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標題: 108臺中二中 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2019-4-27 15:42 標題: 108臺中二中

如附件

附件: 20190426台中市立臺中第二高級中學數學科教師甄選題目卷.pdf (2019-4-27 15:42, 103.96 KB) / 該附件被下載次數 11665
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附件: 20190426台中市立臺中第二高級中學數學科教師甄選_答案.pdf (2019-4-27 23:19, 47.53 KB) / 該附件被下載次數 11361
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作者: koeagle 時間: 2019-4-28 14:48 標題: 計算4

計算4

圖片附件: 108台中二中計算4.png (2019-4-28 14:48, 61.66 KB) / 該附件被下載次數 6264
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4972&k=66b4f919d13f5e9049601a31b4971116&t=1732252062

作者: pgcci7339 時間: 2019-4-28 15:19

計算4另一種算幾想法
右式
用 1 個 3 與 (n-1) 個 1 做算幾
\(\displaystyle\frac{3+1+1+\cdots+1}{n}\geq \sqrt[n]{3}\)，得 \(\displaystyle\sqrt[n]{3}\leq\frac{3+(n-1)}{n}=1+\frac{2}{n}\)
或用伯努力不等式
\(\displaystyle\sqrt[n]{3}=(1+2)^{\frac{1}{n}}\leq1+2\cdot\frac{1}{n}=1+\frac{2}{n}\)

左式
用 1 個 \(\displaystyle\frac{1}{3}\) 與 (n-1) 個 1 做算幾
\(\displaystyle\frac{\frac{1}{3}+1+1+\cdots+1}{n}\geq\sqrt[n]{\frac{1}{3}}\)，得
\(\displaystyle\frac{n-\frac{2}{3}}{n}\geq\sqrt[n]{\frac{1}{3}}\)，\(\displaystyle1+\frac{2}{3n-2}\leq\sqrt[n]{3}\)

[ 本帖最後由 pgcci7339 於 2019-4-28 15:20 編輯 ]

作者: Christina 時間: 2019-4-28 21:01

請教老師們第2題、第6題和第8題。

作者: thepiano 時間: 2019-4-28 21:50 標題: 回復 4# Christina 的帖子

第 8 題
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &t=17591#p27838

作者: Ellipse 時間: 2019-4-28 22:01

引用:

原帖由 Christina 於 2019-4-28 21:01 發表
請教老師們第2題、第6題和第8題。

#2
xy=4k ,y=4k/x代入 x²+y² =2k² ,利用判別式D<0
解出k的值

#6
依題意可知
總和=10,有最後為1,最後為2,最後為3情形
11251,其機率=12/6^5
11341,其機率=12/6^5
112231,其機率=30/6^6
2242, 其機率=3/6^4
22132, 其機率=12/6^5
3313,其機率=3/6^4
所求條件機率
=(12/6^5 +12/6^5 +30/6^6) / (12/6^5 +12/6^5 +30/6^6+3/6^4+12/6^5+3/6^4)
=174/462=29/77

作者: Christina 時間: 2019-4-28 22:24

謝謝鋼琴老師、橢圓老師幫忙～～！

作者: 小姑姑 時間: 2019-4-29 22:24

請教計算第2題，謝謝老師們。

作者: czk0622 時間: 2019-4-29 22:48 標題: 回復 8# 小姑姑的帖子

不知道這樣有沒有問題
設 \(f(x)=x^{3}+ax+b\)，則 \(f'(x)=3x^{2}+a\)
1.若 \(a \geq 0\)，則 \(f'(x)\geq 0 \ \ \ \forall x\)，即 \(f(x)\) 遞增，只有一解(但 \(a=b=0\) 時三重根)
2.若 \(a<0\)，則當 \(x=\sqrt{-\frac{a}{3}}\) 時有極小值 \(f(\sqrt{-\frac{a}{3}})=\frac{2}{3}a\sqrt{-\frac{a}{3}}+b\)、極大值 \(f(-\sqrt{-\frac{a}{3}})=-\frac{2}{3}a\sqrt{-\frac{a}{3}}+b\)
此時如果極小值為正或極大值為負時，\(f(x)\) 恰有一解，即 \(f(\sqrt{-\frac{a}{3}})=\frac{2}{3}a\sqrt{-\frac{a}{3}}+b>0 \) 或 \(-\frac{2}{3}a\sqrt{-\frac{a}{3}}+b<0\)
整理後皆得 \(27b^{2}+4a^{3}>0\)
綜合1 2 兩點得 \(27b^{2}+4a^{3}>0\)

