Math Pro 數學補給站

標題: 108新竹高中 [打印本頁]

作者: royan0837 時間: 2019-4-13 16:25 標題: 108新竹高中

如果遺漏條件再請老師們補充
填充7和計算1是完全沒印象...
想請教計算2，謝謝！
-
補充：
填充1. 方程式條件：\(f(x)\)為整係數方程式

填充7. 是 a為實數，\(x^3-(a^2-2a-2)x-2a^2-2a=0\) 有3個整數根，求a之可能的值

填充9. 一個邊長為1的正立方體 \(ABCD-EFGH\)在\(AB\)、\(AD\)、\(AE\)邊上分別取中點\(P\)、\(Q\)、\(R\)並以三角形\(PQR\)為底面做一個三角柱，此三角柱的另一個面也在正立方體的表面上求三角柱體積

填充10. 四面體\(OABC\)，\(OA=1,OB=2,OA=3\) ，底面\(\angle {ABC}, \angle{BCA}\) 皆為銳角（我忘記是哪兩個角），\(\angle{AOB}=10^\circ, \angle {BOC}=50^\circ, \angle{COA}=70^\circ\) （不確定是不是30度），平面\(ABO\)和平面\(BOC\) 夾\(70^\circ\)，求四面體體積

計算3. 遞迴式裡面是加號：\(a_n=(1+\frac{1}{n-1})a_{n-1}+\frac{n}{2^{n-1}},~n\geq 2\)

感謝底下幫忙回憶的老師們～

圖片附件: 108竹中.jpg (2019-4-15 09:08, 1.44 MB) / 該附件被下載次數 4806
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4872&k=b20292ee76f98c080082d26b0b5e1963&t=1713613451

附件: 108新竹高中.pdf (2019-4-18 00:07, 124.79 KB) / 該附件被下載次數 7316
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4879&k=f2033b4214d4d4cf07dbeba07a6557d0&t=1713613451

作者: Christina 時間: 2019-4-13 17:11

計1 （1）求\(∠C\)為何
（2）若\(a+b=kc\)求\(k\)的最大還是最小值？

作者: z78569 時間: 2019-4-13 17:12

（已更正圖片）先分享三題，希望小弟沒有做錯...
填充3.
求方程式\((\sqrt{x}+1)sinx=4\)在區間\(\left[0,20\pi \right]\)的實根個數為　　　。

計算3.
設數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的遞迴關係式如下：
\(\cases{\displaystyle a_1=1 \cr a_n=(1+\frac{1}{n-1}a_{n-1})+\frac{n}{2^{n-1}}}(n \ge 2,n \in N)\)
(1)求數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的一般式(以\(n\))表示。
(2)若數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，則\(S_{11}=\)？

計算5.
不透明箱內有編號分別為1至20的二十個球，每次隨機取出一個球，每球取到的機率都相同，記錄其編號後放回箱內；將前\(n\)次取球編號之總和為3的倍數的機率以\(P_n\)表示。
(1)試求\(P_n\)(以\(n\)表示)。
(2)試求滿足\(\displaystyle |\; P_n-\lim_{n \to \infty}P_n|\;<10^{-8}\)的最小自然數\(n\)。

圖片附件: 083E4B1D-AE6F-40A2-971A-2369832EC784.jpeg (2019-4-13 17:12, 1.63 MB) / 該附件被下載次數 4728
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4873&k=2b2a96f7ec0d52a9683504ab1aa87102&t=1713613451

圖片附件: 6EA79EA2-C8C7-42E4-9731-B41373A7C046.jpeg (2019-4-13 17:12, 191.66 KB) / 該附件被下載次數 4151
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4874&k=15f3880e0c8233fc5beaf30312e6ce50&t=1713613451

圖片附件: CCC7B12A-9CC6-4288-94A3-A43692F9B3D2.jpeg (2019-4-13 19:13, 296.22 KB) / 該附件被下載次數 4276
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4876&k=d495539ef471fbe440bc808f56611ac9&t=1713613451

作者: Christina 時間: 2019-4-13 17:16

填充7 一個邊長為1的正立方體 ABCD-EFGH在AB、AD、AE邊上分別取中點P、Q、R並以三角形PQR為底面做一個三角柱，此三角柱的另一個面也在正立方體的表面上求三角柱體積
印象是這樣

