標題: 數列與極限 [打印本頁]

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作者: chwjh32    時間: 2019-2-14 20:54     標題: 數列與極限

請問此題的作法怎麼？下方為有答案  謝謝解題
這題是2018年日本大學入學考試

設有一無窮數列\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)、\(\ldots\)、\(a_n\)、\(\ldots\)，滿足下列之條件：
\(a_n=\cases{\matrix{0&(n=1)\cr \frac{1}{2}\sqrt{|\;a_{n-1}+1|\;-1}&(n為偶數的時候) \cr a_{n-1}^2+2a_{n-1}&(n為奇數的時候，n\ge 3)}}\)
求\(n\)為奇數時，\(a_n\)
求\(n\)為偶數時，\(a_n\)
求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n\)
(1)\(\displaystyle (\frac{1}{2})^{n-1}-1\)(2)\(\displaystyle (\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}}-1\)(3)\(-1\)

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作者: thepiano    時間: 2019-2-15 11:37     標題: 回復 1# chwjh32 的帖子

(1) n為奇數
\(\begin{align}
  & {{a}_{n}}={{\left( {{a}_{n-1}}+1 \right)}^{2}}-1 \\
& =\frac{1}{4}\left| {{a}_{n-2}}+1 \right|-1 \\
& =\frac{1}{4}{{\left( {{a}_{n-3}}+1 \right)}^{2}}-1 \\
& =\frac{1}{16}\left| {{a}_{n-4}}+1 \right|-1 \\
& =\cdots \cdots  \\
& =\frac{1}{{{2}^{n-1}}}\left| {{a}_{1}}+1 \right|-1 \\
& =\frac{1}{{{2}^{n-1}}}-1 \\
\end{align}\)

(2) n為偶數
\(\begin{align}
  & {{a}_{n}}=\frac{1}{2}\sqrt{\left| {{a}_{n-1}}+1 \right|}-1 \\
& =\frac{1}{2}\left( {{a}_{n-2}}+1 \right)-1 \\
& =\frac{1}{4}\sqrt{\left| {{a}_{n-3}}+1 \right|}-1 \\
& =\frac{1}{4}\left( {{a}_{n-4}}+1 \right)-1 \\
& =\frac{1}{8}\sqrt{\left| {{a}_{n-5}}+1 \right|}-1 \\
& =\cdots \cdots  \\
& =\frac{1}{{{2}^{\frac{n}{2}}}}\sqrt{\left| {{a}_{1}}+1 \right|}-1 \\
& =\frac{1}{{{2}^{^{\frac{n}{2}}}}}-1 \\
\end{align}\)

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作者: chwjh32    時間: 2019-2-15 12:58

謝謝 鋼琴老師

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作者: larson    時間: 2023-9-22 12:50     標題: 回覆 1# chwjh32 的帖子

請問這題，題目有抄錯嗎？我算的結果每項都是0

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作者: thepiano    時間: 2023-9-26 11:14     標題: 回覆 4# larson 的帖子

n 為偶數時，根號裡面的 -1 應移到根號外面

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