標題:
離散數學
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作者:
chwjh32
時間:
2018-11-28 22:47
標題:
離散數學
Prove that there does not exist a
continuous, bijective function
f
:
[
0
,
1
)
→
R
.
請問如何證明，使用IVT？
作者:
archivestar
時間:
2024-3-11 08:46
我們來證明：在區間 ([0, 1)) 上不存在一個連續且一一對應的函數 (f: [0, 1) \to \mathbb{R})。
首先，讓我們假設這樣的函數 (f) 存在。我們將使用**中值定理（Intermediate Value Theorem, IVT）**來證明矛盾。
連續性：由於 (f) 是連續函數，它在區間 ([0, 1)) 上連續。
一一對應：假設 (f) 是一一對應的，即對於所有 (x_1, x_2 \in [0, 1))，如果 (f(x_1) = f(x_2))，則必須有 (x_1 = x_2)。
使用 IVT 來尋找矛盾：
考慮 (a, b \in [0, 1)) 且 (a < b)。由於 (f) 是連續的，根據 IVT，對於任意 (y) 在 ([f(a), f(b)]) 內，存在一個 (c \in (a, b)) 使得 (f© = y)。
現在，讓我們選擇 (y = 0)。根據 IVT，存在 (c \in (a, b)) 使得 (f© = 0)。
但是，我們已經知道 (f(0) = 0)（因為 (f) 是一一對應的，所以只有 (x = 0) 才能對應到 (f(x) = 0)）。因此，(c) 必須等於 0，即 (c = 0)。
這導致矛盾，因為 (c) 在區間 ((a, b)) 內，而 (a < b)。所以我們無法找到一個 (c) 使得 (f© = 0)。
因此，我們的假設錯誤，不存在一個連續且一一對應的函數 (f: [0, 1) \to \mathbb{R})。
答案是證明成功，這樣的函數不存在。
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