標題: 108桃園高中職聯招 [打印本頁]

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作者: Superconan    時間: 2019-5-25 13:11     標題: 108桃園高中職聯招

如附件

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作者: Superconan    時間: 2019-5-25 13:21

請問填充 2、6、7、11、12、13、14

[ 本帖最後由 Superconan 於 2019-5-25 13:23 編輯 ]

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作者: Lopez    時間: 2019-5-25 13:53     標題: 回復 2# Superconan 的帖子

填充 2
5a + 3b + 5c = 4a + 5b + 4c
a + c = 2b

d = 3b + 5( a + c ) = 3b + 5*2b = 13b

131 < 13b < 150
b = 11

a + b + c + d = ( a + c ) + b + d = 2b + b + 13b = 16b = 16*11 = 176

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作者: czk0622    時間: 2019-5-25 15:08     標題: 回復 2# Superconan 的帖子

填充6
\(a,a,b \) 的最小角為 \(a,a\) 的夾角(因為 \(b\) 為最小邊)
\(a,b,b\) 的最小角為 \(a,b\) 的夾角(因為 \(b\) 為最小邊)
由餘弦定理及最小角相等知
\(\begin{align}
& \frac{2a^{2}-b^{2}}{2a^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}-b^{2}}{2ab} \\
& \left(\frac{a}{b}\right)^{3}-2\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+1=0 \\
& \left[\left(\frac{a}{b}\right)-1\right]\left[\left(\frac{a}{b}\right)^{2}-\left(\frac{a}{b}\right)-1\right]=0 \\
\end{align}\)
因為 \(a>b>0\)，所以 \(\begin{align} \frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{align}\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-25 15:12 編輯 ]

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作者: czk0622    時間: 2019-5-25 15:35     標題: 回復 2# Superconan 的帖子

填充7
\(f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)\)，得 \(f(0)=0\)
設 \(f(1)=n\)，其中 \(n\) 為非負整數
由 \(f(m+n)=f(m)+f(n) \) 可知 \(f(n)=n\times f(1)=n^{2}\)
由條件知 \(f(f(1))+f(f(0))=1+0=1\)
由計算知 \(f(f(1))+f(f(0))=f(n)+f(0)=f(n)+0=f(n)\)
因此 \(n^{2}=f(n)=1\)，即得 \(n=1\)
所以 \(f(1)=1\)，即 \( \forall k\)，\(f(k)=k\)
所求 \(f^{-1}(2019)+108=2019+108=2127\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-25 15:40 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2019-5-25 15:56     標題: 回復 2# Superconan 的帖子

第 11 題
分子和分母分別通分後約分，可得 a = 12b
剩下的就簡單了

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作者: Almighty    時間: 2019-5-25 16:14     標題: 回復 2# Superconan 的帖子

12. 用正弦面積各別找小三角形與大三角的比例
再利用題目提供的條件解出
（p:q令作x:1，然後就解x就好）
13.用假設P點，搭配向量Q1P 與Q2P
得知Q1、Q2點代入直線解P點座標

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-5-25 18:00 編輯 ]

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作者: czk0622    時間: 2019-5-25 17:03     標題: 回復 2# Superconan 的帖子

填充13
向量\(Q_{1}P+\)向量\(PQ_{2}=\)向量\(Q_{1}Q_{2}=(-4,2,2)\)
設 \(Q_{1}(t,2t,3t)\)、\(Q_{2}(-2-s,6-2s,4+s)\)，向量\(Q_{1}Q_{2}=(-2-s-t,6-2s-2t,4+s-3t)=(-4,2,2)\)
因此\(\left\{ \begin{align}
& s+t=2 \\
& s-3t=-2 \\
\end{align} \right.\) 得 \((s,t)=(1,1)\)，\(P=Q_{1}+\)向量\(Q_{1}P=(-1,0,4)\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-25 17:07 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2019-5-25 17:51     標題: 回復 2# Superconan 的帖子

第 14 題
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3037

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作者: Almighty    時間: 2019-5-25 18:00     標題: 14題

想問14題的作法哪裡有誤
(還是說要檢驗不等式的等號成立
當下直覺這樣，感覺很順
時間壓力下也沒多懷疑了

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-5-25 18:02 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2019-5-25 18:26     標題: 回復 10# Almighty 的帖子

由於 AC 和 BD 垂直，需滿足\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}}\)

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作者: Superconan    時間: 2019-5-25 18:57

謝謝各位老師，想再請問填充 5

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作者: jasonmv6124    時間: 2019-5-25 19:06     標題: 回復 12# Superconan 的帖子

利用橢圓切線的公式
可以快速找出切線 再判斷兩個切線誰距離較遠
最後帶入求切點即可

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作者: jackyxul4    時間: 2019-5-25 20:19     標題: 回復 13# jasonmv6124 的帖子

