標題: 107新北市高中聯招 [打印本頁]

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作者: bugmens    時間: 2018-5-27 16:35     標題: 107新北市高中聯招

107.5.30試題疑義公告
填充第6題
1.填充第6題所指的區域\(R\)是由「拋物線\(y=x^2\)、直線\(x=0\)及直線\(y=1\)所圍成的區域」；這個區域\(R\)有兩種可能(一個位於第一象限、另一個位於第二象限)；但不管哪一種可能，區域\(R\)繞著直線\(y=2\)旋轉所得的旋轉體之體積皆為\( \displaystyle \frac{28}{15}\pi \)。
2.應考者提供的解法是將以上的兩個可能區域合併計算，得答案為\(\displaystyle \frac{28}{15}\pi \times 2=\frac{56}{15}\pi\)。然而，此種解法所對應的題目敘述應該是「…\(R\)代表由拋物線\(y=x^2\)及直線\(y=1\)所圍成的區域…」。
3.出題者的用意是希望應考者能將兩種可能的\(R\)擇一來計算即可(因為兩種算出來的結果相同)，但卻因此造成一個模糊空間，使得應考者分別將兩種可能區域\(R\)的旋轉體之體積(\(\displaystyle \frac{28}{15}\pi\))算出，再合併為\(\displaystyle \frac{56}{15}\pi\)。
4.基於此應考者已能先正確算出\(\displaystyle \frac{28}{15}\pi\)，所以其(合併兩區域所得的)答案\(\displaystyle \frac{56}{15}\pi\)也給分。

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作者: johncai    時間: 2018-5-27 17:12

請問計算證明2
謝謝
在考場浪費了半小時沒證出來@

[ 本帖最後由 johncai 於 2018-5-27 17:16 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2018-5-27 17:26     標題: 回復 2# johncai 的帖子

計算第 2 題
請參考
http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2886

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作者: tsaisy    時間: 2018-5-27 17:30

提示: 作者被禁止或刪除 內容自動屏蔽

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作者: johncai    時間: 2018-5-27 17:36

謝謝鋼琴大
我也是做AD垂直BC然後用畢氏定理換來換去
但就是沒換出來ORZ

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作者: d3054487667    時間: 2018-5-27 18:17     標題: 回復 2# johncai 的帖子

分享我的作法，我利用

cos<APB=-cos<APC

然後餘弦定理把邊長代入整理就得到所求算式了

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作者: lyingheart    時間: 2018-5-27 18:19

計算二
提供另一種
這是stewart定理
http://ej0cl6.pixnet.net/blog/po ... t%E5%AE%9A%E7%90%86
通常用用兩次餘弦再計算一下就可以了。

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作者: d3054487667    時間: 2018-5-27 18:26

想問填充5與計算1的(b)，感恩

[ 本帖最後由 d3054487667 於 2018-5-27 18:28 編輯 ]

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作者: koeagle    時間: 2018-5-27 18:30     標題: 回復 8# d3054487667 的帖子

填充5：
104建國中學，填充1
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2215

另外想請教填充1、填充7，謝謝。

[ 本帖最後由 koeagle 於 2018-5-27 18:44 編輯 ]

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作者: d3054487667    時間: 2018-5-27 18:48

填充7我剛剛這樣試，但不知道過程有沒有瑕疵，還請大師們幫我看看

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作者: thepiano    時間: 2018-5-27 18:56     標題: 回復 8# d3054487667 的帖子

計算第1題 (b)
平面上三點\({{A}_{i}}\left( {{x}_{i}},{{y}_{i}} \right),{{A}_{j}}\left( {{x}_{j}},{{y}_{j}} \right),{{A}_{k}}\left( {{x}_{k}},{{y}_{k}} \right)\)共線的充要條件是\(\left| \begin{matrix}
   {{x}_{i}} & {{y}_{i}} & 1  \\
   {{x}_{j}} & {{y}_{j}} & 1  \\
   {{x}_{k}} & {{y}_{k}} & 1  \\
\end{matrix} \right|=0\)
(a) 的答案是\(b\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)\left( x+y+z+a \right)\)，取\(b=1,a=-110\)
當\(n=1\tilde{\ }107\ ,\ n\in N\)，可取\({{A}_{n}}\left( n,{{n}^{3}}-110{{n}^{2}} \right)\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-5-27 18:58 編輯 ]

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作者: d3054487667    時間: 2018-5-27 19:11     標題: 回復 11# thepiano 的帖子

謝謝thepiano 老師，

想多請教一點，
從這個結果來看，
事實上n持續往上遞增就可以找到超過107個滿足題意的點坐標嗎?
就是無限多個?

