標題: 2020在楊輝三角形是否只出現2次？ [打印本頁]

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作者: 克勞棣    時間: 2020-1-25 16:00     標題: 2020在楊輝三角形是否只出現2次？

請問2020在楊輝三角形是否只出現2次？
亦即C(n,m)=2020是否只有平凡解(n,m)=(2020,1)=(2020,2019)，共2組解？
因為偶然發現C(64,2)=2016以及C(24,3)=2024，都是靠近今年(2020年)的年份，故好奇有此一問。
易知若滿足C(n,m)=2020，則n至少是101，可是當n這麼大的時候，C(n,m)都跳得很快，似乎不太可能有第3組解？

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作者: Lopez    時間: 2020-1-26 17:57     標題: 回復 1# 克勞棣 的帖子

若 { 1 } 算是楊輝三角形的第1列, 則 { 1 , 1 } 是第2列, { 1 , 2 , 1 } 是第3列.
自三角形頂部往下作中垂線,有以下性質:
(1) 因為 C( n , m ) = C( n , n-m ) , 故此中垂線為對稱軸,左右兩邊與對稱軸等距的數字皆相同.
(2) 若 m 為常數, 定義 f(n) = C( n , m ) , 則 f(n) 為遞增函數.
(3) 若 n 為常數, 定義 g(n) = C( n , m ) , 則 g(n) 在對稱軸左邊為遞增函數,在對稱軸右邊為遞減函數
下表為第100~126列的左邊行摘要,也可看出以上性質.


依據以上性質,考慮以下所有可能 C( n , m ) = 2020 的解:
先考慮對稱軸左邊是否有解,若有解,則由性質(1)可得其對稱解.
( i ) 當 n ≥ 101 且 2 ≤ m ≤ 對稱軸, 由性質(2)與(3)知, C( n , m ) ≥ C( 101 , 2 ) = 5050 > 2020
因此在 n ≥ 101 且 2 ≤ m ≤ 對稱軸 區域, C( n , m ) = 2020 無解.
( ii ) 當 n ≥ 101 且 ( m = 0 或 1 ) , 顯然只有 ( n , m ) = ( 2020, 1 ) 一組解.
再由性質(1)得右邊對稱解 ( n , m ) = ( 2020, 2019 )
總結以上,僅有2組解.

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