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標題: 108中正預校國中部 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2019-5-6 14:14 標題: 108中正預校國中部

如附件

附件: 108數學科試題樣卷.pdf (2019-5-6 14:14, 608.89 KB) / 該附件被下載次數 9360
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5015&k=3f1f5adaa802bc8f0ae2c05c963cad24&t=1714035245

附件: 108數學科答案.pdf (2019-5-6 14:14, 147.52 KB) / 該附件被下載次數 8616
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5016&k=e73777e71e80069aa2cbef4d924d6b9d&t=1714035245

作者: bugmens 時間: 2019-5-6 18:46

單選題
2.
大鋒與小旭競選預校中正青年，已知投票箱中有8張票投給大鋒，有5張票投給小旭，且開票過程中，大鋒的票數一直領先小旭的票數，試問滿足此狀況的方法數有幾種?
(1)42　(2)90　(3)132　(4)165　(5)297
http://www.sec.ntnu.edu.tw/month ... 8-206-04(25-29).pdf

A.
設\(\displaystyle P=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}+\ldots+\frac{1}{2019\times 2020}\)，
\(\displaystyle Q=\frac{1}{1011\times 2020}+\frac{1}{1012\times 2019}+\frac{1}{1013\times 2018}+\ldots+\frac{1}{2020\times 1011}\)，
求\(\displaystyle \frac{P}{Q}=\)　　　。(化簡成最簡分數)

兩正數\( \displaystyle a=\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{5 \times 6}+...+\frac{1}{2003 \times 2004} \)
\( \displaystyle b=\frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+\frac{1}{1005 \times 2002}+...+\frac{1}{2004 \times 1003} \)
則\( \displaystyle \frac{a}{b}= \)？(請化為最簡分數)
[出處，93高中數學能力競賽　第二區筆試二試題]
(99彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948&page=1#pid2128)

D.
\(f(x)\)為實係數函數，已知所有實數\(x\)滿足\(\displaystyle f(x+2)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)，若\(f(1)=2-\sqrt{3}\)，則\(f(2019)=\)　　　。

設\(x\)是整數，函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x+2)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)。已知\(f(1)=3\)，\(f(2)=5\)，求\(f(2021)+f(2022)+f(2023)+f(2024)\)之值為何？
(105高中數學能力競賽　南區(台南區)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2608-1-1.html)

G.
令\(\displaystyle S=\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\ldots+\frac{8}{6!+7!+8!}=\frac{p}{q}\)，其中\(p,q\)互質，若\(p+q\)為五位數，則此五位數的五個數字總和為　　　。
[提示]
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3113&page=1#pid19563

J.
若\(f(x)=\sqrt{x^4-5x^2+9}+\sqrt{x^4-5x^2-10x+34}\)，當\(x=k\)時，有最小值\(m\)，\(k^2m=\)　　　。
[提示]
\(\sqrt{(x-0)^2+(x^2-3)^2}+\sqrt{(x-5)^2+(x^2-3)}\)

求函數\(f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20}\)的最小值？
(95台中高農，96彰師附工，97文華高中，88全國高中數學競賽臺北市)

P.
\(a,b,c\)皆為實數，若\(a+b+c=3\)，則\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\)之最小值為　　　。

\(a,b,c\)為正實數，且\(a+b+c=1\)，求\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\)之最小值
(新高中數學101 P357)
(我的教甄準備之路　a+b=1求極值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079)

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-6 21:45

填充M數字是否出錯?
邊長比為15:6:5
令三邊分別15t，6t，5t
S=13t與15t相減得負數

後記:把中線錯看成高.................

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2019-5-7 07:22 編輯 ]

作者: bettytsai 時間: 2019-5-6 22:19

填充R，我算出n=20跟n=40，20+40=60，
但答案給120，不知道是不是哪裡弄錯了。

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-6 22:45 標題: 回復 4# bettytsai 的帖子

A為15度之旋轉矩陣
24次方轉回I
故2n=24 48 72 96
得n=12 24 36 48
總計120

作者: thepiano 時間: 2019-5-6 22:46 標題: 回復 3# satsuki931000 的帖子

填充題 M
這題不用算出三邊長
硬要算的話，三邊長是 2√22、2√55、2√118
題目無問題

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-6 23:01 標題: 回復 6# thepiano 的帖子

算出來了感謝鋼琴老師

作者: bettytsai 時間: 2019-5-6 23:22 標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

謝謝你！有算出來了！
剛剛發現自己沒看清楚題目，沒發現後面那個旋轉矩陣的cos跟sin的位置互換了...

