Board logo

標題: 108中正預校國中部 [打印本頁]

作者: Superconan    時間: 2019-5-6 14:14     標題: 108中正預校國中部

如附件

附件: 108數學科試題樣卷.pdf (2019-5-6 14:14, 608.89 KB) / 該附件被下載次數 1679
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5015&k=4161f49d1a2a7e0d86e814efe1cb2570&t=1590430773

附件: 108數學科答案.pdf (2019-5-6 14:14, 147.52 KB) / 該附件被下載次數 1109
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5016&k=55b8a3228044b16f0d6b4b009d850e70&t=1590430773
作者: bugmens    時間: 2019-5-6 18:46

單選題
2.
大鋒與小旭競選預校中正青年,已知投票箱中有8張票投給大鋒,有5張票投給小旭,且開票過程中,大鋒的票數一直領先小旭的票數,試問滿足此狀況的方法數有幾種?
(1)42 (2)90 (3)132 (4)165 (5)297
http://www.sec.ntnu.edu.tw/month ... 8-206-04(25-29).pdf

A.
設\(\displaystyle P=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}+\ldots+\frac{1}{2019\times 2020}\),
\(\displaystyle Q=\frac{1}{1011\times 2020}+\frac{1}{1012\times 2019}+\frac{1}{1013\times 2018}+\ldots+\frac{1}{2020\times 1011}\),
求\(\displaystyle \frac{P}{Q}=\)   。(化簡成最簡分數)

兩正數\( \displaystyle a=\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{5 \times 6}+...+\frac{1}{2003 \times 2004} \)
\( \displaystyle b=\frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+\frac{1}{1005 \times 2002}+...+\frac{1}{2004 \times 1003} \)
則\( \displaystyle \frac{a}{b}= \)?(請化為最簡分數)
[出處,93高中數學能力競賽 第二區筆試二試題]
(99彰化女中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948&page=1#pid2128)

D.
\(f(x)\)為實係數函數,已知所有實數\(x\)滿足\(\displaystyle f(x+2)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\),若\(f(1)=2-\sqrt{3}\),則\(f(2019)=\)   

設\(x\)是整數,函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x+2)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)。已知\(f(1)=3\),\(f(2)=5\),求\(f(2021)+f(2022)+f(2023)+f(2024)\)之值為何?
(105高中數學能力競賽 南區(台南區)筆試二試題,https://math.pro/db/thread-2608-1-1.html)

G.
令\(\displaystyle S=\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\ldots+\frac{8}{6!+7!+8!}=\frac{p}{q}\),其中\(p,q\)互質,若\(p+q\)為五位數,則此五位數的五個數字總和為   
[提示]
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3113&page=1#pid19563

J.
若\(f(x)=\sqrt{x^4-5x^2+9}+\sqrt{x^4-5x^2-10x+34}\),當\(x=k\)時,有最小值\(m\),\(k^2m=\)   
[提示]
\(\sqrt{(x-0)^2+(x^2-3)^2}+\sqrt{(x-5)^2+(x^2-3)}\)

求函數\(f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20}\)的最小值?
(95台中高農,96彰師附工,97文華高中,88全國高中數學競賽 臺北市)


P.
\(a,b,c\)皆為實數,若\(a+b+c=3\),則\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\)之最小值為   

\(a,b,c\)為正實數,且\(a+b+c=1\),求\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\)之最小值
(新高中數學101 P357)
(我的教甄準備之路 a+b=1求極值,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079)
作者: satsuki931000    時間: 2019-5-6 21:45

填充M數字是否出錯?
邊長比為15:6:5
令三邊分別15t,6t,5t
S=13t與15t相減得負數

後記:把中線錯看成高.................

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2019-5-7 07:22 編輯 ]
作者: bettytsai    時間: 2019-5-6 22:19

填充R,我算出n=20跟n=40,20+40=60,
但答案給120,不知道是不是哪裡弄錯了。
作者: satsuki931000    時間: 2019-5-6 22:45     標題: 回復 4# bettytsai 的帖子

A為15度之旋轉矩陣
24次方轉回I
故2n=24 48 72 96
得n=12 24 36 48
總計120
作者: thepiano    時間: 2019-5-6 22:46     標題: 回復 3# satsuki931000 的帖子

填充題 M
這題不用算出三邊長
硬要算的話,三邊長是 2√22、2√55、2√118
題目無問題
作者: satsuki931000    時間: 2019-5-6 23:01     標題: 回復 6# thepiano 的帖子