不用那麼麻煩，底邊固定，三角形面積看高就好
橢圓參數式代入求距離，找距離最大值的點就是了

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作者: Superconan    時間: 2019-5-25 20:33     標題: 回復 7# Almighty 的帖子

第 12 題
還是不知道怎麼下手，可以再解釋細一點嗎？

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作者: Almighty    時間: 2019-5-25 20:47     標題: 回復 15# Superconan 的帖子

詳情如圖

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-5-25 20:50 編輯 ]

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作者: Superconan    時間: 2019-5-25 21:02     標題: 回復 16# Almighty 的帖子

原來如此！謝謝！

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作者: jasonmv6124    時間: 2019-5-25 22:42     標題: 回復 14# jackyxul4 的帖子

謝謝老師 剛剛嘗試了一次 速度快非常多

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作者: Ellipse    時間: 2019-5-26 00:52

#14提供幾何想法:
存在P,Q,R,S四點在圓x²+y²=36上,使得PR=PO+OR=AB+CD=12,QO=OS=13/2,QO=BC,OS=AD(BC+AD=13),
且四邊形PQRS為正方形,此時四邊形ABCD最大的面積=正方形PQRS面積/2 =12*12/4=36

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-26 10:20 編輯 ]

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作者: q1214951    時間: 2019-5-27 11:34     標題: 回復 19# Ellipse 的帖子

想請教 Ellipse老師，大圓x²+y²=36是怎麼做出來的？
謝謝老師！

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作者: Uukuokuo    時間: 2019-5-27 13:12     標題: 回復 5# czk0622 的帖子

由 f(m+n)=f(m)+f(n) 可知 f(n)=nf(1)=n2
題目是相加，但是您做法是相乘??
為何而解??

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作者: yi4012    時間: 2019-5-27 14:16     標題: 回復 21# Uukuokuo 的帖子

我自己的想法：
f(n)=f(n-1+1)=f(n-1)+f(1)=f(n-2+1)+f(1)=f(n-2)+2f(1)=.......=nf(1)
若f(1)=k(k>=0)((個人覺得常數比較適合))
則f(n)=nk
f(mk)+f(nk)=mk^2+nk^2=(m+n)k^2=m+n
所以k=1
得到f(x)=x
反函數f-1(x)=x
答案為2019+108=2127

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作者: 小姑姑    時間: 2019-5-27 19:25     標題: 請教填充第10、計算1

請教填充第10、計算1

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作者: czk0622    時間: 2019-5-27 19:52     標題: 回復 21# Uukuokuo 的帖子

如同yi4012老師所證
\(f(n)=f(n-1+1)=f(n-1)+f(1)=f(n-2+1)+f(1)=f(n-2)+2f(1)=.......=nf(1)\)

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作者: thepiano    時間: 2019-5-27 19:54     標題: 回復 23# 小姑姑 的帖子

第10題
作\(\overline{AH}\)垂直\(\overline{BC}\)於\(H\)
令\(\overline{BC}=x,\overline{AH}=y,\overline{DE}=a\)
\(\begin{align}
  & \frac{y-a}{y}=\frac{a}{x} \\
& y=\frac{ax}{x-a} \\
& \Delta ABC=\frac{xy}{2}=\frac{a{{x}^{2}}}{2x-2a} \\
\end{align}\)
微分可知\(x=2a\)時，有最小值\(2{{a}^{2}}\)

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作者: czk0622    時間: 2019-5-27 19:57     標題: 回復 23# 小姑姑 的帖子

計算1
設 \(A=
\left[ \begin{array}
\ x^{2}_{1}&x_{1}&1\\
x^{2}_{2}&x_{2}&1\\
x^{2}_{3}&x_{3}&1
\end{array}
\right]\)，則 \( \det(A)=-(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})(x_{3}-x_{1})\neq 0\)
取  \(\left[ \begin{array}
\ a\\
b\\
c
\end{array} \right]=A^{-1}\left[ \begin{array}
\ y_{1}\\
y_{2}\\
y_{3}
\end{array} \right]\) 即可，因為 \(A\left[ \begin{array}
\ a\\
b\\
c
\end{array} \right]=\left[ \begin{array}
\ y_{1}\\
y_{2}\\
y_{3}
\end{array} \right]\) 的 \(\left[ \begin{array}
\ a\\
b\\
c
\end{array} \right]\) 有唯一解

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-27 20:18 編輯 ]

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作者: Ellipse    時間: 2019-5-27 20:29

引用:

原帖由 q1214951 於 2019-5-27 11:34 發表
想請教 Ellipse老師，大圓x²+y²=36是怎麼做出來的？
謝謝老師！

PR<=PO+OR=AB+CD=12--------(1)
由對稱性可知四邊形PQRS為矩形
又矩形PQRS面積為(1/2)PR*SQ*sinθ (其中θ為PR與SQ的銳角夾角)---------(2)
由(1)&(2)可知當PR=SQ=12,θ=90度 ,此時PQRS為正方形有最大值
(P,Q,R,S四點在x^2+y^2=6^2的圓上)
所求ABCD面積最大值=(正方形PQRS面積)/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-27 20:33 編輯 ]