作者: Ellipse 時間: 2019-5-6 23:26

引用:

原帖由 Superconan 於 2019-5-6 14:14 發表
如附件

A: 類似97年彰化聯招 #4
O: 類似103全國聯招單選2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-6 23:36 編輯 ]

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-7 13:04

想問選擇6 8
填充DEKLN

問題有點多抱歉

作者: thepiano 時間: 2019-5-7 13:42 標題: 回復 10# satsuki931000 的帖子

選擇第6題
作\(\overline{AM}\)垂直\(\overline{PQ}\)於\(M\)；作\(\overline{RN}\)垂直\(\overline{AM}\)於\(N\)
\(\begin{align}
& \overline{AR}=2,\overline{MR}=\frac{1}{\sqrt{2}},\overline{AM}=\frac{3}{\sqrt{2}} \\
& \overline{AN}=x,\overline{MN}=\frac{3}{\sqrt{2}}-x \\
& \overline{RN}={{2}^{2}}-{{x}^{2}}={{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{3}{\sqrt{2}}-x \right)}^{2}} \\
& x=\frac{4}{3}\sqrt{2} \\
& \overline{RN}=\frac{2}{3} \\
\end{align}\)

作者: thepiano 時間: 2019-5-7 13:59 標題: 回復 10# satsuki931000 的帖子

填充第D題
\(\begin{align}
& f\left( x+2 \right)=\frac{1+f\left( x \right)}{1-f\left( x \right)} \\
& f\left( x+4 \right)=\frac{1+f\left( x+2 \right)}{1-f\left( x+2 \right)}=\frac{1+\frac{1+f\left( x \right)}{1-f\left( x \right)}}{1-\frac{1+f\left( x \right)}{1-f\left( x \right)}}=\frac{1}{-f\left( x \right)} \\
& f\left( x+6 \right)=\frac{1+f\left( x+4 \right)}{1-f\left( x+4 \right)}=\frac{1+\frac{1}{-f\left( x \right)}}{1-\frac{1}{-f\left( x \right)}}=\frac{f\left( x \right)-1}{f\left( x \right)+1} \\
& f\left( x+8 \right)=\frac{1+f\left( x+6 \right)}{1-f\left( x+6 \right)}=\frac{1+\frac{f\left( x \right)-1}{f\left( x \right)+1}}{1-\frac{f\left( x \right)-1}{f\left( x \right)+1}}=f\left( x \right) \\
\end{align}\)
剩下的就簡單了

作者: thepiano 時間: 2019-5-7 14:45 標題: 回復 10# satsuki931000 的帖子

填充第E題
\(\begin{align}
& \sin x+\cos x=t \\
& -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} \\
& \left| \sin x+\cos x+\tan x+\cot x+\sec x+\csc x \right| \\
& =\left| \sin x+\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin x} \right| \\
& =\left| \sin x+\cos x+\frac{1+\sin x+\cos x}{\sin x\cos x} \right| \\
& =\left| t+\frac{1+t}{\frac{{{t}^{2}}-1}{2}} \right| \\
& =\left| t+\frac{2}{t-1} \right| \\
\end{align}\)

微分可知
\(\begin{align}
& t+\frac{2}{t-1}\ge 1+2\sqrt{2}\ or\ t\le 1-2\sqrt{2} \\
& \left| t+\frac{2}{t-1} \right|\ge 2\sqrt{2}-1 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-5-23 15:31 編輯 ]

作者: empty 時間: 2019-5-7 14:50 標題: 回復 10# satsuki931000 的帖子

K
把正四面體展開
圖片中，紅色直線長即為所求。
可以自己摺一個，比較具體。

圖片附件: 85396E9F-23E9-41B8-9723-1880231FBEA0.jpeg (2019-5-7 14:50, 533.6 KB) / 該附件被下載次數 3109
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5019&k=be69c62a7fe35779ae6961876f2ebb7c&t=1714035245

