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標題: 108麗山高中 [打印本頁]

作者: Almighty 時間: 2019-4-19 23:45 標題: 108麗山高中

再勞煩大家一起補充、修正
填充題18題（4分）
計算題ㄧ（8分）
計算題二（4分+4分）
計算題素養（12分）
-------------------------------------
由於題目的還原度並非百分百
所提供出來的答案也並非完全正確
避免造成其他人的不適，故先移除
(也感謝熱心夥伴提供題目的完整性與修正)
-------------------------------------
進複試最低分數：48分

108.5.7版主補充
4.
從集合\( \{\;2,2^2,2^3,\ldots,2^{25} \}\; \)中任意選取兩個不同的數\(a\)及\(b\)。試問\(log_a b\)為整數的機率是多少？
(2005AMC12，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_23)

16.
求\(\displaystyle \int_{-1}^7 -2+\sqrt{-x^2+6x+7}dx\)。

(1)描繪出函數\(y=-2+\sqrt{-x^2+6x+7}\)的圖形。
(2)求定積分\(\displaystyle \int_{-1}^7 -2+\sqrt{-x^2+6x+7}dx\)。(請試以高中理科數學所教定積分與面積關係解之)
(89高中數學能力競賽高屏區，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

計算題
1.
設\(P\)為正方體\(ABCD-EFGH\)內部一點，今已知\(\overline{PA}=\sqrt{2},\overline{PB}=\overline{PD}=\sqrt{3},\overline{PE}=\sqrt{2}\)，試問此正立方體的稜長為？
(89高中數學能力競賽　宜花東區，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

設\(P\)為正立方體\(ABCDEFGH\)內部一點，且滿足\(\displaystyle \overline{PA}=\overline{PB}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)，\(\displaystyle \overline{PF}=\overline{PC}=\frac{\sqrt{107}}{2}\)，求此正立方體的邊長。
(100高中數學能力競賽　台中區複賽筆試二試題，https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

附件: [2019/04/2115:09更新] 108年麗山高中教師甄選試題.pdf (2019-5-8 20:29, 119.36 KB) / 該附件被下載次數 11613
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4904&k=fcf24939e0c8d9a5afda4816bc34b0ad&t=1714161648

附件: 1081-1教師甄選答案卷數學科填充題(答案修正版).pdf (2019-4-24 17:12, 187.73 KB) / 該附件被下載次數 9882
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4923&k=d31f0688f8c181991db8716645eace8c&t=1714161648

附件: 108麗山高中(官方版).pdf (2019-5-11 08:22, 557.43 KB) / 該附件被下載次數 10806
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5032&k=42f6b9d2bdb9a7d829f49ec3e6dc53ab&t=1714161648

作者: Sandy 時間: 2019-4-20 09:28

第三題的口是4

作者: Christina 時間: 2019-4-20 10:19 標題: 回復 1# Almighty 的帖子

第八題第n次點數和為偶數的機率

計算2 f(0)=1,f’(0)=1

作者: satsuki931000 時間: 2019-4-20 10:49

11題
數對(n，M)
\(M=x^4-y^4\)有極值時
\(x+y=n\)

作者: Christina 時間: 2019-4-20 12:34 標題: 回復 1# Almighty 的帖子

第9題好像是1/2-1/2019！@@？

作者: thepiano 時間: 2019-4-20 15:44 標題: 回復 5# Christina 的帖子

第 9 題
求級數\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2017}\frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!=}\)　　　。
[解答]
您的答案正確

\(\begin{align}
& \frac{n+2}{n!+\left( n+1 \right)!+\left( n+2 \right)!} \\
& =\frac{n+2}{n!\left( 1+n+1+{{n}^{2}}+3n+2 \right)} \\
& =\frac{1}{n!\left( n+2 \right)} \\
& =\frac{n+2-1}{\left( n+2 \right)!} \\
& =\frac{1}{\left( n+1 \right)!}-\frac{1}{\left( n+2 \right)!} \\
\end{align}\)