算出來了 感謝鋼琴老師
作者: bettytsai    時間: 2019-5-6 23:22     標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

謝謝你!有算出來了!
剛剛發現自己沒看清楚題目,沒發現後面那個旋轉矩陣的cos跟sin的位置互換了...
作者: Ellipse    時間: 2019-5-6 23:26

引用:
原帖由 Superconan 於 2019-5-6 14:14 發表
如附件
A: 類似97年彰化聯招 #4
O: 類似103全國聯招 單選2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-6 23:36 編輯 ]
作者: satsuki931000    時間: 2019-5-7 13:04

想問選擇6 8
填充DEKLN

問題有點多抱歉
作者: thepiano    時間: 2019-5-7 13:42     標題: 回復 10# satsuki931000 的帖子

選擇第6題
作\(\overline{AM}\)垂直\(\overline{PQ}\)於\(M\);作\(\overline{RN}\)垂直\(\overline{AM}\)於\(N\)
\(\begin{align}
  & \overline{AR}=2,\overline{MR}=\frac{1}{\sqrt{2}},\overline{AM}=\frac{3}{\sqrt{2}} \\
& \overline{AN}=x,\overline{MN}=\frac{3}{\sqrt{2}}-x \\
& \overline{RN}={{2}^{2}}-{{x}^{2}}={{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{3}{\sqrt{2}}-x \right)}^{2}} \\
& x=\frac{4}{3}\sqrt{2} \\
& \overline{RN}=\frac{2}{3} \\
\end{align}\)
作者: thepiano    時間: 2019-5-7 13:59     標題: 回復 10# satsuki931000 的帖子

填充第D題
\(\begin{align}
  & f\left( x+2 \right)=\frac{1+f\left( x \right)}{1-f\left( x \right)} \\
& f\left( x+4 \right)=\frac{1+f\left( x+2 \right)}{1-f\left( x+2 \right)}=\frac{1+\frac{1+f\left( x \right)}{1-f\left( x \right)}}{1-\frac{1+f\left( x \right)}{1-f\left( x \right)}}=\frac{1}{-f\left( x \right)} \\
& f\left( x+6 \right)=\frac{1+f\left( x+4 \right)}{1-f\left( x+4 \right)}=\frac{1+\frac{1}{-f\left( x \right)}}{1-\frac{1}{-f\left( x \right)}}=\frac{f\left( x \right)-1}{f\left( x \right)+1} \\
& f\left( x+8 \right)=\frac{1+f\left( x+6 \right)}{1-f\left( x+6 \right)}=\frac{1+\frac{f\left( x \right)-1}{f\left( x \right)+1}}{1-\frac{f\left( x \right)-1}{f\left( x \right)+1}}=f\left( x \right) \\
\end{align}\)
剩下的就簡單了
作者: thepiano    時間: 2019-5-7 14:45     標題: 回復 10# satsuki931000 的帖子

填充第E題
\(\begin{align}
  & \sin x+\cos x=t \\
& -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} \\
& \left| \sin x+\cos x+\tan x+\cot x+\sec x+\csc x \right| \\
& =\left| \sin x+\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin x} \right| \\
& =\left| \sin x+\cos x+\frac{1+\sin x+\cos x}{\sin x\cos x} \right| \\
& =\left| t+\frac{1+t}{\frac{{{t}^{2}}-1}{2}} \right| \\
& =\left| t+\frac{2}{t-1} \right| \\
\end{align}\)

微分可知
\(\begin{align}
  & t+\frac{2}{t-1}\ge 1+2\sqrt{2}\ or\ t\le 1-2\sqrt{2} \\
& \left| t+\frac{2}{t-1} \right|\ge 2\sqrt{2}-1 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-5-23 15:31 編輯 ]
作者: empty    時間: 2019-5-7 14:50     標題: 回復 10# satsuki931000 的帖子

K
把正四面體展開
圖片中,紅色直線長即為所求。
可以自己摺一個,比較具體。

圖片附件: 85396E9F-23E9-41B8-9723-1880231FBEA0.jpeg (2019-5-7 14:50, 533.6 KB) / 該附件被下載次數 316
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5019&k=f755c3f805cad7e82481a6863fcbcaa7&t=1590430773


