Board logo

標題: 108麗山高中 [打印本頁]

作者: Almighty    時間: 2019-4-19 23:45     標題: 108麗山高中

再勞煩大家一起補充、修正
填充題18題(4分)
計算題ㄧ (8分)
計算題二 (4分+4分)
計算題素養(12分)
-------------------------------------
由於題目的還原度並非百分百
所提供出來的答案也並非完全正確
避免造成其他人的不適,故先移除
(也感謝熱心夥伴提供題目的完整性與修正)
-------------------------------------
進複試最低分數:48分

108.5.7版主補充
4.
從集合\( \{\;2,2^2,2^3,\ldots,2^{25} \}\; \)中任意選取兩個不同的數\(a\)及\(b\)。試問\(log_a b\)為整數的機率是多少?
(2005AMC12,https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_23)

16.
求\(\displaystyle \int_{-1}^7 -2+\sqrt{-x^2+6x+7}dx\)。

(1)描繪出函數\(y=-2+\sqrt{-x^2+6x+7}\)的圖形。
(2)求定積分\(\displaystyle \int_{-1}^7 -2+\sqrt{-x^2+6x+7}dx\)。(請試以高中理科數學所教定積分與面積關係解之)
(89高中數學能力競賽 高屏區,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

計算題
1.
設\(P\)為正方體\(ABCD-EFGH\)內部一點,今已知\(\overline{PA}=\sqrt{2},\overline{PB}=\overline{PD}=\sqrt{3},\overline{PE}=\sqrt{2}\),試問此正立方體的稜長為?
(89高中數學能力競賽 宜花東區,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

設\(P\)為正立方體\(ABCDEFGH\)內部一點,且滿足\(\displaystyle \overline{PA}=\overline{PB}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\),\(\displaystyle \overline{PF}=\overline{PC}=\frac{\sqrt{107}}{2}\),求此正立方體的邊長。
(100高中數學能力競賽 台中區複賽筆試二試題,https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

附件: [2019/04/2115:09更新] 108年麗山高中教師甄選試題.pdf (2019-5-8 20:29, 119.36 KB) / 該附件被下載次數 1579
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4904&k=00392bdfcc46d92c5ba6c17ae70524e5&t=1566258277

附件: 1081-1教師甄選答案卷數學科填充題(答案修正版).pdf (2019-4-24 17:12, 187.73 KB) / 該附件被下載次數 676
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4923&k=42ededa90f9b59166b99017d3aeb3fea&t=1566258277

附件: 108麗山高中(官方版).pdf (2019-5-11 08:22, 557.43 KB) / 該附件被下載次數 521
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5032&k=06ca893d0dc396089e8bb5f79ffd0c7d&t=1566258277
作者: Sandy    時間: 2019-4-20 09:28

第三題的口是4
作者: Christina    時間: 2019-4-20 10:19     標題: 回復 1# Almighty 的帖子

第八題 第n次 點數和為偶數的機率

計算2 f(0)=1,f’(0)=1
作者: satsuki931000    時間: 2019-4-20 10:49

11題
數對(n,M)
\(M=x^4-y^4\)有極值時
\(x+y=n\)
作者: Christina    時間: 2019-4-20 12:34     標題: 回復 1# Almighty 的帖子

第9題 好像是1/2-1/2019!@@?
作者: thepiano    時間: 2019-4-20 15:44     標題: 回復 5# Christina 的帖子

第 9 題
您的答案正確

\(\begin{align}
  & \frac{n+2}{n!+\left( n+1 \right)!+\left( n+2 \right)!} \\
& =\frac{n+2}{n!\left( 1+n+1+{{n}^{2}}+3n+2 \right)} \\
& =\frac{1}{n!\left( n+2 \right)} \\
& =\frac{n+2-1}{\left( n+2 \right)!} \\
& =\frac{1}{\left( n+1 \right)!}-\frac{1}{\left( n+2 \right)!} \\
\end{align}\)
作者: thepiano    時間: 2019-4-20 15:58     標題: 回復 1# Almighty 的帖子

第 1 題
答案是 125
作者: Christina    時間: 2019-4-20 21:41     標題: 回復 7# thepiano 的帖子

請教鋼琴老師第一題該怎麼算?

