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標題: 107中正預校_國中 [打印本頁]

作者: thepiano 時間: 2018-6-3 16:23 標題: 107中正預校_國中

請參考附件

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作者: bugmens 時間: 2018-6-3 18:22

2.
設指數方程式\(3^{4x-1}=2^{4x}+16^{\displaystyle x-\frac{3}{4}}\)的解為\( \displaystyle x=\frac{b}{a} \)，\(\displaystyle \frac{b}{a}\)為一最簡分數且\(a>0\)，則\(a+b=\)(1)12　(2)3　(3)5　(4)7　(5)29。
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=40#p9807

3.
設\(z\)為一複數，\( \left| z-2i \right|+\left|z+4i \right| \le 10 \)之解集合在複數平面上的圖形面積為(1)\(12\pi\)　(2)\(14\pi\)　(3)\(16\pi\)　(4)\(18\pi\)　(5)\(20\pi\)。
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 8%AD%E5%8D%80#p9637

4.
在正20邊形中，連接其所有對角線，以對角線為三邊所決定的三角形共有多少個(1)680　(2)720　(3)760　(4)800　(5)840。
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=30#p9764

作者: peter0210 時間: 2018-6-3 21:01

選擇4 有錯再請各位大師指正謝謝

作者: Ellipse 時間: 2018-6-3 23:00

填充24
設實數\(x\)、\(y\)、\(z\)滿足\(\cases{x=\sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}}\cr y=\sqrt{z^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{25}}\cr z=\sqrt{x^2-\frac{1}{36}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{36}}}\)，且\(\displaystyle x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}}\)，\(m\)、\(n\)是正整數，且\(n\)不能被任何質數的平方整除，則\(m+n\)之值為。
[解答]
構造法解題
x邊上的高=1/4,y邊上的高=1/5,z邊上的高=1/6
(x/4)/2=(y/5)/2=(z/6)/2 =三角形面積
可假設x=8t,y=10t,z=12t(t>0)
利用海龍公式及三角形面積公式得t=1/(15√7)
所求x+y+z=30t=2/√7

作者: peter0210 時間: 2018-6-4 15:07

12.
\(\Delta ABC\)中，\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)的對邊之邊長分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，若\(b^2-c^2=ac\)，\(\angle A=42^{\circ}\)，則\(\angle C=\)　　　度。

13.
介於1與2018之間的整數\(N\)，有　　　個整數\(N\)代入\(\displaystyle \frac{N^2+7}{N+4}\)後，會使得\(\displaystyle \frac{N^2+7}{N+4}\)不是最簡分數。

23.
設滿足\(z^{28}-z^8-1=0\)及\(|\;z|\;=1\)的複數共有\(2n\)個。這些複數的極式為\(z_m=cos\theta_m+i sin\theta_m(0^{\circ}\le \theta_1<\theta_2<\ldots<\theta_{2n}<360^{\circ})\)，試求\(\theta_2+\theta_4+\ldots+\theta_{2n}=x^{\circ}\)，則\(x\)之值為　　　。
2001 AIME II Problems/Problem 14

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作者: Ellipse 時間: 2018-6-4 21:27

填充16
某數列的前兩項為\(a_1=1\)，\(\displaystyle a_2=\frac{\sqrt{3}}{3}\)；對於\(n\ge 1\)，滿足\(\displaystyle a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}{1-a_n a_{n+1}}\)，試問\(a_{2018}\)之值為　　　。
[解答]
這題若是這樣出,我先跳過.....
但我有想過,以下表法算是最簡單了

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作者: yi4012 時間: 2018-6-5 11:50

我發現我好幾題都是憑經驗瞎猜猜對的，比如12跟23

作者: laylay 時間: 2018-6-5 12:00 標題: 回復 6# Ellipse 的帖子

令A=15度則 tan((12+n)A)=tan(nA)......24建議改為12

作者: Ellipse 時間: 2018-6-5 21:46

引用:

原帖由 laylay 於 2018-6-5 12:00 發表
令A=15度則 tan((12+n)A)=tan(nA)......24建議改為12

也是可以,方便就好

作者: Ellipse 時間: 2018-6-5 22:44

填15,
在空間中，\(O(0,0,0)\)、\(A(a,0,0)\)、\(B(0,b,0)\)、\(C(0,0,c)\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)為正數。若\(\Delta ABC\)的面積為4，則\(|\;\vec{OA}\times \vec{OB}|\;+2|\;\vec{OB}\times \vec{OC}|\;+2|\;\vec{OC}\times \vec{OA}|\;\)之最大值為　　　。
[解答]
有人問,順便po上來~
也可用△ABC面積=(1/2)[|向量AB|^2*|向量AC|^2- (向量AB∙向量AC)^2]^0.5=4
得到(ab)^2+(bc)^+(ca)^2=64

