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標題: 107文華高中 [打印本頁]

作者: zidanesquall    時間: 2018-4-28 17:45     標題: 107文華高中

計算題三題,不確定有沒有記錯,再煩請大家提供~~

1. 五種顏色塗1x7的格子,依序為A~G,若A、G不同色,有多少種塗法?

2.\( f(x)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}}\),若\(f(x)\)在實數域上是連續函數,,則\((a,b)\)為多少?

3.\(\Gamma : (x+3)(y-2)=-3\),\(P(x_0,y_0)\),若\(L\)為過\(P\)與\(\Gamma\)相切的直線,證明\(L,y=2,x=-3\)所產生的三角形面積為定值

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2018-4-29 00:47 編輯 ]

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作者: d3054487667    時間: 2018-4-28 19:09

想先請教填充6與13,謝謝
作者: thepiano    時間: 2018-4-28 20:23     標題: 回復 2# d3054487667 的帖子

第13題
\(\begin{align}
  & {{a}_{n}}=3{{n}^{2}}-3n-1 \\
& {{a}_{3n}}=27{{n}^{2}}-9n-1 \\
& {{a}_{2n}}=12{{n}^{2}}-6n-1 \\
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}}+\cdots +{{a}_{3n}}}-\sqrt[3]{{{a}_{2}}+{{a}_{4}}+{{a}_{6}}+\cdots +{{a}_{2n}}}}{n} \\
& =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{\frac{27\times \frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}-9\times \frac{n\left( n+1 \right)}{2}-1}{{{n}^{3}}}}-\sqrt[3]{\frac{12\times \frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}-6\times \frac{n\left( n+1 \right)}{2}-1}{{{n}^{3}}}} \\
& =\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{4} \\
\end{align}\)
作者: d3054487667    時間: 2018-4-28 20:43     標題: 回復 3# thepiano 的帖子

謝謝piano老師,自己列了前面三式居然沒想到後面的級數和...
作者: thepiano    時間: 2018-4-28 20:59     標題: 回復 2# d3054487667 的帖子

填充第 6 題
A(1,2,3),B(-2,-1,2)
OA = √14,OB = 3,AB = √19
cos∠AOB = √14 / 21,sin∠AOB = √427 / 21

向量 OP = x * 向量 OA + y * 向量 OB

所求 = 2 * (1/2) * OA * OB * sin∠AOB * (2 - 1) * [1 - (-1)] = 2√122

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-4-28 21:03 編輯 ]
作者: g112    時間: 2018-4-28 21:29

想請教9.10.11.14,謝謝
作者: d3054487667    時間: 2018-4-28 21:29     標題: 回復 5# thepiano 的帖子

謝謝thepiano老師!
高中課內好像問二維的,結果換到三維就不會變通...

另外想再請教填充10與11
作者: d3054487667    時間: 2018-4-28 21:34

第9題我的做法如下照片,第14題用黎曼和變成算定積分(剛好是圓的部分面積)

[ 本帖最後由 d3054487667 於 2018-4-28 22:34 編輯 ]

圖片附件: 31445012_1696047283796048_6124909211349417984_n.jpg (2018-4-28 21:34, 26.9 KB) / 該附件被下載次數 655
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作者: swallow7103    時間: 2018-4-28 21:38     標題: 回復 1# zidanesquall 的帖子

計算第二題應該是

\( \displaystyle f(x) = lim_{n \mapsto \infty} \frac{x^{2n-1} + ax^2+bx}{x^{2n}+1} \)
在實數域上是連續函數,試求數對 (a,b) 的值。

還請各位高手指正。
回家赫然發現粗心算錯一題QQ

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2018-4-28 21:42 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2018-4-28 23:12     標題: 回復 7# d3054487667 的帖子

第 10 題
z_1 在高斯平面上是圓 (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 2^2
z_2 在高斯平面上是圓 (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 1^2 或 (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 3^2
z_3 = kω + 2 = (2 - √3k) + ki,在高斯平面上是直線 x + √3y - 2 = 0
|z_2 - z_3| 的最小值出現在圓 (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 3^2 上一點到直線 x + √3y - 2 = 0 上一點的最小值
即點 (3,5) 到直線 x + √3y - 2 = 0 的距離再減 3
作者: thepiano    時間: 2018-4-29 06:48     標題: 回復 7# d3054487667 的帖子

第 11 題
今年平行六面體的題目,都是考觀念啊

|向量 a| = 4
|向量 c| = 5
|向量 b| = 3
向量 a․向量 c = 10

向量 a 和向量 c 的夾角是 60 度
由向量 a 和向量 c 張成的平行四邊形面積 = 10√3
平行六面體的高 = 2

|向量 a + 向量 c| = √(4^2 + 5^2 - 2 * 4 * 5 * cos120度) = √61

(向量 a + 向量 c)․向量 b 的最大值 = √61 * 3 * [√(3^2 - 2^2) / 3] = √305

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-4-29 06:50 編輯 ]
作者: d3054487667    時間: 2018-4-29 10:36     標題: 回復 11# thepiano 的帖子