[ 本帖最後由 Christina 於 2019-4-13 18:42 編輯 ]

作者: zidanesquall 時間: 2019-4-13 17:26

填充10，四面體\( OABC \)，\( \overline{OA}=1,\overline{OB}=2,\overline{OA}=3 \)，底面\( \angle ABC,\angle BCA \)皆為銳角（我忘記是哪兩個角），\( \angle AOB=10^{\circ}, \angle BOC=30^{\circ}, \angle COA=70^{\circ} \)（不確定是不是30度），求四面體體積

作者: thepiano 時間: 2019-4-13 18:12 標題: 回復 1# royan0837 的帖子

計算第 2 題
設\(f(x)=-x^3+ax^2+bx+c(a,b,c \in R)\)，當\(x<0\)時\(f(x)\)為嚴格遞減函數，\(0<x<1\)時\(f(x)\)為嚴格遞增函數，且\(f(x)=0\)有三個實根，1為其中一個實根。
(1)求\(f(2)\)的範圍。
(2)試就\(a\)值討論直線\(L\)：\(y=x-1\)與曲線\(y=f(x)\)交點的個數。

\(\begin{align}
  & f(x)=-{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c \\
& f'(x)=-3{{x}^{2}}+2ax+b \\
\end{align}\)
\(f\left( x \right)\)在\(\left( -\infty ,0 \right)\)嚴格遞減，在\(\left( 0,1 \right)\)嚴格遞增，\(f\left( 1 \right)=0\)
\(\begin{align}
  & f'\left( 0 \right)=0,b=0 \\
& f'\left( 1 \right)=-3+2a+b>0,a>\frac{3}{2} \\
& f\left( 1 \right)=-1+a+b+c=0,c=1-a \\
&  \\
& f\left( 2 \right)=-8+4a+2b+c=3a-7>-\frac{5}{2} \\
&  \\
& f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+1-a \\
\end{align}\)

第 (2) 小題就討論\(-{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}-x+2-a=\left( x-1 \right)\left[ -{{x}^{2}}+\left( a-1 \right)x+\left( a-2 \right) \right]=0\)之實根個數，就不做了
不過要注意 a = 2 時，有三實根(含兩重根)，但交點數只有 2 個

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-13 18:43 編輯 ]

作者: Sandy 時間: 2019-4-13 18:34 標題: 回復 5# zidanesquall 的帖子

是角BOC=50° 平面ABO和平面BOC 夾70°

作者: Almighty 時間: 2019-4-13 19:12 標題: 回復 4# Christina 的帖子

填充7、9、10

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-4-13 19:22 編輯 ]

圖片附件: 1555154465481.jpg (2019-4-13 19:21, 51.68 KB) / 該附件被下載次數 3913
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4877&k=8c6b96131803e8a0367bb4be70e8f7d0&t=1713613451

作者: Christina 時間: 2019-4-13 19:32

謝謝老師幫忙～～^_^

作者: royan0837 時間: 2019-4-13 19:36 標題: 回復 6# thepiano 的帖子

謝謝piano老師！

作者: zidanesquall 時間: 2019-4-13 19:59

我將題目用tex打成pdf檔，再看看是不是有哪裡有錯，我再修正

（更新）請至14樓下載

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2019-4-14 09:56 編輯 ]

作者: Almighty 時間: 2019-4-13 22:38 標題: 回復 11# zidanesquall 的帖子

第4題，x應該是考慮在0~2*pi之間，相異實數解之和
第8題，點P(z)=cosx+i×sinx(即在單位圓上)，還有P、Q、R不共線

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-4-14 01:26 編輯 ]

作者: Almighty 時間: 2019-4-14 02:36

分享一下，希望如果順利的話
填充8，忘記有沒有強調四邊形頂點順序PQRS
當下畫圖是不符合順序，但似乎剛好一樣結果

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-6-6 20:40 編輯 ]

圖片附件: [填充8] S__72220702.jpg (2019-6-6 20:40, 170.12 KB) / 該附件被下載次數 2885
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4880&k=7b436eeed23b0b8a3e7c6499b9e86b0b&t=1713613451