作者: thepiano 時間: 2019-5-7 15:08 標題: 回復 10# satsuki931000 的帖子

選擇第8題
\(\begin{align}
  & {{M}_{900}}=1 \\
&  \\
& 0={{a}_{1}}={{a}_{2}}=\cdots ={{a}_{898}}\le {{a}_{899}}\le {{a}_{900}} \\
& 1={{a}_{899}}^{2}+{{a}_{900}}^{2}\ge 2{{a}_{899}}^{2} \\
& {{a}_{899}}\le \frac{1}{\sqrt{2}},{{M}_{899}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\
&  \\
& \sum\limits_{n=1}^{900}{{{M}_{n}}}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{900}} \\
\end{align}\)
剩下的就老梗題了

作者: q1214951 時間: 2019-5-7 17:05 標題: 想請教填充A

想請教填充A，謝謝老師！

作者: roger0315 時間: 2019-5-7 19:52 標題: 回復 16# q1214951 的帖子

填充A應該是這樣~
不過怕有地方寫錯

圖片附件: 1E2D9EEA-0C48-4E94-B899-EE04850529B2.jpeg (2019-5-7 19:52, 615.87 KB) / 該附件被下載次數 3073
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5020&k=d63abe8b98d4e772dc4c1b28795fbf82&t=1714035245

作者: q1214951 時間: 2019-5-7 20:47 標題: 回復 17# roger0315 的帖子

謝謝 roger0315 老師！

作者: q1214951 時間: 2019-5-7 22:02 標題: 填充L

附圖為我的想法，請參考指教！

圖片附件: BA063CAD-0A96-4CD0-92B1-95421BE5B90C.jpeg (2019-5-7 22:02, 692.07 KB) / 該附件被下載次數 3136
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5021&k=d496fb875fbef747a37fff231d02c212&t=1714035245

作者: q1214951 時間: 2019-5-7 23:02

想請教填充M跟P，謝謝老師！

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-8 07:37

淺見還請不吝賜教

圖片附件: 76CF6F33-8C8E-4A7B-8080-E6130F9504C2.png (2019-5-8 07:37, 189.23 KB) / 該附件被下載次數 3663
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5022&k=af636816cd1a52943d214014ed66d7e8&t=1714035245

圖片附件: C758CF31-143D-49BA-A096-84E80CB58C24.png (2019-5-8 07:37, 237.45 KB) / 該附件被下載次數 3663
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5023&k=8532088b3d94f53fcbe2cdedaabcb1c9&t=1714035245

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-8 07:49 標題: 回復 19# q1214951 的帖子

這想法好猛
看出143可以分成79+64這邊實在佩服

作者: q1214951 時間: 2019-5-8 08:42 標題: 回復 21# satsuki931000 的帖子

感謝satsuki931000老師！
不好意思，想再請問一下為什麼所求是1/9ABC？

作者: q1214951 時間: 2019-5-8 08:45

填充N
附圖為我的參考算法，請參考指教！

圖片附件: 3E4DF9A9-7A56-428A-AD58-A5BB07986AA6.jpeg (2019-5-8 08:45, 184.17 KB) / 該附件被下載次數 2707
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5024&k=2e15430d8b4c53a6bd14500f151c9ac0&t=1714035245

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-8 08:59

理由在這
事實上這題99雄中有考過XD
剛好有把結論記下

圖片附件: 1F585AC6-77F5-4727-AA1E-37850E2D4688.png (2019-5-8 08:59, 301.52 KB) / 該附件被下載次數 3782
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5025&k=e8ba68d8a023f4e9c28c9607265b9063&t=1714035245

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-8 09:01 標題: 回復 24# q1214951 的帖子

扣掉的那部分希望能說明一下謝謝

作者: q1214951 時間: 2019-5-8 09:38

分成三種狀況：
直線取到A橫線沒取到B、直線沒取到A橫線取到B、直線取到A橫線取到B
四條線所圍出來的矩形為所取的矩形。

圖片附件: 94ADF16B-DFA7-4B38-BACD-7D6EAC0EF28D.jpeg (2019-5-8 09:38, 398.74 KB) / 該附件被下載次數 2724
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5026&k=7abffaa5e394352fe28916b478454048&t=1714035245

作者: jasonmv6124 時間: 2019-5-8 10:18

想請問選擇第7題

[ 本帖最後由 jasonmv6124 於 2019-5-9 01:48 編輯 ]

作者: yi4012 時間: 2019-5-8 10:20 標題: 回復 25# satsuki931000 的帖子

G1和G2位置反了
G1是ABP重心，G2是BCP重心

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-8 11:09 標題: 回復 27# q1214951 的帖子