作者: 小姑姑 時間: 2019-4-30 18:40 標題: 回復 9# czk0622 的帖子

在第2點討論，還有一個狀況是如果最大值為負時，f(x) 恰有一解，也要討論進去。
即極值發生處必須在x軸的同一側，
我的看法不知道有誤嗎？

其他的和你的相同，謝謝你。

作者: czk0622 時間: 2019-4-30 20:03 標題: 回復 10# 小姑姑的帖子

感謝提醒，已修正

作者: weiye 時間: 2019-5-1 13:12 標題: 回復 4# Christina 的帖子

填充第二題剛好朋友有問，剛解完順便PO上來。
((題目上沒看清楚 k in Z，幫朋友解的時候以為是 k in R。

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作者: weiye 時間: 2019-5-2 16:04

填充第4題第5題第9題，幫朋友解完順便放上來。

圖片附件: IMG_20190502_160125.jpg (2019-5-2 16:04, 578.49 KB) / 該附件被下載次數 3326
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作者: royan0837 時間: 2019-5-4 20:25 標題: 回復 13# weiye 的帖子

請教瑋岳老師，填充第4題，一開始的 \(\displaystyle \frac{z^3-z}{z^2-z}=\pm ki \)，是怎麼得知的？謝謝！

[ 本帖最後由 royan0837 於 2019-5-4 20:26 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2019-5-4 20:44

以 z 為中心，將 z^2 旋轉正負90度，再伸縮 k 倍，即可得 z^3。（想想複數的極式，先平移，再旋轉。）

作者: royan0837 時間: 2019-5-4 21:29 標題: 回復 15# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師的解釋～

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-8 20:22

二另一個想法

圖片附件: DCA195A0-923F-48A6-83B4-1F2A2127126B.png (2019-5-8 20:22, 148.24 KB) / 該附件被下載次數 4289
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作者: satsuki931000 時間: 2019-5-8 20:30

計算一想對一下答案

圖片附件: 0677D969-FCE9-4B83-BDAB-1B26A30DD31F.png (2019-5-8 20:30, 192.64 KB) / 該附件被下載次數 4182
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5029&k=f18129bb7b8d64a5470745c79dece7c6&t=1732252062

作者: thepiano 時間: 2019-5-8 21:48 標題: 回復 18# satsuki931000 的帖子

計算一答案正確

作者: Uukuokuo 時間: 2019-5-10 14:16

請問計算5

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-10 14:24

計算五

圖片附件: 4CFDDC48-BA26-4741-9C70-9691B888A1CF.png (2019-5-10 14:24, 236.61 KB) / 該附件被下載次數 5490
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5030&k=3be98a54cb878f29e607134ed150438c&t=1732252062

作者: yi4012 時間: 2019-5-15 15:17 標題: 回復 21# satsuki931000 的帖子

其實這題有點瑕疵在於，要求公差要為正
正確寫法應該要加上正負((畢竟公差也可以是負數))

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-15 15:24 標題: 回復 22# yi4012 的帖子

的確如此XD
我當初也沒想到這問題
直接被題目牽著鼻子走

作者: lyingheart 時間: 2019-6-4 23:36 標題: 回復 5# thepiano 的帖子

鋼琴老師計算這個 \(\displaystyle (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \) 的方式還真是巧妙!!!!
不過既然同一份考卷裡面有計算第二題，還是講一下好了
請參考許志農老師寫的一元三次方程式的判別式
http://pisa.math.ntnu.edu.tw/att ... 7/38%20mathdata.pdf

當然，這東西超難記的，硬背下來也是無妨。
其實很久以前就遇過求 \(\displaystyle (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \) 的值的問題，當時還不知道這是三次的判別式，
就想了個方法硬做:
\(\displaystyle (a-b)(b-c)(c-a) \)這東西是凡德夢行列式
令 \(\displaystyle V=(a-b)(b-c)(c-a)=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| \)