作者: thepiano 時間: 2019-4-20 15:58 標題: 回復 1# Almighty 的帖子

第 1 題
答案是 125

作者: Christina 時間: 2019-4-20 21:41 標題: 回復 7# thepiano 的帖子

請教鋼琴老師第一題該怎麼算？

另外請教第13題。謝謝老師幫忙

作者: d3054487667 時間: 2019-4-20 22:10 標題: 回復 8# Christina 的帖子

找出兩根，然後用棣美弗定理找同界角就可以了

作者: Christina 時間: 2019-4-20 22:16 標題: 回復 9# d3054487667 的帖子

謝謝老師幫忙。我再想一想^_^

作者: Almighty 時間: 2019-4-20 22:39 標題: 填充1

在五座自然島嶼之間建造四座橋，讓它們能夠連通，請問有幾種建橋方案？

反面算

圖片附件: S__69091331.jpg (2019-4-20 22:41, 248.23 KB) / 該附件被下載次數 3429
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4905&k=de58b18d3b3fb31a24b2fb0d6449a8d2&t=1714161648

作者: thepiano 時間: 2019-4-20 22:39 標題: 回復 8# Christina 的帖子

第 1 題
在五座自然島嶼之間建造四座橋，讓它們能夠連通，請問有幾種建橋方案？
[解答]
若 5 座島兩兩之間都有通道，則有 C(5，2) = 10 條通道
從 10 條通道中選 4 條，有 C(10，4) = 210 種選法

以下情形不能讓 5 座島相通，須扣除
(1) 其中 3 座相通(用 3 條通道)，另 2 座也相通(用 1 條通道)，但此二系統不互通
有 C(5，3) = 10 種情形

(2) 其中 4 座相通(用 4 條通道)，另 1 座獨立
有 C(5，4) * C(6，4) = 75 種情形

所求 = 210 - 10 - 75 = 125

作者: thepiano 時間: 2019-4-21 00:01 標題: 回復 8# Christina 的帖子

第 13 題
設\(\alpha\)、\(\beta\)為\(x^2-x+1=0\)之兩根，若\(\alpha+\beta=\alpha^n+\beta^n\)，其中\(n\)為自然數且\(1\le n \le 100\)，求滿足上式的自然數\(n\)有幾個？
[解答]
\(\begin{align}
  & \alpha \beta =1 \\
& {{S}_{1}}=\alpha +\beta =1 \\
& {{S}_{2}}={{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}=-1 \\
& {{S}_{3}}=\left( \alpha +\beta  \right)\left( {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}} \right)-\alpha \beta \left( \alpha +\beta  \right)={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=-2 \\
& {{S}_{4}}=\left( \alpha +\beta  \right)\left( {{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}} \right)-\alpha \beta \left( {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}} \right)={{S}_{3}}-{{S}_{2}}=-1 \\
& {{S}_{5}}={{S}_{4}}-{{S}_{3}}=1 \\
& {{S}_{6}}={{S}_{5}}-{{S}_{4}}=2 \\
& {{S}_{7}}={{S}_{6}}-{{S}_{5}}=1 \\
& {{S}_{8}}={{S}_{7}}-{{S}_{6}}=-1 \\
\end{align}\)
六個一循環
所求\(=[\frac{100}{6}]\times 2+1=33\)

作者: z78569 時間: 2019-4-21 12:40 標題: 回復 1# Almighty 的帖子

不好意思，想請教第12題，小弟的答案不太一樣
感謝老師回應

[ 本帖最後由 z78569 於 2019-4-21 13:14 編輯 ]

作者: Almighty 時間: 2019-4-21 15:00 標題: 回復 14# z78569 的帖子

在\(xy\)平面上，設\(\displaystyle A(\frac{1}{2},0)\)，\(O\)為原點，將\(\overline{OA}\)分成\(n\)等分，過其分割點\(\displaystyle B_k(\frac{k}{2n},0)\)做\(x\)軸的垂線，與圓\(x^2+y^2=1\)交在第一象限的點為\(\displaystyle P_k(\frac{k}{2n},\sqrt{1-\frac{k^2}{4n^2}})\)，則極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sqrt{1-\frac{k^2}{4n^2}}=\)？

我根據題目重試一次
答案應該是如圖片所示
但12題其實我有點忘記正確題目數據
(在看有沒有其他夥伴能夠提供更正確的題目
或是等待學校公告考題)

圖片附件: S__69107806.jpg (2019-4-21 15:00, 214.74 KB) / 該附件被下載次數 3506
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4906&k=64c0ce14c0fecd3e670b33f22eeacfdc&t=1714161648

作者: z78569 時間: 2019-4-21 17:42 標題: 回復 15# Almighty 的帖子

感謝Almighty老師的分享，我了解自己錯在哪裡了

另外想請教填充六有沒有其他作法(小弟覺得自己的做法太麻煩了，考試當場沒有做出來)

還有填充18、計算題一
希望有老師可以指導一下

感謝!