圖片附件: [計算1] S__68435999.jpg (2019-4-14 02:36, 198.46 KB) / 該附件被下載次數 2994
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4881&k=de7e072cdcf99aa1d1fa5af38cc8e081&t=1713613451

作者: zidanesquall 時間: 2019-4-14 09:54 標題: 回復 12# Almighty 的帖子

感謝修正～～這是修正過的檔案

感謝Amighty，計算五修正完成

感謝鋼琴大，修正完成

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2019-4-14 21:16 編輯 ]

附件: 108新竹高中0414更新版.pdf (2019-4-14 21:16, 91.45 KB) / 該附件被下載次數 4854
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4887&k=2eb3cdb56047aa9e85ad3d80b6836fdc&t=1713613451

作者: Almighty 時間: 2019-4-14 10:03 標題: 回復 14# zidanesquall 的帖子

還有發現，計算5
P_n —lim P_n
誤植成=

作者: z78569 時間: 2019-4-14 11:51

想請教填充1以及填充10

作者: lin200877 時間: 2019-4-14 12:55 標題: 回復 16# z78569 的帖子

填充1
已知關於\(x\)的整係數方程式\(x^2+(k+3)x+(2k+3)=0\)有一正根和一負根，且正根的絕對值小於負根的絕對值，則此方程式的正根為　　　。
[解答]
兩根和\(-(k+3)<0\), 且兩根積\(2k+3<0\)
又因為整係數方程式,所以\(k=-2\)

請問填充4和6,謝謝

作者: czk0622 時間: 2019-4-14 13:06 標題: 回復 17# z78569 的帖子

1.
已知關於\(x\)的整係數方程式\(x^2+(k+3)x+(2k+3)=0\)有一正根和一負根，且正根的絕對值小於負根的絕對值，則此方程式的正根為　　　。
[解答]
\(x^2+(k+3)x+(2k+3)=0\) 有一正根一負根
判別式 \(> 0\) ，兩根積 \(<0\) ，對稱軸 \(x+\frac{k+3}{2}=0\) 在 \(y\) 軸左方
因此 \((k+3)^{2}-4(2k+3)> 0\) ，\(2k+3<0\)，\(\frac{k+3}{2} > 0\)
整理得 \(-3<k<-\frac{3}{2} \)
因為 \(k\) 為整數，所以 \(k=-2\)

10.
四面體\(OABC\)，\(\overline{OA}=1,\overline{OB}=2,\overline{OC}=3\)，\(∠AOB=10^{\circ}\)，\(∠BOC=50^{\circ}\)，\(\Delta AOB\)和\(\Delta BOC\)兩面角為\(70^{\circ}\)，求四面體OABC體積為　　　。
[解答]
體積為 \(\frac{1}{3}\times\)底面積\(\times\)高
\(=\frac{1}{3}\times(\frac{1}{2}\times1\times 2 \times\sin{10^{\circ}})\times(3\times\sin{50^{\circ}}\times\sin{70^{\circ}})\)
\(=\sin{10^{\circ}}\sin{50^{\circ}}\sin{70^{\circ}}\)
\(=\frac{1}{4}\times \sin{30^{\circ}}\)
\(=\frac{1}{8}\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-4-15 20:02 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2019-4-14 16:46 標題: 回復 18# czk0622 的帖子

填充第 1 題
除了判別式\({{\left( k+3 \right)}^{2}}-4\left( 2k+3 \right)>0\)之外，還有兩根和\(-\left( k+3 \right)<0\)及兩根積\(2k+3<0\)
\(\begin{align}
& -3<k<-\frac{3}{2} \\
& k=-2 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-14 16:54 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2019-4-14 17:02 標題: 回復 17# lin200877 的帖子

填充第6題
應是\(0\le x\le 2\pi \)吧？
\(5\sin \left( \frac{\pi }{3}x \right)\)的週期是6，\(3\sin \left( \frac{\pi }{5}x \right)\)的週期是10
分別畫出其圖形，可知\(x=2\pi \)時有最大值
最小值就難囉

作者: jasonmv6124 時間: 2019-4-14 22:47

可以請問填充4.5與計算第4嗎?

