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標題: 108高雄市高中聯招 [打印本頁]

作者: min751102 時間: 2019-6-2 11:38 標題: 108高雄市高中聯招

想請問第7.9.13 這三題

附件: 108高雄市高中聯招.pdf (2019-8-11 20:38, 569.84 KB) / 該附件被下載次數 10500
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作者: AshsNutn 時間: 2019-6-2 13:00

第14題是106彰女獨招的題目，數字沒改

作者: Ellipse 時間: 2019-6-2 13:01

#4 (99左營高中) 提示: 利用算幾不等式,[2^0+2^1+..........+2^(n-1)]/ n >= { 2^[(n-1)n/2] } ^(1/n)
#12 (96大甲高中,100香山高中) 答:4/e
#14 (TRML 2005年個人賽 ) 答:√(2/3)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-6-2 13:12 編輯 ]

作者: whatbear 時間: 2019-6-2 13:15 標題: 第7題

想請教各位老師第七題，

\(a_1=1, a_2=0, a_3=3, a_4=1,...\)
數列三個一循環

將n分為三個cases

case 1:n為3的倍數
\(S_n=\frac{n}{3}(1+0+3)=\frac{4}{3}n\)
\(\frac{S_n}{n}\to \frac{4}{3}\quad as \quad n\to \infty\)

case 2:n為3的倍數+1
\(S_n=\frac{n-1}{3}(1+0+3)+1=\frac{4}{3}(n-1)+1\)
\(\frac{S_n}{n}\to \frac{4}{3}\quad as \quad n\to \infty\)

case 3:n為3的倍數+2
\(S_n=\frac{n-2}{3}(1+0+3)+1+0=\frac{4}{3}(n-2)+1\)
\(\frac{S_n}{n}\to \frac{4}{3}\quad as \quad n\to \infty\)

由case 1, 2, 3,
\(\frac{S_n}{n}\to \frac{4}{3}\quad as \quad n\to \infty\)

這樣的想法是否有誤？

作者: Ellipse 時間: 2019-6-2 14:07

引用:

原帖由 min751102 於 2019-6-2 11:38 發表
想請問第7.9.13 這三題
5111

#7
假設直線L與拋物線T:x=y²/8 的交點為A(2a² ,4a) ,B(2b² ,4b) 且a>b
則線段AB中點C(a²+b²,2a+2b) ,令X=a²+b²,Y=,2a+2b -----------(1)
又由L與T所圍區域面積= (1/8)*(4a-4b)^3 / 6 =2/3 ,得a-b =(1/2)^(1/3)-----------(2)
將(2)代入(1)整理X與Y的關係為Y² =8X-4(1/4)^(1/3)

作者: jasonmv6124 時間: 2019-6-2 20:03

想請問5.6-2.11

作者: yi4012 時間: 2019-6-2 20:57 標題: 回復 6# jasonmv6124 的帖子

第六題我是直接令座標
O(0，0，0)A(1，0，0)B(-1/2，根號3/2，0)C(0，0，1)
(1)P在(1/2，0，1/2)
Q為(1-t*根號3，-t，0)
PQ向量=(1/2-T*根號3，-T，-0.5)，OA向量=(1，0，0)
所以T=根號3/6，AB長=2，AQ長=根號3/3，答案是2根號3
(2)OAC在Y=0，ABC在X+Y*根號3+Z=1
法向量為N1=(0，1，0)；N2=(1，根號3，1)
長度為1和根號6
COS值=根號3/根號6=根號2/2

作者: Ellipse 時間: 2019-6-2 21:50

引用:

原帖由 jasonmv6124 於 2019-6-2 20:03 發表
想請問5.6-2.11

#5
α+β=-t ,αβ=s
α²+β² =(α+β)² - 2αβ= t² -2s <2-------(1)
且D=t² -4s>=0-----------(2)
由題意知(1)&(2)即為在x,y坐標平面上由y² -2x<2及y² -4x>=0
所圍區域面積(如下如所示的橘色區域)
所求旋轉體積= π[ ∫ (-1,0) (2x+2)dx + ∫ (0,1) (2x+2 -4x) dx =2π