[ 本帖最後由 z78569 於 2019-4-21 18:13 編輯 ]

圖片附件: 57352944_413824219414239_4836647596413943808_n.jpg (2019-4-21 17:46, 210.38 KB) / 該附件被下載次數 3182
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4907&k=c5308ff270b20cfe2d98cba16b6d6e1a&t=1714161648

作者: Ellipse 時間: 2019-4-21 20:53

引用:

原帖由 z78569 於 2019-4-21 17:42 發表

還有填充18、計算題一
希望有老師可以指導一下
感謝! ...

填六:
圓內接四邊形\(ABCD\)中，\(O\)為圓心，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(∠BCD=75^{\circ}\)，\(∠BDC=45^{\circ}\)，\(\vec{BD}=a \vec{OA}+b \vec{OB}\)，試求數對\((a,b)=\)？
[解答]
W.L.O.G 假設OA=OB=OC=OD=1
由正弦及畢氏定理知,BD=√(2+√3) , AB=√2 ,BC=√2 ,CD=√3,DA=1
座標化:令O(0,0) ,A(-1,0) ,B(0,1),C(1,0) ,假設D(x,y), DK垂直AC交AC於K點
則在三角形ADC中,由AC*DK=AD*DC ,可知D(x,y)=(-1/2 ,-√3/2)
向量BD=(-1/2 , (-√3/2)-1) =a(-1,0)+b(0,-1) ,解出 a=1/2 ,b= (-√3-2)/2

作者: Almighty 時間: 2019-4-21 22:20 標題: 回復 16# z78569 的帖子

填充6
圓內接四邊形\(ABCD\)中，\(O\)為圓心，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(∠BCD=75^{\circ}\)，\(∠BDC=45^{\circ}\)，\(\vec{BD}=a \vec{OA}+b \vec{OB}\)，試求數對\((a,b)=\)？

圖片附件: S__69124113.jpg (2019-5-8 20:51, 428.03 KB) / 該附件被下載次數 3346
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4909&k=35cb0d97784182a6554f1e41cf4a3703&t=1714161648

作者: jasonmv6124 時間: 2019-4-21 23:46

可以請教第11題嗎?

作者: math123 時間: 2019-4-21 23:51

第17題
下圖中已知\(\Delta ABC\)為正三角形，\(DEFGHIJK\)為正八邊形，且\(E\)為\(\overline{BC}\)上一點，\(\overline{CE}=2\)，\(A,C,D\)三點共線，\(A,B,F,G\)四點共線，則\(\overline{AF}=\)　　　。

圖應該是這個
三角形和正八邊形只知線段CF=2 求線段AH長

圖片附件: 17.jpg (2019-4-21 23:51, 45.21 KB) / 該附件被下載次數 2931
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4912&k=033dcf353e3370e24fd8dde5255b2a1e&t=1714161648

作者: thepiano 時間: 2019-4-22 08:02 標題: 回復 19# jasonmv6124 的帖子

第 11 題
\(x,y\)為實數且\(x>y\)，若\(x+y=x^2+y^2\)，則當\(x+y=n\)時，\(x^4-y^4\)有最大值\(M\)，求數對\((n,M)=\)　　　。
[解答]
\(\begin{align}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=x+y=n \\
& xy=\frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{2}=\frac{{{n}^{2}}-n}{2} \\
& {{\left( x-y \right)}^{2}}={{\left( x+y \right)}^{2}}-4xy={{n}^{2}}-4\times \frac{{{n}^{2}}-n}{2}=-{{n}^{2}}+2n \\
& x-y=\pm \sqrt{-{{n}^{2}}+2n} \\
& {{x}^{4}}-{{y}^{4}}=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( x+y \right)\left( x-y \right)=\pm {{n}^{2}}\sqrt{-{{n}^{2}}+2n}=\pm \sqrt{-{{n}^{6}}+2{{n}^{5}}} \\
\end{align}\)
微分可知，\(n=\frac{5}{3}\)時，有最大值\(\frac{25}{27}\sqrt{5}\)