作者: Ellipse 時間: 2019-4-14 22:53

引用:

原帖由 thepiano 於 2019-4-14 17:02 發表
填充第6題
應是\(0\le x\le 2\pi \)吧？
\(5\sin \left( \frac{\pi }{3}x \right)\)的週期是6，\(3\sin \left( \frac{\pi }{5}x \right)\)的週期是10
分別畫出其圖形，可知\(x=2\pi \)時有最大值
最小值就難囉 ...

這題不是抄錯~不然就是題目出錯了~照這樣出,產生最小值的x肯定用手算不出來的
x的範圍應該改成類似0<=x<=30這樣,
當x=15/2 ,所求有最大值=5+3=8
當x=45/2 ,所求有最小值=-5-3= -8
(考的是最小公倍數,及如何設計sin(Pi*x/3),sin(Pi*x/5)產生1或-1找到所求最大值,最小值)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-4-14 22:58 編輯 ]

作者: cefepime 時間: 2019-4-14 23:39

第二部分 (計算題)
不透明箱內有編號分別為1至20的二十個球，每次隨機取出一個球，每球取到的機率都相同，記錄其編號後放回箱內；將前\(n\)次取球編號之總和為3的倍數的機率以\(P_n\)表示。
(1)試求\(P_n\)(以\(n\)表示)。
(2)試求滿足\(\displaystyle |\; P_n-\lim_{n \to \infty}P_n|\;<10^{-8}\)的最小自然數\(n\)。

5. (1) 另解: 利用生成函數

球的編號形如 3k+1, 3k+2, 3k 者分別有 7, 7, 6 個。

令 f(x) = ( 7/20 x² + 7/20 x + 6/20 )ⁿ，題意即求 f(x) 中，次數為 3 的倍數之項的係數和。

所求 Pn

= [ f(1) + f(ω) + f(ω²) ] /3 (ω 為 1 的立方虛根)

= [ 1 + (-1/20 )ⁿ + (-1/20 )ⁿ ] /3

= 1/3 + (2/3)*(-1/20)ⁿ

------------------------------------

基於上文 f(x) 的 (...) 內，只有一項係數相異，故將 f(x) 改寫為

f(x) = [ 7/20 x² + 7/20 x + 7/20 + (-1/20) ]ⁿ

可察知展開式的 4ⁿ 個項中，次數為 3m, 3m+1, 3m+2 的項，其係數可以每 3 個彼此相等而歸一組，則只有 (-1/20)ⁿ 此項是孤獨的，而這項屬於次數為 3m 的係數。

即: 若次數為 3m 的項係數和為 Pn，則次數為 3m+1 與 3m+2 的項係數和皆為 Pn - (-1/20)ⁿ

故 Pn + 2*[ Pn - (-1/20)ⁿ ] = 1

⇒ Pn = 1/3 + (2/3)*(-1/20)ⁿ

作者: jasonmv6124 時間: 2019-4-14 23:39 標題: 回復 22# Ellipse 的帖子

我記得他只考最大值應該就沒這個疑慮了

作者: zidanesquall 時間: 2019-4-14 23:51 標題: 回復 24# jasonmv6124 的帖子

是在\(x=\alpha\)時有最大值\(\beta\)嗎？

如果這樣子的話，就要再改一下檔案了XD

作者: czk0622 時間: 2019-4-15 10:15 標題: 回復 19# thepiano 的帖子

感謝thepiano老師修正

作者: mean4136 時間: 2019-4-15 18:46 標題: 回復 25# zidanesquall 的帖子

反過來了，
我記得範圍是x>0
求 f(x)最大值 alpha
而此時最小實數x=beta

作者: thepiano 時間: 2019-4-15 20:03 標題: 回復 17# lin200877 的帖子

填充第 4 題
已知\(0<x<2\pi\)，\(A=\left[\matrix{cos x& cos x \cr cos x&sin x} \right]\)，\(A^n=\left[\matrix{a_n&b_n \cr c_n&d_n} \right]\)，則滿足\(a_5d_5=b_5c_5\)之所有相異實數解的和為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
& {{a}_{5}}{{d}_{5}}-{{b}_{5}}{{c}_{5}} \\
& =\det \left( {{A}^{5}} \right) \\
& ={{\left( \det A \right)}^{5}} \\
& ={{\cos }^{5}}x{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{5}} \\
& =0 \\
& ...... \\
\end{align}\)