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作者: thepiano 時間: 2019-6-2 22:22 標題: 回復 6# jasonmv6124 的帖子

第11題
\(\begin{align}
& {{x}^{2}}+1+\sqrt{{{x}^{4}}-8x+8} \\
& =\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2x-0 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}} \\
\end{align}\)
是拋物線\({{y}^{2}}=4x\)上一點\(P\left( {{x}^{2}},2x \right)\)到\(F\left( 1,0 \right)\)和\(A\left( 2,2 \right)\)距離和之最小值
易知\(P\left( 1,2 \right),\overline{PA}+\overline{PF}=3\)

作者: AshsNutn 時間: 2019-6-2 22:56 標題: 回復 9# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師，沒看出是拋物線
此題我用變數變換令\(x^2+1=A>0\)去配方，可以得到\(x=1\)時會有極值

作者: Lopez 時間: 2019-6-3 03:12 標題: 回復 1# min751102 的帖子

作者: thepiano 時間: 2019-6-3 10:30 標題: 回復 10# AshsNutn 的帖子

想欣賞 AshsNutn 老師配方的方法，感謝

作者: AshsNutn 時間: 2019-6-3 10:45

有錯還請指教
謝謝

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作者: Ellipse 時間: 2019-6-3 10:53

引用:

原帖由 AshsNutn 於 2019-6-3 10:45 發表
有錯還請指教
謝謝

需證明當x=1,y有最小值

作者: AshsNutn 時間: 2019-6-3 10:57

引用:

原帖由 Ellipse 於 2019-6-3 10:53 發表

需證明當x=1,y有最小值

謝謝指教，看來還不夠完整，感謝！

作者: jasonmv6124 時間: 2019-6-3 13:01

謝謝以上老師回復

作者: q1214951 時間: 2019-6-3 21:04

想請問10題，感謝！

作者: yi4012 時間: 2019-6-3 22:11 標題: 回復 17# q1214951 的帖子

第10題是積分
把根號n放進連加裡面就變成
x=0->x=1，根號x的積分
答案是2/3

作者: Ellipse 時間: 2019-6-3 22:16

引用:

原帖由 yi4012 於 2019-6-3 22:11 發表
第10題是積分
把根號n放進連加裡面就變成
x=0->x=1，根號x的積分
答案是2/3

會有問題喔～根號內是2k-1的形式
應該是求 ∫ (0,2) √x dx - ∫ (0,1) √(2x) dx=(2/3)√2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-6-3 22:20 編輯 ]

作者: satsuki931000 時間: 2019-6-4 08:11

想對下其他題的答案

1. \(12\sqrt{3}-\frac{25}{2}\)
2.5/96
3.132
8.1/6

有錯還請指教謝謝

PS 感謝鋼琴老師指正第一.二題

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2019-6-4 11:19 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2019-6-4 08:42 標題: 回復 20# satsuki931000 的帖子

第1題
答案應是\(12\sqrt{3}-\frac{25}{2}\)

作者: Uukuokuo 時間: 2019-6-4 09:01

想請問第4題

作者: satsuki931000 時間: 2019-6-4 09:10 標題: 回復 22# Uukuokuo 的帖子

三樓橢圓老師已解答

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2019-6-4 09:33 編輯 ]

圖片附件: 62320824_675702162888891_5456257394059247616_n.jpg (2019-6-4 09:33, 182.25 KB) / 該附件被下載次數 4674
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作者: satsuki931000 時間: 2019-6-4 09:25 標題: 回復 21# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師指正
眼殘物看成整個絕對值在範圍都是負