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作者: thepiano    時間: 2018-5-27 19:13     標題: 回復 9# koeagle 的帖子

填充第1題
若\(x,y,z\)滿足\(\cases{\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{y}{3+log2}+\frac{z}{3+log5}=1\cr
\frac{x}{7}+\frac{y}{7+log2}+\frac{z}{7+log5}=1\cr
\frac{x}{11}+\frac{y}{11+log2}+\frac{z}{11+log5}=1}\)，則\(x+y+z\)之值為　　　。
[解答]
\(k\)的方程式 \(\displaystyle \frac{x}{k}+\frac{y}{k+\log 2}+\frac{z}{k+\log 5}=1\) 的三個根是\(3,7,11\)
展開後，利用根與係數考慮\({{k}^{2}}\)的係數即得

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作者: thepiano    時間: 2018-5-27 19:19     標題: 回復 12# d3054487667 的帖子

是的，107 只是幌子

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作者: koeagle    時間: 2018-5-27 20:41     標題: 回復 10# d3054487667 的帖子

回復 13# thepiano 的帖子

謝謝兩位老師的分享！

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作者: hhd1331    時間: 2018-5-28 11:20

小弟不才
填充一看不太懂  可能腦袋打結
可以多說明嗎?謝謝

另外想問填充3，我的方向是解f(x)-g(x) 然後就不知道怎麼往下做了
方向是對的嗎?

填充6三條線圍成的區域  不是應該左右都算圍成的區域嗎

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作者: thepiano    時間: 2018-5-28 11:32     標題: 回復 16# hhd1331 的帖子

填充第 1 題
可參考
http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2888

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作者: thepiano    時間: 2018-5-28 11:56     標題: 回復 16# hhd1331 的帖子

填充第 3 題
h(x) = f(x) - g(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c
h(1) = 2，h(2) = 3，h(3) = 4
可求出 h(x) = f(x) - g(x) = 2x^3 - 12x^2 + 23x - 11

3f(1) - 3f(2) + f(3) = 3g(1) - 3g(2) + g(3) + 1 = 5
3g(1) - 3g(2) + g(3) = g(0) = 4

f(0) = -7

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作者: koeagle    時間: 2018-5-28 12:24     標題: 回復 16# hhd1331 的帖子

填充3
設\(f(x)\)是最高次項係數為2的三次多項式函數，\(g(x)\)是二次多項式函數，滿足\(f(1)=g(1)+2\)，\(f(2)=g(2)+3\)，\(f(3)=g(3)+4\)。若\(3f(1)-3f(2)+f(3)=5\)，則\(f(x)\)的常數項係數為　　　　。
[解]
令\(f(x)-g(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)+x+1\)
\(\Rightarrow f(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)+x+1+(ax^2+bx+c)\)
又\(5=3(2+a+b+c)-3(3+4a+2b+c)+(4+9a+3b+c)\)\(\Rightarrow c=4\)
常數項係數\(f(0)=-12+1+4=-7\)

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作者: thepiano    時間: 2018-5-28 14:01     標題: 回復 19# koeagle 的帖子

好漂亮的解法，受教了

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作者: laylay    時間: 2018-5-28 14:28     標題: 回復 16# hhd1331 的帖子

填充3.
由階差知 f(3)-3f(2)+3f(1)-f(0)=2(此為f的3次方係數)*3! => 5- f(0)=12 => f(0)= -7  , 此為#25 定理 n=3 , an=2 , c=0 的 運用

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-5-30 06:07 編輯 ]

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作者: johncai    時間: 2018-5-28 19:05     標題: 回復 16# hhd1331 的帖子

對欸
這樣填充6好像有問題~

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作者: 小姑姑    時間: 2018-5-28 20:09     標題: 回復 22# johncai 的帖子

我目前也有朋友反應這一塊
所圍區域左右都算是它所圍的區域
何以旋體只算一半呢？

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作者: royan0837    時間: 2018-5-28 21:05

填充3.
沒有用到\(g(x)\)
設\(f(x)=2x^3+ax^2+bx+c\)
\(3f(1)=6+3a+3b+3c\)
\(-3f(2)=-48-12a-6b-3c\)
\(f(3)=54+9a+3b+c\)
－－－－－－－－－－－－
\(3f(1)-3f(2)+f(3)=12+c=5\)
\(c=-7\)

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作者: laylay    時間: 2018-5-30 06:06     標題: 回覆

#21 填充 3.