作者: mojary 時間: 2019-4-15 20:36 標題: 請問填充2答案，謝謝。

填充2.
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚等7人欲搭乘3艘不同的小船渡河，若每艘小船最多可載乘客5人，每船都至少載客1人且甲、乙兩人必須同船，則此 7人有　　　種安全乘船的渡河方式？

請問填充2答案是1260嗎？謝謝
\((5,1,1)\rightarrow 3!*C\binom{5}{3}*C\binom{2}{1}*C\binom{1}{1}=120\)
\((4,2,1)\rightarrow 2*3!*C\binom{5}{2}*C\binom{3}{2}=360\)
\((3,3,1)\rightarrow 2*3!*C\binom{5}{1}*C\binom{4}{3}=240\)
\((3,2,2)\rightarrow 3*3!*C\binom{5}{1}*C\binom{4}{2}*C\binom{2}{2}=540\)

總和1260？請問對嗎？謝謝

感謝q1214951老師與鋼琴老師。
31樓與33樓有正解！

作者: thepiano 時間: 2019-4-15 20:55 標題: 回復 21# jasonmv6124 的帖子

填充第 5 題
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{AC}=4\)、\(\overline{BC}=5\)，\(I\)為\(\Delta ABC\)的內心，\(P\)為\(
\Delta IBC\)(包含邊界)內的一點，若\(\vec{AP}=\alpha \vec{AB}+\beta \vec{AC}(\alpha,\beta\in R)\)，則\(\alpha+\beta\)的最小值為　　　。

圖片附件: 20190415.jpg (2019-4-15 20:55, 94.87 KB) / 該附件被下載次數 2719
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4888&k=18a5045e36038496f498697b66f5a871&t=1713613451

作者: q1214951 時間: 2019-4-15 22:01 標題: 回覆#29mojary

甲、乙、丙、丁、戊、己、庚等7人欲搭乘3艘不同的小船渡河，若每艘小船最多可載乘客5人，每船都至少載客1人且甲、乙兩人必須同船，則此 7人有　　　種安全乘船的渡河方式？

這是我的想法，可以參考看看～

圖片附件: [填充第二題] ECE18E95-896E-4E35-8B53-32ED2E358F9F.png (2019-4-15 22:01, 394.7 KB) / 該附件被下載次數 2584
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4889&k=aa5970a52e8d0e043e2ef757ae13c86d&t=1713613451

作者: q1214951 時間: 2019-4-15 22:07

想請教填充7以及計算4(2)

作者: thepiano 時間: 2019-4-15 22:18 標題: 回復 29# mojary 的帖子

填充第 2 題
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚等7人欲搭乘3艘不同的小船渡河，若每艘小船最多可載乘客5人，每船都至少載客1人且甲、乙兩人必須同船，則此 7人有[u]　　　[/u]種安全乘船的渡河方式？
[解答]
7 人任意搭乘且無空船，有\({{3}^{7}}-C_{1}^{3}\times {{2}^{7}}+C_{2}^{3}\times {{1}^{7}}=1806\)種搭法
甲、乙不同船且無空船，有\(3\times 2\times \left( {{3}^{5}}-{{2}^{5}} \right)=1266\)種搭法
所求\(=1806-1266=540\)種搭法

作者: thepiano 時間: 2019-4-15 22:51 標題: 回復 32# q1214951 的帖子

填充第 7 題
設\(a\)為實數，若三次方程式\(x^3+(-a^2+2a+2)x-2a^2-2a=0\)的三個根都是整數，則\(a\)值可能為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
& {{x}^{3}}+\left( -{{a}^{2}}+2a+2 \right)x-2{{a}^{2}}-2a=0 \\
& \left( x-a \right)\left( {{x}^{2}}+ax+2a+2 \right)=0 \\
\end{align}\)
易知其中一根\(a\)為整數

設另兩整數根為\(b,c\)
\(\begin{align}
& b+c=-a \\
& bc=2a+2 \\
& bc+2\left( b+c \right)=2 \\
& \left( b+2 \right)\left( c+2 \right)=6 \\
& ...... \\
\end{align}\)

作者: q1214951 時間: 2019-4-16 10:40 標題: 回復 34# thepiano 的帖子

感謝thepiano老師！

作者: d3054487667 時間: 2019-4-16 20:16 標題: 回復 13# Almighty 的帖子

好像少考慮了一種情況，S=P+Q-R，
剛剛算一下這個case的最大值為2+根號5。
如有錯誤請指正謝謝。

另外我好奇能夠提早判斷出哪個case會有最大值嗎?
否則要算三次.....