不曉得另外幾題的答案和您是否相同

作者: yi4012 時間: 2019-6-4 09:40 標題: 第12題

原式=e^【極值1/n*singma(k=n+1~2n) ln (k/n)】
只看指數會發現是積分
x=1~2，lnx的積分
這個比較難看出來，要用(xlnx)'=lnx+1
所以積分為xlnx-x，x=2和x=1帶入相減
指數部分為ln4-1
e^(ln4)/e=4/e
lnx的積分真的不好想呢

作者: Almighty 時間: 2019-6-4 10:14

ln(x)的積分要用integral by part

作者: thepiano 時間: 2019-6-4 10:45 標題: 回復 24# satsuki931000 的帖子

第 2 題
應是 5/96

其餘兩題，小弟的答案與您相同

作者: satsuki931000 時間: 2019-6-4 11:18

引用:

原帖由 thepiano 於 2019-6-4 10:45 發表
第 2 題
應是 5/96

其餘兩題，小弟的答案與您相同

小弟計算錯誤
再次感謝鋼琴老師

作者: Uukuokuo 時間: 2019-6-4 11:59 標題: 回復 23# satsuki931000 的帖子

謝謝您

作者: Uukuokuo 時間: 2019-6-4 13:03 標題: 回復 7# yi4012 的帖子

AB長好像是根號3

作者: jasonmv6124 時間: 2019-6-4 16:25 標題: 回復 19# Ellipse 的帖子

老師可以請問你是怎麼寫的嗎?

作者: satsuki931000 時間: 2019-6-4 17:24

引用:

原帖由 jasonmv6124 於 2019-6-4 16:25 發表
老師可以請問你是怎麼寫的嗎?

還請容我代答

請參考圖片

圖片附件: 61827853.jpg (2019-6-6 13:35, 129.87 KB) / 該附件被下載次數 4433
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作者: jasonmv6124 時間: 2019-6-4 17:33 標題: 回復 32# satsuki931000 的帖子

感謝你
我有看到101高雄聯招
不知道能不能將根號內的分母變成2n
再將每一個看成組中點來做呢?

作者: zidanesquall 時間: 2019-6-4 22:13 標題: 回復 25# yi4012 的帖子

不好意思，可以請問12題詳細的方法嗎？

考試當下只有把原式寫成\( \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} [(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n}) \times \cdots \times (1+1)]^{\frac{1}{n}} \)
就沒有頭緒了...

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2019-6-4 22:17 編輯 ]

作者: jasonmv6124 時間: 2019-6-4 22:46 標題: 回復 34# zidanesquall 的帖子

橢圓老師在3#有說這題是考古題喔
#12 (96大甲高中,100香山高中) 答:4/e

作者: son249 時間: 2019-6-5 12:57 標題: 請教第2題

作者: satsuki931000 時間: 2019-6-5 16:54 標題: 回復 36# son249 的帖子

先分析一下3分鐘後會變成6隻細菌的可能性
死亡機率1/6 維持機率1/3 增值機率1/2

(1)一開始一隻，增值變兩隻，再增值變四隻，最後為一隻死亡，剩下三隻增值
(2)一開始一隻，增值變兩隻，其中一隻維持剩下一隻增值，最後為全部增值
(3)一開始一隻，增值變兩隻，再增值變四隻，最後為兩隻維持，兩隻增值

(1)的情形其機率為1/2*(1/2)^2 *C(4，1)1/6*1/8=1/96
(2)的情形其機率為1/2*C(2，1)*1/3*1/2*1/8=1/48
(3)的情形其機率為1/2*(1/2)^2* C(4，2)*(1/2)^2 *(1/3)^2=1/48