另外請教第13題。謝謝老師幫忙
作者: d3054487667    時間: 2019-4-20 22:10     標題: 回復 8# Christina 的帖子

找出兩根,然後用棣美弗定理找同界角就可以了
作者: Christina    時間: 2019-4-20 22:16     標題: 回復 9# d3054487667 的帖子

謝謝老師幫忙。我再想一想^_^
作者: Almighty    時間: 2019-4-20 22:39     標題: 填充1

反面算

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-4-20 22:41 編輯 ]

圖片附件: S__69091331.jpg (2019-4-20 22:41, 248.23 KB) / 該附件被下載次數 113
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4905&k=55c61de77237f798e41cf4eb4728d25f&t=1566258277


作者: thepiano    時間: 2019-4-20 22:39     標題: 回復 8# Christina 的帖子

第 1 題
若 5 座島兩兩之間都有通道,則有 C(5,2) = 10 條通道
從 10 條通道中選 4 條,有 C(10,4) = 210 種選法

以下情形不能讓 5 座島相通,須扣除
(1) 其中 3 座相通(用 3 條通道),另 2 座也相通(用 1 條通道),但此二系統不互通
有 C(5,3) = 10 種情形

(2) 其中 4 座相通(用 4 條通道),另 1 座獨立
有 C(5,4) * C(6,4) = 75 種情形

所求 = 210 - 10 - 75 = 125
作者: thepiano    時間: 2019-4-21 00:01     標題: 回復 8# Christina 的帖子

第 13 題
\(\begin{align}
  & \alpha \beta =1 \\
& {{S}_{1}}=\alpha +\beta =1 \\
& {{S}_{2}}={{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}=-1 \\
& {{S}_{3}}=\left( \alpha +\beta  \right)\left( {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}} \right)-\alpha \beta \left( \alpha +\beta  \right)={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=-2 \\
& {{S}_{4}}=\left( \alpha +\beta  \right)\left( {{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}} \right)-\alpha \beta \left( {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}} \right)={{S}_{3}}-{{S}_{2}}=-1 \\
& {{S}_{5}}={{S}_{4}}-{{S}_{3}}=1 \\
& {{S}_{6}}={{S}_{5}}-{{S}_{4}}=2 \\
& {{S}_{7}}={{S}_{6}}-{{S}_{5}}=1 \\
& {{S}_{8}}={{S}_{7}}-{{S}_{6}}=-1 \\
\end{align}\)
六個一循環
所求\(=[\frac{100}{6}]\times 2+1=33\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-21 00:29 編輯 ]
作者: z78569    時間: 2019-4-21 12:40     標題: 回復 1# Almighty 的帖子

不好意思,想請教第12題,小弟的答案不太一樣
感謝老師回應

[ 本帖最後由 z78569 於 2019-4-21 13:14 編輯 ]
作者: Almighty    時間: 2019-4-21 15:00     標題: 回復 14# z78569 的帖子

我根據題目重試一次
答案應該是如圖片所示
但12題其實我有點忘記正確題目數據
(在看有沒有其他夥伴能夠提供更正確的題目
或是 等待學校公告考題)

圖片附件: S__69107806.jpg (2019-4-21 15:00, 214.74 KB) / 該附件被下載次數 107
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4906&k=cdf80ce8010d7b872a71ae0363544d19&t=1566258277


作者: z78569    時間: 2019-4-21 17:42     標題: 回復 15# Almighty 的帖子

感謝Almighty老師的分享,我了解自己錯在哪裡了

另外想請教填充六有沒有其他作法(小弟覺得自己的做法太麻煩了,考試當場沒有做出來)

還有填充18、計算題一
希望有老師可以指導一下

感謝!