作者: d3054487667 時間: 2019-4-16 21:16 標題: 回復 6# thepiano 的帖子

請教老師，a能夠等於3/2嗎?

作者: thepiano 時間: 2019-4-16 21:35 標題: 回復 37# d3054487667 的帖子

若有說 f(x) = 0 有三個"相異"實根，就不能
若只說三實根，就能

作者: d3054487667 時間: 2019-4-16 21:39 標題: 回復 38# thepiano 的帖子

謝謝老師，沒注意到小細節！
a=3/2時，圖形與x軸相切。

作者: thepiano 時間: 2019-4-16 21:48 標題: 回復 36# d3054487667 的帖子

題目應該會提到平行四邊形頂點的順序
另外\(R\)對應的複數，到底是\(2z\)還是\(2\overline{z}\)？

作者: Almighty 時間: 2019-4-16 23:54 標題: 回復 36# d3054487667 的帖子

我忘記題目有沒有提到頂點順序了
應該每個情況都試才對
經過確認，最大值=√5+2(發生在S=P+Q-R
感謝 d3054487667之確認
前面提供的方法已更新

另外R對應的複數有共軛

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-4-17 00:27 編輯 ]

作者: jasonmv6124 時間: 2019-4-17 01:29

謝謝thepaino老師回答

作者: g112 時間: 2019-4-17 01:37

引用:

原帖由 Almighty 於 2019-4-16 23:54 發表
我忘記題目有沒有提到頂點順序了
應該每個情況都試才對
經過確認，最大值=√5+2(發生在S=P+Q-R
感謝 d3054487667之確認
前面提供的方法已更新

另外R對應的複數有共軛 ...

題目有說以PQ, PR為兩邊,所以 PSQR這個組合不行吧

另外 P+R-Q= (2a+b)+i(-a-2b) ,所以 \(\overline{OS}^2\)=5+4sin2\(\theta\) 所以OS最大值也是3 吧

R是對應 \(2\overline{z}\)

另外想請問第9題

我的想法是先算出平面PQR的法向量是(1,1,-1) 所以考慮 P+t(1,1,-1) , Q+t(1,1,-1) , R+t(1,1,-1) 皆會落在表面上, 算出來t=1/2

所以三角柱的高就是1/2* |(1,1,-1)|=根號3/2

不曉得這想法對不對

作者: z78569 時間: 2019-4-17 12:14 標題: 回復 18# czk0622 的帖子

感謝老師的分享！小弟瞭解了

填充9.
在邊長為1的正立方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(P,Q,R\)分別為\(\overline{AB},\overline{AD},\overline{AA_1}\)的中點，以\(\Delta PQR\)為底面做一個直三角柱，使其另一個底面的三個頂點也都在正立方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的表面上，則這個直三角柱的體積為　　　。

並且回應g112老師，以下是我的作法

圖片附件: F3769B46-FF25-47CE-AA8D-9DD9D884EC71.jpeg (2019-4-17 22:30, 189.07 KB) / 該附件被下載次數 2960
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4890&k=d3ed019f377ab165568ea329df173e9c&t=1713613451

作者: satsuki931000 時間: 2019-4-17 22:37

想對一下計算四第一題的答案
小弟的答案是 \(25x^{2}-28xy+8y^{2}=4\)

作者: thepiano 時間: 2019-4-17 23:08 標題: 回復 45# satsuki931000 的帖子

逆時針旋轉 45 度後，不會有 xy 項吧？

作者: swallow7103 時間: 2019-4-17 23:34

計算4.
在坐標平面上，將\(\Gamma\)：\(5x^2+14xy+13y^2=8\)之圖形沿著\(x\)軸推移\(y\)坐標之2倍後，再以原點為中心逆時針旋轉\(45^{\circ}\)得新圖形\(\Gamma'\)，求
(1)\(\Gamma'\)之方程式。
(2)若\(P(x,y)\in \Gamma\)，求\(P\)到\(L\)：\(3x+y=10\)的最短距離。