作者: Almighty 時間: 2019-4-22 08:38 標題: 回復 21# thepiano 的帖子

請問“鋼琴老師”
我也是用相同方法處理
想藉此詢問一下
是否須考慮x y在圓上的範圍區域限制？

作者: kuo 時間: 2019-4-22 10:09 標題: 回復 20# math123 的帖子

我記得還有A、C跟奇怪的框框那點共線

作者: jasonmv6124 時間: 2019-4-22 10:13 標題: 回復 21# thepiano 的帖子

非常感謝鋼琴老師

作者: Juin 時間: 2019-4-22 10:26 標題: 回復 1# Almighty 的帖子

填充3. 題目跟我記憶不太一樣，題目放在附檔

圖片附件: [印象第三題題目長這樣] 麗山高中第三題.jpg (2019-4-22 10:26, 118.2 KB) / 該附件被下載次數 2891
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4915&k=3ab9d26e0b6cd816ac9ec75d9fe41f78&t=1714161648

作者: thepiano 時間: 2019-4-22 10:47 標題: 回復 22# Almighty 的帖子

不用，等號會成立在\(x=\frac{5+\sqrt{5}}{6},y=\frac{5-\sqrt{5}}{6}\)
而它符合\(x+y={{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{5}{3}\)

作者: Almighty 時間: 2019-4-22 13:07 標題: 回復 25# Juin 的帖子、回復 26# thepiano 的帖子

第三題我只印象有log_2(x)的東西
其他部分我都不是很確定
所以只是給的大概而已

回復 26# thepiano 的帖子
了解，感謝老師解惑

作者: Almighty 時間: 2019-4-22 13:09 標題: 回復 20# math123 的帖子

我只印象有一組三點共線
和一組四點共線
詳細就不確定惹

作者: d3054487667 時間: 2019-4-23 20:49 標題: 回復 23# kuo 的帖子

沒錯，圖形跟20F畫的一樣，
然後題目還有A、C、N三點共線的條件，沒有四點共線。
我記得把角度標一標，假設一下邊長，利用正弦就可以解出來了。

作者: satsuki931000 時間: 2019-4-23 20:54

第10題
過點\((p,4)\)對曲線\(f(x)=x^3-3x^2+4\)作切線，若僅能作一條切線，則\(p\)的範圍為何？

個人想法
還請老師指教

圖片附件: DBF88478-4384-4DFE-9F87-DB3A2645A82F.png (2019-4-23 20:54, 270.88 KB) / 該附件被下載次數 3841
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4920&k=8647701ee083d8b9aa660941ef410e08&t=1714161648

作者: Sandy 時間: 2019-4-24 15:47 標題: 回復 1# Almighty 的帖子

學校公布的答案

[ 本帖最後由 Sandy 於 2019-4-24 15:48 編輯 ]

附件: 1081-1教師甄選答案卷數學科填充題(答案修正版).pdf (2019-4-24 15:48, 187.73 KB) / 該附件被下載次數 4746
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4922&k=373c6e0abfe2fbb0e496835d444f1170&t=1714161648

作者: royan0837 時間: 2019-4-24 16:01

紀錄一下，最低錄取 48 分。

作者: satsuki931000 時間: 2019-4-24 22:04

想請問計算1 2題

作者: satsuki931000 時間: 2019-4-24 22:42

然後第18題的做法應該是這樣

圖片附件: 6FD27E69-55E8-412C-B7AB-E42CC0A3714A.png (2019-4-24 22:42, 288.26 KB) / 該附件被下載次數 3943
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4924&k=cb64eebeb74d6ca51c0dcc68c5e5b82f&t=1714161648

圖片附件: BE839688-0B32-4AF1-8241-A9396E719386.png (2019-4-24 22:42, 202.74 KB) / 該附件被下載次數 3945
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作者: thepiano 時間: 2019-4-24 23:49 標題: 回復 33# satsuki931000 的帖子

計算第 2 題
100 中壢高中和鳳山高中考過

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-25 00:01 編輯 ]

作者: satsuki931000 時間: 2019-4-25 07:26 標題: 回復 35# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師

作者: Uukuokuo 時間: 2019-4-25 11:21

請問填充14

作者: thepiano 時間: 2019-4-25 12:22 標題: 回復 37# Uukuokuo 的帖子

第 14 題
\(\begin{align}
& P\left( x,y,z \right) \\
& x+y+z=0 \\
& \\
& {{\overline{PA}}^{2}}+{{\overline{PB}}^{2}}+{{\overline{PC}}^{2}} \\
& =3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3{{y}^{2}}+2+{{\left( z-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}} \\
& =3\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}} \right]+10 \\
& \ge 3\times \frac{{{\left( x+y+z-3 \right)}^{2}}}{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}+10 \\
& =19 \\
\end{align}\)
等號成立於\(x=0,y=-1,z=1\)