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作者: laylay 時間: 2018-6-6 09:38 標題: 填充15. 另解

15.
在空間中，\(O(0,0,0)\)、\(A(a,0,0)\)、\(B(0,b,0)\)、\(C(0,0,c)\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)為正數。若\(\Delta ABC\)的面積為4，則\(|\;\vec{OA}\times \vec{OB}|\;+2|\;\vec{OB}\times \vec{OC}|\;+2|\;\vec{OC}\times \vec{OA}|\;\)之最大值為　　　。
[解答]
(ABC面積)^2 * 36=((OAB面積)^2+(OBC面積)^2+(OCA面積)^2) ( 2^2+4^2+4^2)>=所求^2
所以 Max=ABC面積*6=24

作者: linchihlong 時間: 2018-6-15 15:44

想請問填充21，22，23

作者: laylay 時間: 2018-6-15 18:05 標題: 回覆

21.
\(\cases{x+y=5 \cr x^2+z^2+xz=16 \cr y^2+z^2-yz=9}\)，則\(xz+yz=\)　　　。

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作者: laylay 時間: 2018-6-15 18:59 標題: 回復 12# linchihlong 的帖子

填充 22.
已知\(x_1=21\)，\(x_2=37\)，\(x_3=42\)，\(x_4=23\)，且\(x_n=x_{n-1}-x_{n-2}+x_{n-3}-x_{n-4}(n\ge 5)\)，試求\(x_{31}+x_{53}+x_{1975}=\)　　　。
[解答]
因為 x5=x4-x3+x2-x1
所以 x6=x5-x4+x3-x2= -x1 , 同理 x7=-x2 , x8=-x3 ,x9=-x4 ,x10=-x5 ,x11=-x6=x1 ........
故每10個一循環
所求=x1+x3+x5=21+42+(-3)=60

作者: laylay 時間: 2018-6-15 20:00 標題: 回覆

23.
設滿足\(z^{28}-z^8-1=0\)及\(|\;z|\;=1\)的複數共有\(2n\)個。這些複數的極式為\(z_m=cos\theta_m+i sin\theta_m(0^{\circ}\le \theta_1<\theta_2<\ldots<\theta_{2n}<360^{\circ})\)，試求\(\theta_2+\theta_4+\ldots+\theta_{2n}=x^{\circ}\)，則\(x\)之值為　　　。

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=4586&k=960382e42e3d71f4bb90a2ce0687239b&t=1732272108

作者: Ellipse 時間: 2018-6-16 00:12

\(\cases{x+y=5 \cr x^2+z^2+xz=16 \cr y^2+z^2-yz=9}\)，則\(xz+yz=\)　　　。
[解答]
回覆laylay 21題
這題他應該是要考"構造法解題",但題目沒講清楚x,y,z要大於0
所以會有兩解~~構造法作法如下~

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作者: laylay 時間: 2018-6-16 06:49 標題: 填充

27.
由某兩個等差數列之對應項相乘所得數為1440、1716、1848、\(\ldots\)，則此數列的第八項為　　　。

圖片附件: 1529102819610.jpg (2018-6-16 06:49, 665.42 KB) / 該附件被下載次數 4803
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4588&k=8bd4ccae37c0334ee76ca6e9de8a5ae4&t=1732272108

作者: laylay 時間: 2018-6-16 08:20 標題: 選擇 8.

填下排                429 …所求
^       132 429
:          42 132  297
:    14 42 90 165
: 5  14  28  48  75
:  2  5    9  14 20 27
1       2       3       4       5          6          7
1  1 1 1  1    1    1 ........> 填上排
在此想請問若再增加第三列(7格),要怎麼算呢 ?

作者: Ellipse 時間: 2018-6-17 00:09

引用:

原帖由 laylay 於 2018-6-16 08:20 發表
填下排                429 …所求
^       132 429
:          42 132  297
:    14 42 90 165
: 5  14  28  48  75
:  2  5    9  14 20 27
1    ...

