-(1+4+9)\right]\)
　\(\displaystyle \ge \frac{1}{2}(36-14)=11\)

By Cauchy
\(\displaystyle \left(\frac{6}{x}+\frac{24}{y}+\frac{54}{z}\right)(x+y+z)\ge (\sqrt{6}+\sqrt{24}+\sqrt{54})^2\)
\(\displaystyle \frac{6}{x}+\frac{24}{y}+\frac{54}{z}\ge 36\)

作者: 5pn3gp6 時間: 2020-4-18 23:10

9.
已知直線\(L\)：\(6x-5y-28=0\)交橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)(\(a>b>0\),且\(a,b\)皆為正整數)於兩點\(A\)、\(C\)，且\(B(0,b)\)為橢圓\(\Gamma\)的頂點。若\(\Delta ABC\)的重心\(G\)恰為橢圓的右焦點\(F_2(c,0)\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)，則橢圓\(\Gamma\)的正焦弦長為　　　。

橢圓那題應該有誤，a,b不能同時是整數。
不然就是我理解有誤

\(L:6x-5y-28=0,\,y=\frac{6x-28}{5}\)，令橢圓與直線的兩交點為\(\left(\alpha,\frac{6 \alpha-28}{5}\right),\left(\beta,\frac{6 \beta-28}{5}\right)\)
兩交點與\((0,b)\)之重心為\((c,0)\)
　
由y座標：\(b+\frac{6 \alpha-28}{5}+\frac{6 \beta-28}{5}=0\) => \(5b+6\alpha-28+6\beta-28=0\) => \(\alpha+\beta=\frac{56-5b}{6}\) ===(*)
由x座標：\(\frac{0+\alpha+\beta}{3}=c\) ==由(*)==> \(c=\frac{56-5b}{18}\)
所以\(c\)為有理數。又\(a,b\)為正整數，且\(a=\sqrt{b^2+c^2}\)，所以c亦為正整數。
由\(b,c\)為正整數與\(c=\frac{5b+56}{18}\)，可得\(b=4,c=2\)，所以\(a=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}\)。

　
所以正焦弦長為\(\frac{16\sqrt{5}}{5}\)。

但是\(a\)不是整數，與題目設定不合。
　
我用GGB跑了一下也是一樣的結果。
希望不是我理解錯誤。

圖片附件: 20200418_232246 (Custom).jpg (2020-4-18 23:27, 71.06 KB) / 該附件被下載次數 5672
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作者: Almighty 時間: 2020-4-19 01:23 標題: 回復 6# 5pn3gp6 的帖子

我當下是沒印象有整數條件
不過有其他老師提供此資訊
或者等官方版釋出再確認

作者: stu2005131 時間: 2020-4-19 01:32 標題: 回復 7# Almighty 的帖子

我印象蠻深刻的應該是有的
因為我當下算出跟6樓一樣的結論但因為看到要正整數解所以覺得這答案是錯的了

作者: satsuki931000 時間: 2020-4-19 10:13 標題: 回復 7# Almighty 的帖子

確定有這條件
和 5pn3gp6 老師算出一模一樣的結論
但湊不出長軸為正整數的條件

作者: jasonmv6124 時間: 2020-4-19 20:22

想請問第2題.第5題

作者: Almighty 時間: 2020-4-19 20:54 標題: 回復 10# jasonmv6124 的帖子

第2題
設\(P(x)=x^5-x^2+1=0\)的五個根為\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5\)，\(Q(x)=x^2+1\)，則\(Q(\alpha_1)\cdot Q(\alpha_2)\cdot Q(\alpha_3)\cdot Q(\alpha_4)\cdot Q(\alpha_5)=\)　　　。
[解答]
可強迫分解成
(a1+i)(a1-i)......(a5+i)(a5-1)
[(a1+i)(a2+i)...(a5+i)][(a1-i)(a2-i)...(a5-i)]
就可以採用複數分解

第10題
圖是根據題目線索畫出來的
用畢氏定理、中線定理找出藍色、綠色
就可找出夾角

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圖片附件: 6D58EFAA-CDBF-4E74-A017-C74AF2F87DE3.jpeg (2020-4-20 20:37, 1.72 MB) / 該附件被下載次數 4408
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圖片附件: 8A64772E-4764-4106-BD77-5EB01B31C98D.jpeg (2020-4-20 20:37, 1.7 MB) / 該附件被下載次數 4261
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作者: jasonmv6124 時間: 2020-4-19 21:19 標題: 回復 11# Almighty 的帖子

謝謝A大

另外再請問11.16題
13有除了窮舉以外的方法嗎??