作者: satsuki931000 時間: 2019-4-25 13:53

14另解

圖片附件: 8938093E-C234-4F60-AE18-3349587F4343.png (2019-4-25 13:53, 249.97 KB) / 該附件被下載次數 3861
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4926&k=899d5062fe79bff80f90c8a1e9186201&t=1714161648

圖片附件: BFBADED0-2634-4409-9706-CAC7C61F063F.png (2019-4-25 13:53, 226.34 KB) / 該附件被下載次數 3803
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4927&k=fb43ff8114e5b1b836458b932bd4fc06&t=1714161648

作者: Almighty 時間: 2019-4-25 14:15 標題: 回復 37# Uukuokuo 的帖子

填充14，可以找三點的重心做投影即可，與平均值有關聯。

作者: royan0837 時間: 2019-4-25 15:47 標題: 回復 25# Juin 的帖子

第三題題目是這個沒錯！
-
設 \( \log_2{x}=t \)

則 \(\begin{align} f(x)=\frac{6\log_{\sqrt{2}}{x}-8}{1+4(\log_2{x})^2}=\frac{12t-8}{1+4t^2} \end{align}\)

令 \(\begin{align} g(t)=\frac{12t-8}{1+4t^2} \end{align}\)，微分求極值

(不確定能不能這樣微分求值，不過答案是對的...)

[ 本帖最後由 royan0837 於 2019-4-25 15:52 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2019-4-25 16:31

引用:

原帖由 royan0837 於 2019-4-25 15:47 發表
第三題題目是這個沒錯！
-
設 \( \log_2{x}=t \)

則 \(\begin{align} f(x)=\frac{6\log_{\sqrt{2}}{x}-8}{1+4(\log_2{x})^2}=\frac{12t-8}{1+4t^2} \end{align}\)

令 \(\begin{align} g(t)=\frac{12t-8}{1+4t^2} \en ...

可以算~
解出來跟官方給的答案一樣~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-4-25 16:32 編輯 ]

作者: 王重鈞 時間: 2019-4-25 17:41 標題: 11題另解供參考

利用算幾不等式

圖片附件: received_338643106790520.jpeg (2019-4-25 17:41, 60.93 KB) / 該附件被下載次數 2968
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4929&k=6a2c9c67908695358a1c55d88e1bb8d6&t=1714161648

作者: mojary 時間: 2019-4-30 13:48

提供想法，填五：令\[x=3^{n}\]
帶入，因為取中位數。

填十五，利用長除法，得到
\[\frac{(n+11)(n^{2}-11n+121)-1223}{n+11}\]
當n=1212，時，有整數。

想請教填2與計1。謝謝

感謝鋼琴老師、Ellipse師、satsuki師

[ 本帖最後由 mojary 於 2019-5-1 13:23 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2019-4-30 20:15 標題: 回復 44# mojary 的帖子

填充第 2 題
把 y = bx + c 想成 x 軸
y = x^6 - 10x^5 + 29x^4 + kx^3 + ax^2 恰有三組等根
由根與係數，所求 = 10/2 = 5

計算第 1 題
定坐標 P(x，y，z)、A(0，0，0)、B(t，0，0)、C(t，t，0)、E(0，0，t)
列出四條方程，把 x、y、z 用 t 表示，可得一個四次方程
再來求出邊長 t 及體積，答案蠻醜的

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-30 20:44 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2019-4-30 22:12

引用:

原帖由 thepiano 於 2019-4-30 20:15 發表
填充第 2 題
把 y = bx + c 想成 x 軸
y = x^6 - 10x^5 + 29x^4 + kx^3 + ax^2 恰有三組等根
由根與係數，所求 = 10/2 = 5

計算第 1 題
定坐標 P(x，y，z)、A(0，0，0)、B(t，0，0)、C(t，t，0)、E(0，0，t)
列出四條方程，把 x、y、z 用 t ...

答案這麼醜~~想問這些資料數據是正確嗎?