作者: thepiano    時間: 2019-5-7 15:08     標題: 回復 10# satsuki931000 的帖子

選擇第8題
\(\begin{align}
  & {{M}_{900}}=1 \\
&  \\
& 0={{a}_{1}}={{a}_{2}}=\cdots ={{a}_{898}}\le {{a}_{899}}\le {{a}_{900}} \\
& 1={{a}_{899}}^{2}+{{a}_{900}}^{2}\ge 2{{a}_{899}}^{2} \\
& {{a}_{899}}\le \frac{1}{\sqrt{2}},{{M}_{899}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\
&  \\
& \sum\limits_{n=1}^{900}{{{M}_{n}}}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{900}} \\
\end{align}\)
剩下的就老梗題了
作者: q1214951    時間: 2019-5-7 17:05     標題: 想請教填充A

想請教填充A,謝謝老師!
作者: roger0315    時間: 2019-5-7 19:52     標題: 回復 16# q1214951 的帖子

填充A應該是這樣~
不過怕有地方寫錯

圖片附件: 1E2D9EEA-0C48-4E94-B899-EE04850529B2.jpeg (2019-5-7 19:52, 615.87 KB) / 該附件被下載次數 303
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5020&k=564fc3078f0ac4218c64849a1c330c93&t=1590430773


作者: q1214951    時間: 2019-5-7 20:47     標題: 回復 17# roger0315 的帖子

謝謝 roger0315 老師!
作者: q1214951    時間: 2019-5-7 22:02     標題: 填充L

附圖為我的想法,請參考指教!

圖片附件: BA063CAD-0A96-4CD0-92B1-95421BE5B90C.jpeg (2019-5-7 22:02, 692.07 KB) / 該附件被下載次數 331
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5021&k=3d307850fa5141f3e25c5a4100ccded1&t=1590430773


作者: q1214951    時間: 2019-5-7 23:02

想請教填充M跟P,謝謝老師!
作者: satsuki931000    時間: 2019-5-8 07:37

淺見還請不吝賜教



圖片附件: 76CF6F33-8C8E-4A7B-8080-E6130F9504C2.png (2019-5-8 07:37, 189.23 KB) / 該附件被下載次數 411
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5022&k=4c18b98322f0a4b52d458847aacced34&t=1590430773



圖片附件: C758CF31-143D-49BA-A096-84E80CB58C24.png (2019-5-8 07:37, 237.45 KB) / 該附件被下載次數 410
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5023&k=ce2a3cb01e8a5ebcaa4434fc244e465f&t=1590430773


作者: satsuki931000    時間: 2019-5-8 07:49     標題: 回復 19# q1214951 的帖子

這想法好猛
看出143可以分成79+64這邊實在佩服
作者: q1214951    時間: 2019-5-8 08:42     標題: 回復 21# satsuki931000 的帖子

感謝satsuki931000老師!
不好意思,想再請問一下為什麼所求是1/9ABC?
作者: q1214951    時間: 2019-5-8 08:45

填充N
附圖為我的參考算法,請參考指教!

圖片附件: 3E4DF9A9-7A56-428A-AD58-A5BB07986AA6.jpeg (2019-5-8 08:45, 184.17 KB) / 該附件被下載次數 259
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5024&k=f7f1eb6ce95067ebffc018df26d0e02c&t=1590430773


作者: satsuki931000    時間: 2019-5-8 08:59

理由在這
事實上這題99雄中有考過XD
剛好有把結論記下



圖片附件: 1F585AC6-77F5-4727-AA1E-37850E2D4688.png (2019-5-8 08:59, 301.52 KB) / 該附件被下載次數 425
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5025&k=0ba5bf9606ac44781442518b1712caa4&t=1590430773


作者: satsuki931000    時間: 2019-5-8 09:01     標題: 回復 24# q1214951 的帖子

扣掉的那部分希望能說明一下 謝謝
作者: q1214951    時間: 2019-5-8 09:38

分成三種狀況:
直線取到A橫線沒取到B、直線沒取到A橫線取到B、直線取到A橫線取到B
四條線所圍出來的矩形為所取的矩形。

圖片附件: 94ADF16B-DFA7-4B38-BACD-7D6EAC0EF28D.jpeg (2019-5-8 09:38, 398.74 KB) / 該附件被下載次數 257
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5026&k=54799cf12ed5d9c9aff66bbe08912081&t=1590430773


作者: jasonmv6124    時間: 2019-5-8 10:18

想請問選擇第7題

[ 本帖最後由 jasonmv6124 於 2019-5-9 01:48 編輯 ]
作者: yi4012    時間: 2019-5-8 10:20     標題: 回復 25# satsuki931000 的帖子