[ 本帖最後由 z78569 於 2019-4-21 18:13 編輯 ]

圖片附件: 57352944_413824219414239_4836647596413943808_n.jpg (2019-4-21 17:46, 210.38 KB) / 該附件被下載次數 97
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4907&k=da5d44cc1bba0605a0e6bd9e53fda48c&t=1566258277


作者: Ellipse    時間: 2019-4-21 20:53

引用:
原帖由 z78569 於 2019-4-21 17:42 發表

還有填充18、計算題一
希望有老師可以指導一下
感謝! ...
填六:
W.L.O.G 假設OA=OB=OC=OD=1
由正弦及畢氏定理知,BD=√(2+√3) , AB=√2 ,BC=√2 ,CD=√3,DA=1
座標化:令O(0,0) ,A(-1,0) ,B(0,1),C(1,0) ,假設D(x,y), DK垂直AC交AC於K點
則在三角形ADC中,由AC*DK=AD*DC ,可知D(x,y)=(-1/2 ,-√3/2)
向量BD=(-1/2 , (-√3/2)-1) =a(-1,0)+b(0,-1) ,解出 a=1/2 ,b= (-√3-2)/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-4-21 21:03 編輯 ]
作者: Almighty    時間: 2019-4-21 22:20     標題: 回復 16# z78569 的帖子

填充6
(若有誤在煩請糾正)

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-5-8 20:51 編輯 ]

圖片附件: S__69124113.jpg (2019-5-8 20:51, 428.03 KB) / 該附件被下載次數 109
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4909&k=56cd5da3e2dfc85542a54ffbb3f8f3a2&t=1566258277


作者: jasonmv6124    時間: 2019-4-21 23:46

可以請教第11題嗎?
作者: math123    時間: 2019-4-21 23:51

第17題圖應該是這個
三角形和正八邊形只知線段CF=2 求線段AH長

圖片附件: 17.jpg (2019-4-21 23:51, 45.21 KB) / 該附件被下載次數 75
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4912&k=4b100b94979c5257ec258aa499b58802&t=1566258277


作者: thepiano    時間: 2019-4-22 08:02     標題: 回復 19# jasonmv6124 的帖子

第 11 題
\(\begin{align}
  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=x+y=n \\
& xy=\frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{2}=\frac{{{n}^{2}}-n}{2} \\
& {{\left( x-y \right)}^{2}}={{\left( x+y \right)}^{2}}-4xy={{n}^{2}}-4\times \frac{{{n}^{2}}-n}{2}=-{{n}^{2}}+2n \\
& x-y=\pm \sqrt{-{{n}^{2}}+2n} \\
& {{x}^{4}}-{{y}^{4}}=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( x+y \right)\left( x-y \right)=\pm {{n}^{2}}\sqrt{-{{n}^{2}}+2n}=\pm \sqrt{-{{n}^{6}}+2{{n}^{5}}} \\
\end{align}\)
微分可知,\(n=\frac{5}{3}\)時,有最大值\(\frac{25}{27}\sqrt{5}\)
作者: Almighty    時間: 2019-4-22 08:38     標題: 回復 21# thepiano 的帖子

請問“鋼琴老師”
我也是用相同方法處理
想藉此詢問一下
是否須考慮x y在圓上的範圍區域限制?