如果挖空的方格橫線有兩條為A B
直線有兩條 C D
是分成 1.有A 有C 2.有A無C 3.有A有D 4.有A無D.....共17種情形去討論嗎

作者: yi4012 時間: 2019-5-8 11:50 標題: 回復 31# satsuki931000 的帖子

我自己是分成：
全部C7取2*C6取2=315
扣掉：
直線A：C6取1*C6取2=90
橫線B：C7取2*C5取1=105
重疊的：C6取1*C5取1=30
但是
取A，但橫線是取上半3條或是下半2條，是成立的
C6取1*(C3取2+C2取2)=24
取B，但直線是取右半2條或是左半4條，是成立的
C5取1*(C2取2+C4取2)=35
所以315-90-105+24+35=209

而網路算法是分成
有包含2*2空格，不包含與重複算3種
包含：C2取1*C4取1*C3取1*C2取1=48
不含：剩下四個區塊一一考慮
2*2上方、左方、右方和下方
而其中斜對角的矩形會被重複算到，所以必須扣除
得到結果一樣
不管怎麼算都很長

作者: empty 時間: 2019-5-8 13:05 標題: 回復 11# thepiano 的帖子

另解，請參考。
以\(R\)為原點，直線\(RP,RQ,RA\)為三軸
\(P(1,0,0),Q(0,1,0),A(0,0,2)\)
過\(P,Q,A\)三點的平面\(E\)：\(\displaystyle x+y+\frac{z}{2}=1\)
\(R\)到\(\Delta APQ\)的距離\(\displaystyle =D(R-E)=\frac{2}{3}\)

作者: bettytsai 時間: 2019-5-8 23:23

想問一下填充C怎麼算會比較快，謝謝。

作者: jasonmv6124 時間: 2019-5-9 01:49

請教選擇第7題

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-9 07:46 標題: 回復 35# jasonmv6124 的帖子

將四隻腳的襪子鞋子先標號
即A1A2 B1B2 C1C2 D1D2全取排列
有(8!/2!2!2!2!) *1*1*1*1
乘1是因為A1 A2不能交換(先穿襪子再穿鞋子)
最後腳鏈可以選九個空隙任一個擺
所求即2520*9=22680

作者: thepiano 時間: 2019-5-9 08:05 標題: 回復 33# bettytsai 的帖子

填充第 C 題
\(\begin{align}
  & \left( {{\alpha }^{2}}\gamma +\alpha \beta \gamma  \right)\left( \alpha {{\beta }^{2}}+\alpha \beta \gamma  \right)\left( \beta {{\gamma }^{2}}+\alpha \beta \gamma  \right) \\
& =\alpha \gamma \left( \alpha +\beta  \right)\alpha \beta \left( \beta +\gamma  \right)\beta \gamma \left( \gamma +\alpha  \right) \\
& ={{\left( \alpha \beta \gamma  \right)}^{2}}\left( -2-\gamma  \right)\left( -2-\alpha  \right)\left( -2-\beta  \right) \\
& ={{4}^{2}}\times \left[ {{\left( -2 \right)}^{3}}+2\times {{\left( -2 \right)}^{2}}-3\times \left( -2 \right)-4 \right] \\
& =32 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-5-9 08:17 編輯 ]

作者: yi4012 時間: 2019-5-9 09:48 標題: 回復 34# jasonmv6124 的帖子

我是當成ABCDE，其中除了E只有一個，其他都是2個排列
9/(2!)^4=22680
因為襪子與鞋子順序固定，前面的當成襪子，後面的當成鞋子

作者: jasonmv6124 時間: 2019-5-9 11:09

謝謝兩位老師
我那時候想太多了還想用一路領先...

這次差一題進複試 XD

作者: thepiano 時間: 2019-5-9 12:18 標題: 回復 35# satsuki931000 的帖子

A1→B1→A2→B2→C1→D1→C2→D2
如果這樣穿襪和鞋，有違反題意嗎?