G1和G2位置反了
G1是ABP重心,G2是BCP重心
作者: satsuki931000    時間: 2019-5-8 11:09     標題: 回復 27# q1214951 的帖子

如果挖空的方格橫線有兩條為A B
直線有兩條 C D
是分成 1.有A 有C 2.有A無C 3.有A有D 4.有A無D.....共17種情形去討論嗎
作者: yi4012    時間: 2019-5-8 11:50     標題: 回復 31# satsuki931000 的帖子

我自己是分成:
全部C7取2*C6取2=315
扣掉:
直線A:C6取1*C6取2=90
橫線B:C7取2*C5取1=105
重疊的:C6取1*C5取1=30
但是
取A,但橫線是取上半3條或是下半2條,是成立的
C6取1*(C3取2+C2取2)=24
取B,但直線是取右半2條或是左半4條,是成立的
C5取1*(C2取2+C4取2)=35
所以315-90-105+24+35=209

而網路算法是分成
有包含2*2空格,不包含與重複算3種
包含:C2取1*C4取1*C3取1*C2取1=48
不含:剩下四個區塊一一考慮
2*2上方、左方、右方和下方
而其中斜對角的矩形會被重複算到,所以必須扣除
得到結果一樣
不管怎麼算都很長
作者: empty    時間: 2019-5-8 13:05     標題: 回復 11# thepiano 的帖子

另解,請參考。
以\(R\)為原點,直線\(RP,RQ,RA\)為三軸
\(P(1,0,0),Q(0,1,0),A(0,0,2)\)
過\(P,Q,A\)三點的平面\(E\):\(\displaystyle x+y+\frac{z}{2}=1\)
\(R\)到\(\Delta APQ\)的距離\(\displaystyle =D(R-E)=\frac{2}{3}\)
作者: bettytsai    時間: 2019-5-8 23:23

想問一下填充C怎麼算會比較快,謝謝。
作者: jasonmv6124    時間: 2019-5-9 01:49

請教選擇第7題
作者: satsuki931000    時間: 2019-5-9 07:46     標題: 回復 35# jasonmv6124 的帖子

將四隻腳的襪子鞋子先標號
即A1A2 B1B2 C1C2 D1D2全取排列
有(8!/2!2!2!2!) *1*1*1*1
乘1是因為A1 A2不能交換(先穿襪子再穿鞋子)
最後腳鏈可以選九個空隙任一個擺
所求即2520*9=22680
作者: thepiano    時間: 2019-5-9 08:05     標題: 回復 33# bettytsai 的帖子

填充第 C 題
\(\begin{align}
  & \left( {{\alpha }^{2}}\gamma +\alpha \beta \gamma  \right)\left( \alpha {{\beta }^{2}}+\alpha \beta \gamma  \right)\left( \beta {{\gamma }^{2}}+\alpha \beta \gamma  \right) \\
& =\alpha \gamma \left( \alpha +\beta  \right)\alpha \beta \left( \beta +\gamma  \right)\beta \gamma \left( \gamma +\alpha  \right) \\
& ={{\left( \alpha \beta \gamma  \right)}^{2}}\left( -2-\gamma  \right)\left( -2-\alpha  \right)\left( -2-\beta  \right) \\
& ={{4}^{2}}\times \left[ {{\left( -2 \right)}^{3}}+2\times {{\left( -2 \right)}^{2}}-3\times \left( -2 \right)-4 \right] \\
& =32 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-5-9 08:17 編輯 ]
作者: yi4012    時間: 2019-5-9 09:48     標題: 回復 34# jasonmv6124 的帖子

我是當成ABCDE,其中除了E只有一個,其他都是2個排列
9/(2!)^4=22680
因為襪子與鞋子順序固定,前面的當成襪子,後面的當成鞋子
作者: jasonmv6124    時間: 2019-5-9 11:09

謝謝兩位老師
我那時候想太多了 還想用一路領先...