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作者: satsuki931000    時間: 2019-5-27 21:05

計算第三題
已知座標平面上點\(A(0,3)\)和\(B(0,4)\)，試求\(x\)軸上的一點\(C(x,0)(x>0)\)使得\(\angle ACB\)最大。
[解答]
法一:直接假設X軸上的點(a，0)，用tan直接硬算

法二:即最大視角問題
考慮圓通過(0，3) (0，4)且與x軸相切
設圓心O為(a，\(\frac{7}{2}\) )
與x軸相切，所以半徑為\(\frac{7}{2}\)
假設圓方程式後代入(0，3)解得 \(a=2\sqrt{3}\)
故與X軸切於(\(2\sqrt{3}\) ，0)

113.5.7補充
最大視角相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=978&page=1#pid2307

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作者: Ellipse    時間: 2019-5-27 21:38

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2019-5-27 21:05 發表
計算第三題
法一:直接假設X軸上的點(a，0)，用tan直接硬算

法二:即最大視角問題
考慮圓通過(0，3) (0，4)且與x軸相切
設圓心O為(a，\(\frac{7}{2}\) )
與x軸相切，所以半徑為\(\frac{7}{2}\)
假設圓方程式後代入(0，3)解得 \(a=2\ ...

法一用tan算的話,要求a/(a²+12)最大值
可用下列方法來做 (1)微分法 (2)判別式 (3)算幾不等式   
(4)三角代換: 令a=√12*tanθ,代入整理原式= [1/ (2√12)] sin(2θ)
   當sin(2θ)=1時,角ACB有最大值.....

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-27 22:04 編輯 ]

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作者: tin10122001    時間: 2019-5-28 10:32     標題: 回復 6# thepiano 的帖子

請問知道a=12b後接下的式子怎麼寫？
a+2b+c=14b+c<=45
a.b.c都是正整數，
請問除了（12，1，31）（24，2，19）（36，3，6）
還有哪些解？

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作者: czk0622    時間: 2019-5-28 10:39     標題: 回復 30# tin10122001 的帖子

\(14b+c \leq 45\)
若 \(b=1\)，則 \(a=12\)，\(c=1\sim 31\)
若 \(b=2\)，則 \(a=24\)，\(c=1\sim 17\)
若 \(b=3\)，則 \(a=36\)，\(c=1\sim 3\)
共 \(31+17+3=51\) 組

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-28 10:42 編輯 ]

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作者: satsuki931000    時間: 2019-5-28 14:05     標題: 回復 29# Ellipse 的帖子

我當初就是微分硬算的

過了幾個鐘頭才想到這好像就是最大視角問題
重新算了一次也是得到正確答案

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作者: Ellipse    時間: 2019-5-28 15:27

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2019-5-28 14:05 發表
我當初就是微分硬算的

過了幾個鐘頭才想到這好像就是最大視角問題
重新算了一次也是得到正確答案

考試當下只能選擇最直覺的方法

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作者: yi4012    時間: 2019-5-28 16:27     標題: 回復 33# Ellipse 的帖子

計算第三題：
我是用tan的插角公式，令角ACB=Z，角AOC=Y
tanz=tan(z+y-y)=[tan(z+y)-tany]/[1-tany*tan(z+y)]
=(4/x-3/x)/(1-3/x*4/x)=x/(x^2-12)
利用微分等於0，求出x=2根號3

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作者: 小姑姑    時間: 2019-5-28 19:08     標題: 回復 30# tin10122001 的帖子

14b+c<=45
由b為正整數去列舉
b=1, a=12, c=1~31, 有31組
b=2, a=24, c=1~17, 有17組
b=3, a=36, c=1~3, 有3組
故共有31+17+3=51組

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作者: cefepime    時間: 2019-5-30 23:56

第 10 題

設 BC 長 = x，BC 上的高 = y，正方形 DEFG 邊長 = a

則由 △ADG ~ △ABC

⇒ a /x + a /y = 1

現欲求 xy /2 的最小值，可由算幾不等式得出。

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作者: lyingheart    時間: 2019-5-31 11:41

第10題
把三角形ADG、BDE、CGF往正方形折過去
如果A在正方形內部，會有重疊部分
如果A在正方形外部，會有多出來的部分
只有A在EF上，會跟正方形重合，所以此種情形面積會最小，且為正方形的兩倍。

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作者: cefepime    時間: 2019-5-31 21:08     標題: 回復 37# lyingheart 的帖子

傳說中的"無言證明"，太神妙了!

由此易知，DEFG 只要是"矩形"，所求的最小面積皆為 DEFG 的兩倍。

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作者: zanlinphon    時間: 2019-6-2 06:59

最後錄取分數77分。326取11. 存參

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