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-9 20:03 標題: 回復 39# thepiano 的帖子

我的理解是只要先穿襪子後穿鞋子就行
不需要四隻都先穿上襪子才能穿鞋

不知道我的理解有沒有錯誤
還請鋼琴老師指點

作者: BambooLotus 時間: 2019-5-9 20:21

補個類似的題目是高中補習時老師給的題目

夜市攤有空氣槍射氣球的遊戲，如圖，遊戲規定同一條線下的氣球，下方氣球未射破，不能打上方的氣球，則這8個氣球被打破的順序有幾種方式。(Ans:560)
(圖是有三條線，左邊有三顆氣球，中間有兩顆氣球，右邊有三顆氣球)

另外101台中一中和107文華高中也有類似的掛旗題目，不過有點不一樣就是了

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2019-5-9 20:24 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2019-5-9 21:52 標題: 回復 40# satsuki931000 的帖子

不敢，不敢
是小弟誤解題意

作者: bettytsai 時間: 2019-5-9 23:18 標題: 回復 36# thepiano 的帖子

謝謝老師！

作者: anyway13 時間: 2019-11-24 14:51 標題: 請教第5題

板上老師好
請問第五題選擇題 -4<=x<=2
y=f(f(f(x)))=x^8+8x^7+16x^6-16x^5-62x^4+8x^3+64x^2-16x-3 後畫圖得知值域最小是-4

最大直發生在x=2, y=1085 想問一下板上老師有沒有不要用硬解的方法,因為考試不能用電腦畫阿

作者: thepiano 時間: 2019-11-24 18:09 標題: 回復 44# anyway13 的帖子

f(-1) 是 f(x) = x^2 + 2x - 3 的最小值
- 4 ≦ x ≦ - 2，- 3 ≦ f(x) ≦ 5
- 3 ≦ f(x) ≦ 5，- 4 ≦ f(f(x)) ≦ 32
- 4 ≦ f(f(x)) ≦ 32，- 4 ≦ f(f(f(x))) ≦ 1085

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-11-24 18:11 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2019-11-24 18:54 標題: 回復 45# thepiano 的帖子

神阿! 受教了 ,謝謝鋼琴老師!

作者: nanpolend 時間: 2020-3-12 13:00 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

請教填充題F

作者: thepiano 時間: 2020-3-12 14:27 標題: 回復 47# nanpolend 的帖子

填充題 F
(u，v) = (1，1)，x + y + z = 13，有 H(3，10) 種
(u，v) = (1，2)，x + y + z = 10，有 H(3，7) 種
(u，v) = (1，3)，x + y + z = 5，有 H(3，2) 種
(u，v) = (2，1)，x + y + z = 10，有 H(3，7) 種
(u，v) = (2，2)，x + y + z = 7，有 H(3，4) 種
(u，v) = (3，1)，x + y + z = 5，有 H(3，2) 種
......

作者: nanpolend 時間: 2020-3-13 08:57 標題: 回復 48# thepiano 的帖子

u, v有一為0或（0,0）情況也應該討論嗎？

作者: thepiano 時間: 2020-3-13 11:12 標題: 回復 49# nanpolend 的帖子

在台灣高中，自然數不包括 0

作者: nanpolend 時間: 2020-3-15 16:18 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

請教填充題H

作者: satsuki931000 時間: 2020-3-15 17:00 標題: 回復 51# nanpolend 的帖子

圖片附件: 擷取.JPG (2020-3-15 17:00, 26.31 KB) / 該附件被下載次數 3598
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5366&k=d1475fc94883906e9e09d3b9b2b0a26e&t=1714035245

作者: nanpolend 時間: 2020-3-16 13:03 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

感謝各位老師指點整份練習過一遍

作者: Nan3010 時間: 2020-4-13 22:11

想請問填充B、I、O、Q、R
麻煩各位老師，謝謝

作者: satsuki931000 時間: 2020-4-14 10:01

B.同除x^2 令t=x + 1/x 將x化成t的函數下去處理
I.合併真數，微分求真數的最大最小值，但注意真數的自然限制
O.圖形畫出來，為塗色不塗色相間的圓環，面積會成無窮等比
Q.轉移矩陣
R.看成兩個旋轉矩陣的合成，先轉273度再轉102度
合計得到一個選轉15度的旋轉矩陣，在2n=24，48，72，96可以得到單位方陣
所求n=120

作者: martinofncku 時間: 2020-4-20 19:31 標題: 請問

想請問第貳部分 Q

我算出的轉移矩陣如上 (不知對否), 而在求特徵矩陣的時候卡住了..........

作者: thepiano 時間: 2020-4-20 21:15 標題: 回復 56# martinofncku 的帖子

轉移矩陣正確，長期交換的題目，講義應該都有

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