8.
將數字1~14填入一個\(2\times 7\)的表格中，其中左邊的數字要比右邊的數字小，上面的數字要比下面的數字小，滿足這種規律的填法有幾種？
(1)426　(2)427　(3)429　(4)431　(5)433
[解答]
這題可以用一路領先(含等於)公式:C(2n,n)/(n+1) [卡塔蘭數]
此時n=7,所求=C(14,7)/8=429

您的問題是三人的一路領先問題(含等號),請參考
http://www.shs.edu.tw/works/essay/2018/03/2018030210001363.pdf

http://163.27.6.18/tp/teacher/.. ... %95%8F%E9%A1%8C.pdf

作者: cut6997 時間: 2018-6-17 04:50 標題: 回復 15# laylay 的帖子

小弟資直駑鈍
看不太懂laylay老師圖的意思
我的想法是z^28=1+z^8
分別以(0,0)和(1,0)做單位圓求交點
觀察(1,0)的圓得交於 120度和-120度
得第一組解15度和-15度
檢察28*15(mod 360)=60.合
由於28和8的最大公因數為4
360/4=90
將上述解依次增加90得4組解
(15,345),(105,75),(195,165),(285,255)
排序後
15,75,105,165,195,255,285,345

作者: laylay 時間: 2018-6-17 06:36 標題: 回復 20# cut6997 的帖子

z , z^8 , z^28 都在以原點為圓心,半徑1的圓上,
且z^28=z^8+(1+0i) (向右平移一個單位長,在單位圓上水平弦長為1的顯然就只有我圖中正六邊形的那上下邊的兩處吧) ,
以複數平面的向量觀點而言,z^8的幅角=120或240度,其他角度會使 z^28 跑到單位圓外去,顯然都不合.

作者: laylay 時間: 2018-6-17 06:41 標題: 回復 19# Ellipse 的帖子

在此非常感謝您的指導跟提供喔 !
C(14,7)-C(14,8)=C(14,7)/8=429 實在太妙了 !

作者: Ellipse 時間: 2018-6-17 11:42

引用:

原帖由 laylay 於 2018-6-17 06:41 發表
在此非常感謝您的指導跟提供喔 !
C(14,7)-C(14,8)=C(14,7)/8=429 實在太妙了 !

別客氣喔~您也是高手~

"C(2n,n)/(n+1) [卡塔蘭數] 竟然也只是鉤長公式(Hook length formula)的特例而已"
參考下列FB的討論:
https://www.facebook.com/groups/chetingmath/

作者: litlesweetx 時間: 2019-1-16 12:01

請教各位老師17,18

作者: thepiano 時間: 2019-1-16 23:57 標題: 回復 24# litlesweetx 的帖子

17.
設兩複數\(z\)、\(w\)滿足\(|\;z+3-3i|\;=2\)，\(|\;iw-1|\;=1\)，則\(|\;z-w|\;\)之最大值為　　　。
[解答]
\(\left| z+3-3i \right|=2\)在高斯平面上是圓\({{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{2}^{2}}\)
\(\left| iw-1 \right|=\left| w+i \right|=1\)在高斯平面上是圓\({{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{1}^{2}}\)
……

18.
方程式\(sin x-3cos x=k\)，在\(0\le x \le \pi\)的範圍內，有兩個相異的實數解，求實數\(k\)的範圍為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
& \sin x-3\cos x=\sqrt{10}\sin \left( x-\theta \right) \\
& \sin \theta =\frac{3}{\sqrt{10}},\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{10}} \\
\end{align}\)
觀察\(y=\sqrt{10}\sin \left( x-\theta \right)\)與\(y=k\)之圖形，何時會有兩交點
……

109.6.6補充
(109全國高中職聯招，https://math.pro/db/thread-3342-1-1.html)

作者: bettytsai 時間: 2019-4-29 12:37 標題: 回復 25# thepiano 的帖子

老師您好，請問一下，18題 k範圍的左端點為何不是0而是3呢？謝謝。

作者: thepiano 時間: 2019-4-29 15:57 標題: 回復 26# bettytsai 的帖子

該圖形是 y = √10sinx 往右平移，左邊界會出現在 x = π 時

作者: nanpolend 時間: 2020-3-18 14:58 標題: 回復 1# thepiano 的帖子

請教選擇第一題

作者: thepiano 時間: 2020-3-19 08:48 標題: 回復 28# nanpolend 的帖子

1.
\(x^{10}+x^8+x^6+x^4+x^2+1=0\)之所有根在複數平面上所對應之點，所圍成的凸多邊形面積為
(1)\(\displaystyle \frac{5}{2}\)　(2)\(\displaystyle 2+\frac{\sqrt{3}}{2}\)　(3)3　(4)4　(5)\(3\sqrt{3}\)
[解答]
\(\begin{align}
& \left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{10}}+{{x}^{8}}+{{x}^{6}}+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)=0 \\
& {{x}^{12}}-1=0 \\
\end{align}\)
\({{x}^{12}}=1\) 的十二個根，扣掉 \(\pm 1\)，就是那十個根
把圖畫出來就簡單了

作者: nanpolend 時間: 2020-3-19 18:53 標題: 回復 1# thepiano 的帖子

請教選擇第5題第10題填充11.