計算題四，下列解法2應該是最簡單又最快的，但因為有第(1)小題制約反而不容易想到QQ
另外，我記得題目給的直線是 3x+y=10 ，而不是x+3y=10；
算法雖然一樣，但數字稍微好看一點點。

圖片附件: IMAG3302.jpg (2019-4-17 23:34, 1.04 MB) / 該附件被下載次數 3014
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4891&k=400ddbe0bf0c7829b897914cf26ce835&t=1713613451

圖片附件: IMAG3305.jpg (2019-4-17 23:42, 600.49 KB) / 該附件被下載次數 2964
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4894&k=e89a93bac26e6516dd26b8da56b5e897&t=1713613451

圖片附件: IMAG3307.jpg (2019-4-17 23:42, 677.48 KB) / 該附件被下載次數 2872
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4895&k=d5ebf7ed40cd0a069a8e818f9befec33&t=1713613451

作者: satsuki931000 時間: 2019-4-18 07:21

知道哪邊算錯了感謝兩位老師

作者: satsuki931000 時間: 2019-4-18 11:03

是說swallow7103老師第2個方法應該可以直接使用給定切線斜率求橢圓切線的公式

橢圓\(a=1\) \(b=2\) 注意直線要經過伸縮轉換得到\(y=4x-5\sqrt{2}\)
令切線\(L:y=4x\pm \sqrt{a^2m^2+b^2}\)
代入數字得\(L:4x\pm 2\sqrt{5}\)
取\(L:y=4x-2\sqrt{5}\)
最短距離為L和\(y=4x-5\sqrt{2}\)的距離

故答案為\(\sqrt{10}-2\)

再次感謝兩位老師的指教

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2019-4-21 10:56 編輯 ]

作者: pgcci7339 時間: 2019-4-26 07:46 標題: 回復 49# satsuki931000 的帖子

\(y=4x-2\sqrt{5}\) 與 \(y=4x-5\sqrt{2}\) 的距離不是 \(\sqrt{10}-2\)

作者: satsuki931000 時間: 2019-4-26 09:45 標題: 回復 50# pgcci7339 的帖子

沒注意到錯誤抱歉
感謝pgcci老師的指正

那想請問這題是否還能用此法處理
直線連同圖形一起伸縮旋轉得心直線去求距離

作者: Ellipse 時間: 2019-4-26 11:18

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2019-4-26 09:45 發表
沒注意到錯誤抱歉
感謝pgcci老師的指正

那想請問這題是否還能用此法處理
直線連同圖形一起伸縮旋轉得心直線去求距離

有一個問題要去思考:
經過第一階段:"沿x 座標推移y 座標2 倍"之後
橢圓與直線相對的位置是否改變了?

作者: anyway13 時間: 2019-8-29 00:34 標題: 請教第9題

在邊長為1的正立方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(P,Q,R\)分別為\(\overline{AB},\overline{AD},\overline{AA_1}\)的中點，以\(\Delta PQR\)為底面做一個直三角柱，使其另一個底面的三個頂點也都在正立方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的表面上，則這個直三角柱的體積為　　　。

訂\(\displaystyle A(0,0,0),Q(0,\frac{1}{2},0),P(\frac{1}{2},0,0),R(0,0,-\frac{1}{2})\Rightarrow\)平面\(PQR\)：\(\displaystyle x+y-z=\frac{1}{2}\Rightarrow \Delta PQR=\frac{\sqrt{3}}{8}\)
高\(=d(A,\)平面\(\displaystyle PQR)=\frac{\sqrt{3}}{6}\)，體積\(\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{8}\times \frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{48}\)

請問老師第九題,是不是哪裡做錯了,無法得到3/16的答案?

作者: thepiano 時間: 2019-8-29 10:58 標題: 回復 53# anyway13 的帖子

您算成三角錐，柱高也有問題，參考前一頁的解法

作者: anyway13 時間: 2019-8-30 00:22 標題: 回復 54# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師,會再好好研究一下

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0