這次差一題進複試 XD
作者: thepiano    時間: 2019-5-9 12:18     標題: 回復 35# satsuki931000 的帖子

A1→B1→A2→B2→C1→D1→C2→D2
如果這樣穿襪和鞋,有違反題意嗎?
作者: satsuki931000    時間: 2019-5-9 20:03     標題: 回復 39# thepiano 的帖子

我的理解是只要先穿襪子後穿鞋子就行
不需要四隻都先穿上襪子才能穿鞋

不知道我的理解有沒有錯誤
還請鋼琴老師指點
作者: BambooLotus    時間: 2019-5-9 20:21

補個類似的題目 是高中補習時老師給的題目

夜市攤有空氣槍射氣球的遊戲,如圖,遊戲規定同一條線下的氣球,下方氣球未射破,不能打上方的氣球,則這8個氣球被打破的順序有幾種方式。(Ans:560)
(圖是有三條線,左邊有三顆氣球,中間有兩顆氣球,右邊有三顆氣球)

另外101台中一中和107文華高中也有類似的掛旗題目,不過有點不一樣就是了

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2019-5-9 20:24 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2019-5-9 21:52     標題: 回復 40# satsuki931000 的帖子

不敢,不敢
是小弟誤解題意
作者: bettytsai    時間: 2019-5-9 23:18     標題: 回復 36# thepiano 的帖子

謝謝老師!
作者: anyway13    時間: 2019-11-24 14:51     標題: 請教第5題

板上老師好
請問第五題選擇題 -4<=x<=2
y=f(f(f(x)))=x^8+8x^7+16x^6-16x^5-62x^4+8x^3+64x^2-16x-3 後畫圖得知值域最小是-4

最大直發生在x=2, y=1085   想問一下板上老師有沒有不要用硬解的方法,因為考試不能用電腦畫阿
作者: thepiano    時間: 2019-11-24 18:09     標題: 回復 44# anyway13 的帖子

f(-1) 是 f(x) = x^2 + 2x - 3 的最小值
- 4 ≦ x ≦ - 2,- 3 ≦ f(x) ≦ 5
- 3 ≦ f(x) ≦ 5,- 4 ≦ f(f(x)) ≦ 32
- 4 ≦ f(f(x)) ≦ 32,- 4 ≦ f(f(f(x))) ≦ 1085

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-11-24 18:11 編輯 ]
作者: anyway13    時間: 2019-11-24 18:54     標題: 回復 45# thepiano 的帖子

神阿!   受教了 ,謝謝鋼琴老師!
作者: nanpolend    時間: 2020-3-12 13:00     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

請教填充題F
作者: thepiano    時間: 2020-3-12 14:27     標題: 回復 47# nanpolend 的帖子

填充題 F
(u,v) = (1,1),x + y + z = 13,有 H(3,10) 種
(u,v) = (1,2),x + y + z = 10,有 H(3,7) 種
(u,v) = (1,3),x + y + z = 5,有 H(3,2) 種
(u,v) = (2,1),x + y + z = 10,有 H(3,7) 種
(u,v) = (2,2),x + y + z = 7,有 H(3,4) 種
(u,v) = (3,1),x + y + z = 5,有 H(3,2) 種
......
作者: nanpolend    時間: 2020-3-13 08:57     標題: 回復 48# thepiano 的帖子

u, v有一為0或(0,0)情況也應該討論嗎?
作者: thepiano    時間: 2020-3-13 11:12     標題: 回復 49# nanpolend 的帖子

在台灣高中,自然數不包括 0
作者: nanpolend    時間: 2020-3-15 16:18     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

請教填充題H
作者: satsuki931000    時間: 2020-3-15 17:00     標題: 回復 51# nanpolend 的帖子



圖片附件: 擷取.JPG (2020-3-15 17:00, 26.31 KB) / 該附件被下載次數 113
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5366&k=ff0f1a0435c05a5378f17af8a8a0b2fc&t=1590430773


作者: nanpolend    時間: 2020-3-16 13:03     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

感謝各位老師指點整份練習過一遍
作者: Nan3010    時間: 2020-4-13 22:11

想請問填充B、I、O、Q、R
麻煩各位老師,謝謝
作者: satsuki931000    時間: 2020-4-14 10:01

B.同除x^2 令t=x + 1/x 將x化成t的函數下去處理
I.合併真數,微分求真數的最大最小值,但注意真數的自然限制
O.圖形畫出來,為塗色不塗色相間的圓環,面積會成無窮等比
Q.轉移矩陣
R.看成兩個旋轉矩陣的合成,先轉273度再轉102度
合計得到一個選轉15度的旋轉矩陣,在2n=24,48,72,96可以得到單位方陣
所求n=120
作者: martinofncku    時間: 2020-4-20 19:31     標題: 請問

想請問 第貳部分 Q

我算出的轉移矩陣如上 (不知對否), 而在求特徵矩陣的時候卡住了..........
作者: thepiano    時間: 2020-4-20 21:15     標題: 回復 56# martinofncku 的帖子

轉移矩陣正確,長期交換的題目,講義應該都有




歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0