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-4-30 22:32 編輯 ]

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作者: satsuki931000 時間: 2019-4-30 22:45

這個難算程度⋯
好吧還算勉強能接受的範圍

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作者: gamaisme 時間: 2019-5-1 09:51 標題: 回復 40# Almighty 的帖子

Almighty老師，想請教跟平均值關係的細節

作者: Almighty 時間: 2019-5-1 10:36 標題: 回復 48# gamaisme 的帖子

考慮數線上（因為有平方的關係）
(x-a)^2+(x-b)^2+(x-c)^2之最小值
同理，y,z座標部分也是

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作者: Chen 時間: 2019-6-9 12:38

回復 45,47樓

後來官方公佈題目，正確題目是PB=PD=根號3，不是PC=根號3。

作者: Superconan 時間: 2019-7-28 15:30

請問填充5、計算B
填充12 我算的答案不知為何少兩倍

[ 本帖最後由 Superconan 於 2019-7-28 15:51 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2019-7-28 18:29 標題: 回復 51# Superconan 的帖子

這 3 題前面幾頁都有答案或提示了

作者: Superconan 時間: 2019-7-28 20:48 標題: 回復 52# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師回覆～

填充第 5 題
我有看到提示是說 x 用 3^n 代入，但是我代入以後不知道怎麼整理出答案

填充第 12 題
抱歉我剛剛看走眼，以為 Almighty 老師的解法數據不對，我想請問我的作法哪裡應該修正？

計算第 B 題
這真的是看太快，剛剛仔細看了一下，才發現鋼琴老師有提供題目來源

另外想請問，有時候看到瑋岳老師會將網友上傳的照片檔壓縮，比較方便觀看。不知道老師是用什麼方法壓縮的？

[ 本帖最後由 Superconan 於 2019-7-28 21:02 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2019-7-28 23:11 標題: 回復 53# Superconan 的帖子

照片可以用 Windows 內建的小畫家調整一下大小，或是內建的相片功能套用濾鏡自動調整或是整亮度，再儲存副本，通常就能有效縮小檔案大小，加快圖片檔的載入速度。

填充5：最小值為 \(\displaystyle\left(3^{2n}-3\right)+\left(3^{2n-1}-3^2\right)+\left(3^{2n-2}-3^3\right)+\cdots+\left(3^{n+1}-3^n\right)\)

　　　　　　　　 \(\displaystyle=3^{n+1}\left(1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}\right)-3\left(1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}\right)\)

　　　　　　　　 \(\displaystyle=3\left(3^n-1\right)\left(1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}\right)\)

　　　　　　　　 \(\displaystyle=3\left(3^n-1\right)\left(\frac{1\cdot\left(3^n-1\right)}{3-1}\right)\)

　　　　　　　　 \(\displaystyle=\frac{3}{2}\left(3^n-1\right)^2\)

填充12：\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{2n}\right)^2}=2\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{2n}\right)^2}=2\int_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-x^2} dx\)

作者: Ellipse 時間: 2019-7-29 09:50 標題: 回復 53# Superconan 的帖子

可用LINE裡面截圖功能, 這樣照片檔案就會比較小

作者: weni 時間: 2019-10-24 20:31 標題: 回復 34# satsuki931000 的帖子

請問，第一個答案為什麼可以？題目說…頂角Φ不為直角…

作者: lyingheart 時間: 2019-10-24 21:31

介紹一個內外心距離的公式
假設三角形內心 \( I \) ，外心 \( O \) ，內切圓與外接圓半徑分別為 \( r \)與\( R \)，
那麼 \(\displaystyle OI^2=R^2-2Rr \)。
用在此題上，假設 \( r=1 \)，會有 \( R=\sqrt2+1 \)
計算出 \( OI=1 \)
於是 \( AI \) 可能為 \( R+OI=2+\sqrt2 \) 或是 \( R-OI=\sqrt2 \)
就可以簡單求出 \(\displaystyle \sin{\frac{\phi}{2}}=\frac{2-\sqrt2}{2} \) 或是 \(\displaystyle \sin{\frac{\phi}{2}}=\frac{1}{\sqrt2} \)
但是如你所說，後者頂角變成直角，不應該是答案。

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2019-10-24 21:32 編輯 ]

作者: yinyu222 時間: 2019-10-27 01:22

第10題
如果 P=0 (0,4) 這點不是剛好在f(x) 的極值上，切線不是只有y=4這條，為什麼答案沒有給 p=0 的情況？？

作者: thepiano 時間: 2019-10-27 07:22 標題: 回復 58# yinyu222 的帖子

過 (0，4) 可作三條，分別在\(x=0,\frac{-3\pm \sqrt{57}}{4}\)處

作者: weni 時間: 2019-10-29 20:40 標題: 回復 57# lyingheart 的帖子

謝謝老師！((趕快筆記！

作者: yhsy 時間: 2021-2-6 15:39

填充6

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5741&k=a52248b1ee54961e98678a31c21adfe5&t=1714161648

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