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-4-22 09:16 編輯 ]
作者: kuo    時間: 2019-4-22 10:09     標題: 回復 20# math123 的帖子

我記得還有A、C跟奇怪的框框那點共線
作者: jasonmv6124    時間: 2019-4-22 10:13     標題: 回復 21# thepiano 的帖子

非常感謝鋼琴老師
作者: Juin    時間: 2019-4-22 10:26     標題: 回復 1# Almighty 的帖子

填充3. 題目跟我記憶不太一樣,題目放在附檔

圖片附件: [印象第三題題目長這樣] 麗山高中第三題.jpg (2019-4-22 10:26, 118.2 KB) / 該附件被下載次數 57
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4915&k=5d10eced9d55acf59b9f1cbcc64fe4db&t=1566258277


作者: thepiano    時間: 2019-4-22 10:47     標題: 回復 22# Almighty 的帖子

不用,等號會成立在\(x=\frac{5+\sqrt{5}}{6},y=\frac{5-\sqrt{5}}{6}\)
而它符合\(x+y={{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{5}{3}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-22 10:53 編輯 ]
作者: Almighty    時間: 2019-4-22 13:07     標題: 回復 25# Juin 的帖子、回復 26# thepiano 的帖子

第三題我只印象有log_2(x)的東西
其他部分我都不是很確定
所以只是給的大概而已

回復 26# thepiano 的帖子
了解,感謝老師解惑

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-4-22 13:08 編輯 ]
作者: Almighty    時間: 2019-4-22 13:09     標題: 回復 20# math123 的帖子

我只印象有一組三點共線
和 一組四點共線
詳細就不確定惹
作者: d3054487667    時間: 2019-4-23 20:49     標題: 回復 23# kuo 的帖子

沒錯,圖形跟20F畫的一樣,
然後題目還有A、C、N三點共線的條件,沒有四點共線。
我記得把角度標一標,假設一下邊長,利用正弦就可以解出來了。
作者: satsuki931000    時間: 2019-4-23 20:54

第10題個人想法
還請老師指教


圖片附件: DBF88478-4384-4DFE-9F87-DB3A2645A82F.png (2019-4-23 20:54, 270.88 KB) / 該附件被下載次數 121
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4920&k=44a792cbe22dcc01db5e4c5ef80abc3d&t=1566258277


作者: Sandy    時間: 2019-4-24 15:47     標題: 回復 1# Almighty 的帖子

學校公布的答案

[ 本帖最後由 Sandy 於 2019-4-24 15:48 編輯 ]

附件: 1081-1教師甄選答案卷數學科填充題(答案修正版).pdf (2019-4-24 15:48, 187.73 KB) / 該附件被下載次數 230
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4922&k=fc68aa6644c5ca72be59349106184f01&t=1566258277
作者: royan0837    時間: 2019-4-24 16:01

紀錄一下,最低錄取 48 分。
作者: satsuki931000    時間: 2019-4-24 22:04

想請問計算1 2題
作者: satsuki931000    時間: 2019-4-24 22:42

然後第18題的做法應該是這樣



圖片附件: 6FD27E69-55E8-412C-B7AB-E42CC0A3714A.png (2019-4-24 22:42, 288.26 KB) / 該附件被下載次數 131
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4924&k=17518f67d58e2878024f6e9f0fc6e44b&t=1566258277



圖片附件: BE839688-0B32-4AF1-8241-A9396E719386.png (2019-4-24 22:42, 202.74 KB) / 該附件被下載次數 118
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4925&k=c326bb350d09e157ef1639adc38f65e0&t=1566258277


作者: thepiano    時間: 2019-4-24 23:49     標題: 回復 33# satsuki931000 的帖子

計算第 2 題
100 中壢高中和鳳山高中考過

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-25 00:01 編輯 ]
作者: satsuki931000    時間: 2019-4-25 07:26     標題: 回復 35# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師
作者: Uukuokuo    時間: 2019-4-25 11:21

請問填充14
作者: thepiano    時間: 2019-4-25 12:22     標題: 回復 37# Uukuokuo 的帖子

第 14 題
\(\begin{align}
  & P\left( x,y,z \right) \\
& x+y+z=0 \\
&  \\
& {{\overline{PA}}^{2}}+{{\overline{PB}}^{2}}+{{\overline{PC}}^{2}} \\
& =3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3{{y}^{2}}+2+{{\left( z-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}} \\
& =3\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}} \right]+10 \\
& \ge 3\times \frac{{{\left( x+y+z-3 \right)}^{2}}}{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}+10 \\
& =19 \\
\end{align}\)
等號成立於\(x=0,y=-1,z=1\)
作者: satsuki931000    時間: 2019-4-25 13:53