作者: zidanesquall 時間: 2020-4-19 22:02 標題: 回復 11# Almighty 的帖子

提供另外一個第五題想法

我第五題到出考場才想到解法...超嘔

利用向量外心性質，可以解出cos(BAC)再轉成sin(BAC)

作者: mathman 時間: 2020-4-19 22:22 標題: 回復 10# jasonmv6124 的帖子

第二題
把\(x^2+1\)寫成\((x-i)(x+i)\)
分成兩組的根與係數分別帶入\(i\)跟\(-i\)計算

第五題
分別對向量AB、向量AC內積可得到\(AB\cdot AC\)與\(AB^2\)、\(AC^2\)的關係式
再用餘弦求解

作者: 5pn3gp6 時間: 2020-4-19 22:31

看來第五題有好多種做法
我也提供一個用了分點公式、餘弦定理、正弦定理的方法

第11題
那個.....更正一下
中間那邊用的是餘弦定理，不是餘式定理
就不改圖了

圖片附件: 5.jpg (2020-4-19 22:31, 70.07 KB) / 該附件被下載次數 4305
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5403&k=1fa0b075d38c9fdba2da1f88170e2cb0&t=1732251394

圖片附件: 11.jpg (2020-4-19 22:31, 44.24 KB) / 該附件被下載次數 4226
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5404&k=1c701d16407636370dcbfff83ae38288&t=1732251394

作者: thepiano 時間: 2020-4-20 09:25 標題: 回復 12# jasonmv6124 的帖子

第16題
\(\begin{align}
  & \cos \left( \alpha +\beta  \right)=\cos \alpha +\cos \beta  \\
& \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha -\cos \beta =0 \\
&  \\
& \cos \beta =x,\sin \beta =y \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \\
& \left( \cos \alpha -1 \right)x-(\sin \alpha )y-\cos \alpha =0 \\
&  \\
& \frac{\left| -\cos \alpha  \right|}{\sqrt{{{\left( \cos \alpha -1 \right)}^{2}}+{{\left[ -(\sin \alpha ) \right]}^{2}}}}\le 1 \\
& \frac{\cos \alpha }{\sqrt{2-2\cos \alpha }}\le 1 \\
& -1\le \cos \alpha \le -1+\sqrt{3} \\
\end{align}\)

作者: mathman 時間: 2020-4-20 10:08 標題: 回復 6# 5pn3gp6 的帖子

https://reurl.cc/Y1e93x

學校已公告本題送分

作者: 5pn3gp6 時間: 2020-4-20 13:19

台中一中給試題了還附有詳解
h ttp://per.tcfsh.tc.edu.tw/zh_tw/top02/022/%E8%87%BA%E4%B8%AD%E5%B8%82%E7%AB%8B%E8%87%BA%E4%B8%AD%E7%AC%AC%E4%B8%80%E9%AB%98%E7%B4%9A%E4%B8%AD%E7%AD%89%E5%AD%B8%E6%A0%A1109%E5%AD%B8%E5%B9%B4%E7%AC%AC1%E6%AC%A1%E6%95%99%E5%B8%AB%E7%94%84%E9%81%B8%E8%A9%A6%E9%A1%8C%E5%8F%8A%E8%A9%B3%E8%A7%A3-%E6%95%B8%E5%AD%B8%E7%A7%91-91791459　連結已失效

作者: royan0837 時間: 2020-4-20 20:06

最低錄取57分

附件: 109台中一中(試題).pdf (2020-4-20 20:06, 465.38 KB) / 該附件被下載次數 5534
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5416&k=468f86f7f66d02c6d6f927f04fb483e7&t=1732251394

作者: jasonmv6124 時間: 2020-4-21 19:37

謝謝大家

作者: anyway13 時間: 2020-9-23 13:11 標題: 請問第14題旋轉體的積分

14.
設\(\Gamma\)是由\(y=2x-x^2\)與\(x\)軸所圍成的平面圖形，直線\(y=kx\)將\(\Gamma\)分成兩部分，若\(\Gamma_1\)與\(\Gamma_2\)的面積分別為\(S_1\)與\(S_2\)，且\(S_1:S_2=1:7\)，求\(\Gamma_1\)繞\(y\)軸旋轉一圈的旋轉體體積為　　　。

版上老師好，第14計算旋轉體的積分，在詳解上的作法是沒問題的。想要請問的是，若是先將拋物線y=2x-x平方的方程式，先找三點作逆時針旋轉90度。（0、0）（1、1）（0.5、0.75）再令拋物線y=Ax平方+Bx+C找到新的拋物線方程式，y=4/3x平方+1/3x,最後再從-1積到0.得到23/135pi,想問為什麼得不到詳解的1/6pi?，

早上來不及放過程,過程如附件,麻煩請老師指點

附件: [附件] 128336.pdf (2020-9-23 18:58, 72.48 KB) / 該附件被下載次數 4807
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5640&k=14120e2e3edfb533bfa188914a78a734&t=1732251394

作者: tsusy 時間: 2020-9-23 19:22 標題: 回復 21# anyway13 的帖子

(1,1) 轉錯了，還有轉完後開口向右，假設方程式的形式也不對

如果兩件事都做對了，應該會發現你做了白工...
因為新的方程式幾乎就長的和原方程式差不多

作者: anyway13 時間: 2020-9-24 01:02 標題: 回復 22# 寸絲的帖子

謝謝寸絲老師。真的（1、1）轉錯，爾且開口應該是右。請問寸絲老師，這時後假設的方程式是否應設為x=Ay平方+By+C過（0,0）.(-1,1).(-0.75,0.5)?

如果旋ˊ轉的角度只有45度，可能一般式就有xy項了。看起來不要轉，直接積最快。
Ps:真是沒是找事。謝謝老師歐

作者: satsuki931000 時間: 2022-1-28 14:31

第七題是否應更正為\(\displaystyle y=\frac{5}{9}x-14\)

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