總合為5/96

作者: yi4012 時間: 2019-6-5 16:57 標題: 回復 36# son249 的帖子

分裂成2個機率為1/2，不變為1/3，死亡為1/6
第一次一定分裂成兩個，因為要是不變，2^2=4<6
再者考慮2個變成6個經過2分鐘
第二分鐘時，至少3個才會變成6個
所以可能2個都分裂或是一個分裂一個不變
CASE1：
變成3個P=2*1/2*1/3=1/3
要變成6個必定全部分裂=1/8
機率為1/24
CASE2：
變成4個P=1/4
考慮變成2個有A個，不變B個，死亡C個
2A+B=6，A+B+C=4
(A，B，C)=(3，0，1)或是(2，2，0)
P=C(4，3)*1/2^3*1/6+C(4，2)*1/2^2*1/3^2=1/4
機率為1/16
所以1/2*(1/24+1/16)=5/96
考慮種類不多，但計算滿複雜的

作者: z78569 時間: 2019-6-6 10:58 標題: 回復 9# thepiano 的帖子

請教鋼琴老師，為何知道（1，2）是最小值

作者: zanlinphon 時間: 2019-6-6 11:14 標題: 回復 20# satsuki931000 的帖子

1. 12√3−25/2
2.5/96
3.132
5. 2pi
6. (1) 3
(2) √15 / 5
7. 4/3
8.1/6
9. 8 ; 64
10. 2√2 / 3
11. 3
12. 4/e
13. y^2=8x - (16)^1/3
14. √6 /3
若有誤請指正

[ 本帖最後由 zanlinphon 於 2019-6-6 15:58 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2019-6-6 13:46 標題: 回復 40# zanlinphon 的帖子

第 6（2）題
應是 √15 / 5

第 7 題
應是 4/3

作者: jasonmv6124 時間: 2019-6-6 17:36

有老師提供第7題的另解

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作者: zanlinphon 時間: 2019-6-6 17:43

提供幾種解法，不知道這樣寫會不會比較不會被扣分

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作者: thepiano 時間: 2019-6-6 21:50 標題: 回復 39# z78569 的帖子

PA + PF = PA + P 到 x = -1 的距離
畫圖即知 P(1，2）時有最小值

作者: anyway13 時間: 2019-8-11 19:16 標題: 請教第8題

請問版上老師,第八題算不出1/6,是不是我哪裡做錯了

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作者: weiye 時間: 2019-8-11 22:53 標題: 回復 45# anyway13 的帖子

第八題，

答案 \(\displaystyle \frac{1}{6}\) 是把題目的「 \(a_1, a_2. a_3, a_4. a_5\) 為 \(1,2,3,4,5\) 的排列」

這句話解讀成

「把 \(1,2,3,4,5\) 五個數字的位置重新任意排列再對應到 \(a_1, a_2. a_3, a_4. a_5\)，每個數字都僅使用一次。」

而你的做法是把題目解讀成「可重複排列」，也就是 \(a_1, a_2. a_3, a_4. a_5 \in \left\{1,2,3,4,5\right\}\)。

所以兩者解讀不同。

作者: anyway13 時間: 2019-8-12 00:30 標題: 回復 46# weiye 的帖子

謝謝 weiye老師的解惑

作者: nanpolend 時間: 2020-5-12 15:01 標題: 回復 1# min751102 的帖子

第3題一路領先考古題
鴨子先一隻下水
解法C11-6 -C11-7=132

作者: nanpolend 時間: 2020-5-13 14:51 標題: 回復 1# min751102 的帖子

請教第8題

作者: whatbear 時間: 2020-5-13 16:54 標題: 回復 49# nanpolend 的帖子

建立在\(a_4, a_5\)為偶數下，
前三項為1、3、5排列
後兩項為2、4排列
因此 \(P(a_1>a_2<a_3且a_4<a_5)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\)

作者: nanpolend 時間: 2020-5-13 21:47 標題: 回復 1# min751102 的帖子

補第12題過程

圖片附件: 15893775843251119467311.jpg (2020-5-13 21:47, 3.45 MB) / 該附件被下載次數 3860
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5457&k=41674f485942329b21be0a92962398af&t=1732285148

作者: nanpolend 時間: 2020-5-13 21:48 標題: 回復 1# min751102 的帖子

感謝各位老師整份練習過

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