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-5-30 06:08 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2018-5-30 07:17     標題: 回復 23# 小姑姑 的帖子

填充弟 6 題
官方公告，算一半或左右都算均給分
http://www.hcsh.ntpc.edu.tw/isch ... �答覆(公告).pdf

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-5-30 07:35 編輯 ]

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作者: dtc5527    時間: 2018-5-30 09:22     標題: 回復 17# thepiano 的帖子

請問鋼琴大大
k的三個根3,7,11有什麼快速解法，謝謝

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作者: superlori    時間: 2018-5-30 12:20     標題: 回復 25# laylay 的帖子

您可以查查巴貝奇定理

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作者: thepiano    時間: 2018-5-30 14:45     標題: 回復 27# dtc5527 的帖子

填充第 1 題
參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2888

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作者: enlighten    時間: 2018-5-30 20:35

可以請問第六題怎解嗎？

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作者: wrty2451    時間: 2018-5-30 22:36

計算2另解
定B(0,0)、C(a,0)、A(r,s)、P(t,0)、其中0<t<a
代入左式和右式發現兩者相等

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作者: thepiano    時間: 2018-5-31 08:04     標題: 回復 30# enlighten 的帖子

填充第6題
\(\pi \left( \int_{0}^{1}{{{\left( 2-{{x}^{2}} \right)}^{2}}dx-}\int_{0}^{1}{{{\left( 2-1 \right)}^{2}}dx} \right)\)

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作者: 5pn3gp6    時間: 2018-6-1 17:07

計算2提供一個方法，分點公式
終於上傳成功了0rz

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2018-6-1 18:04 編輯 ]

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作者: arend    時間: 2018-6-3 15:34

請教填充2，謝謝。（4，4，12）不就在平面x=y上，此點到此平面以（0，0，0）為原心的單位圓的最大值怎得到根號201？

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作者: koeagle    時間: 2018-6-3 15:52     標題: 回復 34# arend 的帖子

填充2
坐標空間中，圓\(O\)是平面\(y=z\)上以原點\((0,0,0)\)為圓心的單位圓。若點\(P\)的坐標為\((4,4,12)\)，而點\(X\)是圓\(0\)上的動點，則\(\overline{PX}\)的最大值為　　　　。
[解]
令\(P\)到平面\(y-z=0\)的投影點為\(P'\)
\(\Rightarrow P'=\cases{\displaystyle x=4-0 \times \frac{4-12}{1^2+1^2}=4 \cr y=4-1 \times \frac{4-12}{1^2+1^2}=8 \cr z=12-(-1)\times \frac{4-12}{1^2+1^2}=8}\)
\( \overline{PP'}=\sqrt{0^2+4^2+4^2}=4\sqrt{2} \)，\(\overline{OP'}=\sqrt{4^2+8^2+8^2}=12\)
\(\overline{PX}\)最大值\(=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(12+1)^2}=\sqrt{201}\)

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作者: arend    時間: 2018-6-3 16:18     標題: 回復 35# koeagle 的帖子

謝謝koeagle老師，我眼拙，看成x=y平面。

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作者: mojary    時間: 2018-6-21 13:19     標題: 計算1

跟著鋼琴老師的答案，試著把這5分的計算1(a)的過程寫出來。

\[b\begin{vmatrix} x&x^{3}+ax^{2} &1 \\ y&y^{3}+ay^{2} &1 \\ z&z^{3}+az^{2} &1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} x-y &x^{3}+ax^{2}-y^{3}-ay^{2} &0\\ y-z &y^{3}+ay^{2}-z^{3}-az^{2} &0 \\ z & z^{3}+az^{2} &1 \end{vmatrix}\]

\[=b[(x-y)(y^{3}+ay^{2}-z^{3}-az^{2})-(y-z)(x^{3}+ax^{2}-y^{3}-ay^{2})]\]

\[=b\left \{ \left ( x-y\left \lfloor \left ( y-z \right )\left ( y^{2}+yz+z^{2} \right )+a\left ( y-z \right )\left ( y+z \right ) \right \rfloor \right ) \right \}-\left ( y-z\left \lfloor \left ( x-y \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2} \right )+a\left ( x-y \right )\left ( x+y \right ) \right \rfloor \right )\]

\[=b\left (x-y \right )\left ( y-z \right )\left [ y^{2}+yz+z^{2}+ay+az-x^{2}-xy-y^{2}-ax-ay \right ]\]

\[=b\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left [ a\left ( z-x \right )+y\left ( z-x \right )+\left ( z^{2}-x^{2} \right ) \right ]\]

\[=b\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( z-x \right )\left ( a+x+y+z \right )\]

[ 本帖最後由 mojary 於 2018-6-21 13:30 編輯 ]

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作者: laylay    時間: 2018-6-21 14:34     標題: 計算

2.

圖片附件: 20180621_143312.jpg (2018-6-21 14:34, 505.91 KB) / 該附件被下載次數 4437
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作者: laylay    時間: 2018-6-21 15:08     標題: 計算

1（a）

圖片附件: 20180621_150814.jpg (2018-6-21 15:08, 496.48 KB) / 該附件被下載次數 4462
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4594&k=09f010b7382d0af44ff324c02047ca29&t=1732277477

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