作者: satsuki931000 時間: 2020-3-19 23:10 標題: 回復 30# nanpolend 的帖子

選擇10
10.
集合\({1,2,3,\ldots,60}\)的子集合\(S\)，其中\(S\)滿足任兩個元素的和不為7的倍數，則\(n(S)\)的最大值為
(1)6　(2)17　(3)14　(4)27　(5)28
[解答]
1~60的整數裡面分成7類
7K:8個
7K+1，7K+2，7K+3，7K+4皆9個
7K+5，7K+6皆8個
容易判斷出至少取7K+1，7K+2，7K+3 共27個可滿足題意
此時再配上7K裡面的任意一個數，即可有最大值共28個

填充11
已知\(x^3-3x+1=(x-2cos\alpha)(x-2cos\beta)(x-2cos\gamma)\)，且\(0^{\circ}<\alpha<\beta<\gamma<180^{\circ}\)，試求\(sin(\gamma-\alpha)\)之值=　　　。
[解答]
2cosA，2cosB，2cosC代入方程式，可得cos3A=-1/2 (B，C同理)

所以3A=120度，240度，480度
A=40度，80度，160度
再依序排列得到C=160，A=40
所求為sin120度

作者: satsuki931000 時間: 2020-3-19 23:19

選擇5
5.
四個正整數\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)的乘積為\(8!\)且滿足\(\cases{ab+a+b=524 \cr bc+b+c=146 \cr cd+c+d=104}\)，請問\(a-d=\)
(1)12　(2)10　(3)8　(4)6　(5)4
[解答]
ab+a+b+1=525
即(a+1)(b+1)=525
同理得(b+1)(c+1)=147
(c+1)(d+1)=105
b+1是525和147的公因數其中gcd(525，147)=21
發現b+1=21，c+1=7，d+1=15，a+1=25
b=20=4*5
c=6=6
d=14=2*7
a=24=8*3
abcd剛好為8!
故所求a-d=10

作者: nanpolend 時間: 2020-3-21 20:38 標題: 回復 1# thepiano 的帖子

請教填充14.19.20.25.26.28

作者: thepiano 時間: 2020-3-21 21:34 標題: 回復 33# nanpolend 的帖子

填充第 14 題
設\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(x\)、\(y\)、\(z\)均為實數，若\(a^2+b^2+c^2=1\)，\(x^2+y^2+z^2=4\)，則\(\Bigg|\;\matrix{a+b&b+c&a+c\cr x+y&y+z&x+z \cr 3&4&3}\Bigg|\;\)的最大值為　　　。
[解答]
參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=27713#p27713

作者: thepiano 時間: 2020-3-30 11:10 標題: 回復 33# nanpolend 的帖子

第19題
設兩複數\(\displaystyle z_1=cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}\)，\(\displaystyle z_2=cos \frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}\)，若\(z_3=z_1 \cdot z_2\)，\(\displaystyle z_4=\frac{z_1}{z_2}\)且\(a\)為實數，則\(|\;a-z_3|\;+|\;a-z_4|\;\)之最小值為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
& {{z}_{3}}=\cos \frac{7}{12}\pi +i\sin \frac{7}{12}\pi \\
& {{z}_{4}}=\cos \frac{1}{12}\pi +i\sin \frac{1}{12}\pi \\
\end{align}\)
它們是高斯平面單位圓上的兩點
所求即x 軸上一點，到此兩點距離和之最小值

第20題
大於\((\sqrt{3}+\sqrt{2})^6\)的最小整數為　　　。
[解答]
考慮\({{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{6}}+{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{6}}\)
而\({{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{6}}\)很接近0

第25題
設\(\alpha\)為方程式\(\displaystyle log_{107}x=-x+3\)的實根，\(\beta\)為方程式\(107^x=-x+3\)的實根。則\((log_{107}\alpha)+107^{\beta}\)之值為　　　。
[提示]
畫出\(y={{\log }_{107}}x\)、\(y={{107}^{x}}\)、\(y=-x+3\)之圖形
前兩者對稱於\(y=x\)
……

第26題
設\(\displaystyle a=\root 3\of{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)，則\(a^6-9a^2-18a-4\)之值為　　　。
[提示]
\({{a}^{3}}=3+3a\)
……

第28題
試求最接近於\(\displaystyle 1000\sum_{n=3}^{10000}\frac{1}{n^2-4}\)之整數為三位數\(abc\)，則\(a+b+c=\)　　　。
[提示]
\(\displaystyle \frac{1}{{{n}^{2}}-4}=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+2} \right)\)，再相消

作者: nanpolend 時間: 2020-3-31 13:00 標題: 回復 1# thepiano 的帖子

感謝各位這份練習過

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