14另解



圖片附件: 8938093E-C234-4F60-AE18-3349587F4343.png (2019-4-25 13:53, 249.97 KB) / 該附件被下載次數 114
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4926&k=6d17560cae3a5257ebbd91d0481b9715&t=1566258277



圖片附件: BFBADED0-2634-4409-9706-CAC7C61F063F.png (2019-4-25 13:53, 226.34 KB) / 該附件被下載次數 118
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4927&k=9e8022b63abb7f0ed6be00e088218327&t=1566258277


作者: Almighty    時間: 2019-4-25 14:15     標題: 回復 37# Uukuokuo 的帖子

填充14,可以找三點的重心做投影即可,與平均值有關聯。
作者: royan0837    時間: 2019-4-25 15:47     標題: 回復 25# Juin 的帖子

第三題題目是這個沒錯!
-
設 \( \log_2{x}=t \)

則 \(\begin{align} f(x)=\frac{6\log_{\sqrt{2}}{x}-8}{1+4(\log_2{x})^2}=\frac{12t-8}{1+4t^2} \end{align}\)

令 \(\begin{align} g(t)=\frac{12t-8}{1+4t^2} \end{align}\),微分求極值

(不確定能不能這樣微分求值,不過答案是對的...)

[ 本帖最後由 royan0837 於 2019-4-25 15:52 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2019-4-25 16:31

引用:
原帖由 royan0837 於 2019-4-25 15:47 發表
第三題題目是這個沒錯!
-
設 \( \log_2{x}=t \)

則 \(\begin{align} f(x)=\frac{6\log_{\sqrt{2}}{x}-8}{1+4(\log_2{x})^2}=\frac{12t-8}{1+4t^2} \end{align}\)

令 \(\begin{align} g(t)=\frac{12t-8}{1+4t^2} \en ...
可以算~
解出來跟官方給的答案一樣~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-4-25 16:32 編輯 ]
作者: 王重鈞    時間: 2019-4-25 17:41     標題: 11題另解供參考

利用算幾不等式

圖片附件: received_338643106790520.jpeg (2019-4-25 17:41, 60.93 KB) / 該附件被下載次數 86
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4929&k=701bbe4f8759d2cdf01b4f4d9d8f44d6&t=1566258277


作者: mojary    時間: 2019-4-30 13:48

提供想法,填五:令\[x=3^{n}\]
帶入,因為取中位數。

填十五,利用長除法,得到
\[\frac{(n+11)(n^{2}-11n+121)-1223}{n+11}\]
當n=1212,時,有整數。

想請教填2與計1。謝謝

感謝鋼琴老師、Ellipse師、satsuki師

[ 本帖最後由 mojary 於 2019-5-1 13:23 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2019-4-30 20:15     標題: 回復 44# mojary 的帖子

填充第 2 題
把 y = bx + c 想成 x 軸
y = x^6 - 10x^5 + 29x^4 + kx^3 + ax^2 恰有三組等根
由根與係數,所求 = 10/2 = 5

計算第 1 題
定坐標 P(x,y,z)、A(0,0,0)、B(t,0,0)、C(t,t,0)、E(0,0,t)
列出四條方程,把 x、y、z 用 t 表示,可得一個四次方程
再來求出邊長 t 及體積,答案蠻醜的

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-30 20:44 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2019-4-30 22:12

引用:
原帖由 thepiano 於 2019-4-30 20:15 發表
填充第 2 題
把 y = bx + c 想成 x 軸
y = x^6 - 10x^5 + 29x^4 + kx^3 + ax^2 恰有三組等根
由根與係數,所求 = 10/2 = 5

計算第 1 題
定坐標 P(x,y,z)、A(0,0,0)、B(t,0,0)、C(t,t,0)、E(0,0,t)
列出四條方程,把 x、y、z 用 t  ...
答案這麼醜~~想問這些資料數據是正確嗎?

