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標題: 107張進通許世賢數學競賽-數學二試題 [打印本頁]

作者: niklacage    時間: 2018-12-12 23:19     標題: 107張進通許世賢數學競賽-數學二試題

5.
將\(\underbrace{555\ldots 5}_{100個} \times \underbrace{666 \ldots 6}_{100個}\)的乘積以十進位表示,求各位數字的總和=   

歷屆試題
https://www.cysh.cy.edu.tw/files/11-1001-234.php

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作者: thepiano    時間: 2018-12-13 13:02     標題: 回復 1# niklacage 的帖子

第 1 題
(x + y)(x - y) = 3(x + y)(z + 1)
(y + z)(y - z) = 3(y + z)(x + 1)
(z + x)(z - x) = 3(z + x)(y + 1)

(1) x + y、y + z、z + x 三者均為 0
可解出 (x,y,z) = (0,0,0)

(2) x + y、y + z、z + x 恰有兩個為 0
可解出 (x,y,z) = (1,-1,1)、(1,1,-1)、(-1,1,1)

(3) x + y、y + z、z + x 恰有一個為 0
可解出 (-3,3,9)、(9,-3,3)、(3,9,-3)

(4) x + y、y + z、z + x 三者均不為 0
可解出 (x,y,z) = (-1,-1,-1)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-12-13 15:16 編輯 ]
作者: cefepime    時間: 2018-12-13 23:49

第2題

所求即 111...111 (100 個 1) * 333...333 (100 個 3) 以十進位表示的各位數字總和。


令 A =  999...999 (100 個 9),先考慮 A²,再將之除以 9 再除以 3,以利觀察其各位數字之規律。


A² = (10¹⁰⁰-1)² = 10²⁰⁰- 2*10¹⁰⁰ +1 = 999...999 (99 個 9) 8 000...000 (99 個 0) 1

除以 9 得:  111...111 (99 個 1) 0 888...888 (99 個 8) 9

再除以 3 得: 37037...037 (33 個 37) 0 296296...296 (33 個 296) 3

所求 = 33*27 + 3 = 894


作者: niklacage    時間: 2018-12-16 01:48

感謝指導。
作者: 王重鈞    時間: 2018-12-17 00:10     標題: #回覆樓主

小弟第一眼的想法 剛好有空寫一下是有規律的 淺見僅供參考
ps:cefepime大解的真完美

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