\(\displaystyle V^2=det\left(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right]\right)=\left|\begin{array}{ccc} A_0 & A_1 & A_2 \\ A_1 & A_2 & A_3 \\ A_2 & A_3 & A_4 \end{array}\right| \)
其中\(\displaystyle A_n=a^n+b^n+c^n \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2019-6-4 23:47 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2019-6-5 08:26

引用:

原帖由 lyingheart 於 2019-6-4 23:36 發表
鋼琴老師計算這個 \(\displaystyle (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \) 的方式還真是巧妙!!!!
不過既然同一份考卷裡面有計算第二題，還是講一下好了
請參考許志農老師寫的一元三次方程式的判別式
http://pisa.math.ntnu.edu.tw/ ...

另外"范德蒙行列式"應用的參考資料如下連結
http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/R ... eX.ashx?autoKey=817

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-6-5 08:28 編輯 ]

作者: lyingheart 時間: 2019-6-5 15:59

計算五
一開始我也是由代數計算 \(\displaystyle \frac{abc}{4R}=rs=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) 得到結果。
試著用幾何方式，才發現要用到的性質，在我這兩篇
http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122204
http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122768
已經都寫到了。
我還是把過程完整寫下來:

如圖，\(\Delta ABC \)中，\( AB-BC=BC-AC=d \)，
試證: \(\displaystyle d^2=2Rr-4r^2 \)，其中 \( R,r \) 分別為其外接圓與內切圓半徑。

做 \( \angle{BAC} \) 的平分線與 \( BC \) 交於 \( D \)，與外接圓交於 \( X \) ，令 \( I \) 為內心，
並設 \( BC=a,AB=c=a+d,AC=b=a-d \)
\(\displaystyle AI:ID=(\Delta AIB+\Delta AIC);\Delta BIC=(c+b):a=2:1 \)
\(\displaystyle AB:BD=AC:CD=AI:ID=2:1 \)
所以\(\displaystyle BD=\frac{c}{2} \)
若內切圓與 \( BC \) 切於 \( K \) ，那麼 \(\displaystyle BK=\frac{c+a-b}{2} \)
所以 \(\displaystyle DK=\frac{a-b}{2}=\frac{d}{2} \)
而 \( IK=r \) ，將欲證之式同除以4並移項得到 \(\displaystyle (\frac{d}{2})^2+r^2=\frac{Rr}{2} \)
所以只要證明 \(\displaystyle ID^2=\frac{Rr}{2} \)即可。
因為  \(\displaystyle \Delta ABX\sim\Delta ADC \)
所以  \(\displaystyle AX:BX=AC:CD=2:1 \)
而  \(\displaystyle BX=IX \) ，得到  \(\displaystyle IX=\frac{AX}{2}=AI \)，以及  \(\displaystyle ID=\frac{IX}{2} \)
令內切圓與 \( AC \) 邊切於 \( E \) (請補上) ，做直徑 \( XY \) ，連接 \( YB \)
\(\displaystyle \Delta YXB\sim\Delta AIE \)
\(\displaystyle XY:AI=XB:IE \)
\(\displaystyle 2Rr=IX^2=4ID^2 \)
\(\displaystyle ID^2=\frac{Rr}{2} \)
證畢

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2019-6-5 21:44 編輯 ]

圖片附件: 108台中二中計算五.png (2019-6-5 15:59, 21.74 KB) / 該附件被下載次數 4139
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5128&k=89683c4fd9b290e3f697ad7b5ec6c124&t=1732252062

作者: zidanesquall 時間: 2020-3-20 11:54

想問第七題，拆項一直不出來

感謝～

作者: satsuki931000 時間: 2020-3-20 13:14 標題: 回復 27# zidanesquall 的帖子

k^2+3k+1=(k+1)(k+2)-1

可得原式=[1/k!]-[1/(k+2)!]下去分項對消

作者: zidanesquall 時間: 2020-3-22 22:15 標題: 回復 28# satsuki931000 的帖子

感謝～已解出！

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