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-4-30 22:32 編輯 ]

圖片附件: 1556633472529.jpg (2019-4-30 22:12, 8.73 KB) / 該附件被下載次數 82
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4994&k=6c74b06bf73192457d22240ad5134581&t=1566258277


作者: satsuki931000    時間: 2019-4-30 22:45

這個難算程度⋯
好吧還算勉強能接受的範圍


圖片附件: 92E955DF-08D1-42EA-875A-14EE6A2B12A7.png (2019-4-30 22:45, 308.71 KB) / 該附件被下載次數 134
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4995&k=9088d8a4bbefe0e4423f1bbe1052a7dc&t=1566258277


作者: gamaisme    時間: 2019-5-1 09:51     標題: 回復 40# Almighty 的帖子

Almighty老師,想請教跟平均值關係的細節
作者: Almighty    時間: 2019-5-1 10:36     標題: 回復 48# gamaisme 的帖子

考慮數線上(因為有平方的關係)
(x-a)^2+(x-b)^2+(x-c)^2之最小值
同理,y,z座標部分也是

圖片附件: S__69918729.jpg (2019-5-1 10:36, 155.89 KB) / 該附件被下載次數 101
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4996&k=8911712ad6f9e665fd7743c402cd2f84&t=1566258277


作者: Chen    時間: 2019-6-9 12:38

回復 45,47樓

後來官方公佈題目,正確題目是PB=PD=根號3,不是PC=根號3。
作者: Superconan    時間: 2019-7-28 15:30

請問填充5、計算B
填充12 我算的答案不知為何少兩倍

[ 本帖最後由 Superconan 於 2019-7-28 15:51 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2019-7-28 18:29     標題: 回復 51# Superconan 的帖子

這 3 題前面幾頁都有答案或提示了
作者: Superconan    時間: 2019-7-28 20:48     標題: 回復 52# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師回覆~

填充第 5 題
我有看到提示是說 x 用 3^n 代入,但是我代入以後不知道怎麼整理出答案


填充第 12 題
抱歉我剛剛看走眼,以為 Almighty 老師的解法數據不對,我想請問我的作法哪裡應該修正?


計算第 B 題
這真的是看太快,剛剛仔細看了一下,才發現鋼琴老師有提供題目來源

另外想請問,有時候看到瑋岳老師會將網友上傳的照片檔壓縮,比較方便觀看。不知道老師是用什麼方法壓縮的?

[ 本帖最後由 Superconan 於 2019-7-28 21:02 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2019-7-28 23:11     標題: 回復 53# Superconan 的帖子

照片可以用 Windows 內建的小畫家調整一下大小,或是內建的 相片 功能套用濾鏡自動調整或是整亮度,再儲存副本,通常就能有效縮小檔案大小,加快圖片檔的載入速度。

填充5:最小值為 \(\displaystyle\left(3^{2n}-3\right)+\left(3^{2n-1}-3^2\right)+\left(3^{2n-2}-3^3\right)+\cdots+\left(3^{n+1}-3^n\right)\)

         \(\displaystyle=3^{n+1}\left(1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}\right)-3\left(1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}\right)\)

         \(\displaystyle=3\left(3^n-1\right)\left(1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}\right)\)

         \(\displaystyle=3\left(3^n-1\right)\left(\frac{1\cdot\left(3^n-1\right)}{3-1}\right)\)

         \(\displaystyle=\frac{3}{2}\left(3^n-1\right)^2\)

填充12:\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{2n}\right)^2}=2\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{2n}\right)^2}=2\int_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-x^2} dx\)
作者: Ellipse    時間: 2019-7-29 09:50     標題: 回復 53# Superconan 的帖子

可用LINE裡面截圖功能, 這樣照片檔案就會比較小




歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0