謝謝 thepiano老師,昨晚半夜安靜下來重新想一下發現真不該不會這題
作者: g112    時間: 2018-4-29 12:01

謝謝上面幾位老師的幫忙
作者: 小姑姑    時間: 2018-4-29 16:21     標題: 107文華高中計算題題目

107文華高中計算題題目,請參考附件。

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作者: 小姑姑    時間: 2018-4-29 16:25     標題: 請教計算題2

自己寫了也不知道是否正確,想求計算題的過程?
我的作法:
1°先討論x範圍的函數
2°再由連續,極限和函數存在且相等
得到a=0, b=1

[ 本帖最後由 小姑姑 於 2018-4-29 16:37 編輯 ]
作者: ssdddd2003    時間: 2018-4-29 16:59

填充第三題小弟有個想法

就是7面旗子加上兩條間隔線去做排列

答案是對的但不知道這樣的方法是否觀念上有錯誤

也想請問其他老師們是怎麼做這題的



圖片附件: 543366.jpg (2018-4-29 16:59, 75.24 KB) / 該附件被下載次數 528
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作者: 小姑姑    時間: 2018-4-29 16:59     標題: 請教計算題3

作法:
1°找出曲線中心O和貫軸的頂點並畫圖(了解之用,可略)
2°過點P設切線方程式,並求與兩直線x=-3及=y=2的交點A、B
3°計算三角形OAB面積
得到定值為6
作者: 小姑姑    時間: 2018-4-29 17:01     標題: 回復 16# ssdddd2003 的帖子

作法相同。
重複組合.同物排列
H(3,7).(7!/3!2!2!)
作者: ssdddd2003    時間: 2018-4-29 18:18

想請教填充12與14
作者: thepiano    時間: 2018-4-29 19:04     標題: 回復 17# 小姑姑 的帖子

平移一下,會比較好做
作者: thepiano    時間: 2018-4-29 19:30     標題: 回復 19# ssdddd2003 的帖子

第 14 題
\(\begin{align}
  & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{\sqrt{\left( 3n+k \right)\left( n-k \right)}}{{{n}^{2}}}} \\
& =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\sqrt{3-\frac{2k}{n}-{{\left( \frac{k}{n} \right)}^{2}}}} \\
& =\int_{0}^{1}{\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}} \\
\end{align}\)

\(y=\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}\)是圓\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{2}}\)的上半部
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{2}}\)的圓心 A(-1,0),半徑 2
與 x 軸交於 B(1,0),與 y 軸交於 C(0,√3)

所求 = 扇形 ABC - 直角△AOC = \(\frac{2}{3}\pi -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-4-29 19:32 編輯 ]
作者: ssdddd2003    時間: 2018-4-29 19:46     標題: 回復 21# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師,考試時一直想用積分,但是配不出來 > <
作者: swallow7103    時間: 2018-4-30 09:28     標題: 回復 15# 小姑姑 的帖子

計算二: 我的算法也差不多,寫一些要補充的點

策略:此函數在大部分的區域都是連續的,因此只需處理可能不連續的點就好。
1. 將x的範圍分為: x<-1, -1<x<1, 1<x 三段討論,發現在個別區域都是連續函數
2. 因x=1, -1為可能不連續點,利用左右極限和函數值相等可得a=0, b=1
作者: thepiano    時間: 2018-4-30 12:24     標題: 回復 19# ssdddd2003 的帖子

第 12 題
請參考附件

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-4-30 12:29 編輯 ]

附件: 20180430.pdf (2018-4-30 12:29, 127.46 KB) / 該附件被下載次數 808
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4401&k=ed014446eb915f72dcc338df1a18fad5&t=1569048643
作者: cefepime    時間: 2018-4-30 15:16

填充題 12


另解 1  利用 En 與 En₋₁ 的遞迴關係

由起始處找遞迴:  En = 1 + (1/6)*1 + (5/6)* En₋₁ = 7/6 + (5/6)* En₋₁ ,且 E₂ = 2

或者

由終止處找遞迴:  En = n*(5/6)ⁿ⁻² + En₋₁ - (n-1)*(5/6)ⁿ⁻² =  En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻² ,且 E₂ = 2


另解 2  利用幾何分配的結論

若題目條件為 "連續兩次擲出相同的點數即停止" (條件 A),則所求 = 1 + 1/(1/6) = 7

現又多出 "投擲滿 n 次即停止" (條件 B),故作以下調整:

投擲 n 次均未有連續兩次同點的機率 = (5/6)ⁿ⁻¹

若只有 條件 A,則以下仍有 1/(1/6) = 6 次的投擲期望值;  但多了條件 B 後,使它 = 0。

故所求 = 7 - 6*(5/6)ⁿ⁻¹





作者: 小姑姑    時間: 2018-4-30 15:55     標題: 回復 19# ssdddd2003 的帖子

填14
1°先用黎曼和轉為定積分
2°積分過程中根號內會配方法形成圓的方程式
這樣你就會做了…
作者: 小姑姑    時間: 2018-4-30 16:00     標題: 回復 23# swallow7103 的帖子

感謝,一樣,我分5個範圍去討論函數,
再用連續的條件解a、b
謝謝。
作者: Christina    時間: 2018-4-30 16:17     標題: 回復 25# cefepime 的帖子

請教老師,E_2=2該怎麼算呢^_^
作者: yuhui1026    時間: 2018-4-30 17:24     標題: 填充15

請教各位老師,是否除了暴力解外有什麼技巧?謝謝!
作者: BambooLotus    時間: 2018-4-30 17:31

把原函數想成無窮等比,利用泰勒展開式然後比較係數就知道答案是7!
複查沒有變動的話最低錄取分數是62,小弟正是那最雖的第9名...差2分啊...
反正教檢也沒過,今年就當作旅遊+寫考卷~

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2018-4-30 17:35 編輯 ]
作者: cefepime    時間: 2018-4-30 18:37

回復 28# Christina 的帖子

E₂ 表示: "投擲一骰子,若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 2 次即停止" 的投擲次數期望值。則必然是投擲 2 次。



回復 29# yuhui1026 的帖子

樓上 BambooLotus 老師的意思大概是利用:

x / (1-x²) = x + x³ + x⁵ + x⁷ + x⁹+...  ⇒ 所求 = 7!

亦可利用  2*f(x) = 1/(1-x) - 1/(1+x) =  (1-x)⁻¹ - (1+x)⁻¹,微分時就容易看出規律了。
作者: 小姑姑    時間: 2018-4-30 22:31     標題: 回復 29# yuhui1026 的帖子

填充15
1°用無窮等比數展開
2°再用泰勤展開式,在x=0處展開
3°對應比較係數
出來了,很快…千萬不要硬暴。
作者: a1d335    時間: 2018-4-30 23:49

想問填充化簡

像直線寫點斜式算錯嗎?

3(x+1)要展開嗎?
作者: Christina    時間: 2018-5-1 00:45     標題: 回復 31# cefepime 的帖子

謝謝老師,再請教從終止處找遞迴是怎麼想呢?^_^
作者: cefepime    時間: 2018-5-1 09:12

回復 34# Christina 的帖子

第 12 題

由終止處找遞迴:

En = 恰第 n 次結束的期望值 + [ 第 (n-1) 次之前(含)結束的期望值 ]

= n*P(投擲 n-1 次均無連續兩次同點) + [ En₋₁ - 投擲 n-1 次時因為已擲了 n-1 次而停止的期望值 ]

= n*(5/6)ⁿ⁻² + En₋₁ - (n-1)*(5/6)ⁿ⁻²

= En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻²


----------------------------


以上是當時發文時的原始想法。但鑒於最後的遞迴式型態簡單,故考慮找出更簡明的想法,如下:


En₋₁ 表示: "投擲一骰子,若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 n-1 次即停止" 的投擲次數期望值。

En 表示: "投擲一骰子,若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 n 次即停止" 的投擲次數期望值。


兩者差在哪?

在擲 n-1 次時,若該停止了,則基本上在擲 n 次時,也該停止了。只有一個例外:

" 投擲 n-1 次均無連續兩次同點時,前者必須終止,後者須再多擲 1 次(無論結果也須終止) "。這個機率是 (5/6)ⁿ⁻²。


故兩者差 1*(5/6)ⁿ⁻²,即 En = En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻²


[ 本帖最後由 cefepime 於 2018-5-1 09:44 編輯 ]
作者: Christina    時間: 2018-5-1 12:08     標題: 回復 35# cefepime 的帖子

太感謝老師詳細的說明!!^^
作者: JOE    時間: 2018-5-3 18:32

想請教計算一如何討論,謝謝
作者: thepiano    時間: 2018-5-3 18:43     標題: 回復 37# JOE 的帖子

計算一
就是扇形著色問題
https://math.pro/db/thread-499-1-4.html

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-5-3 18:46 編輯 ]
作者: JOE    時間: 2018-5-3 19:44     標題: 回復 38# thepiano 的帖子

謝謝老師指點

請問這個題目(僅七格)在計算題的處理方法

是否建議直接反覆使用遞迴關係迭代。
作者: thepiano    時間: 2018-5-3 22:17     標題: 回復 39# JOE 的帖子

不求一般項,直接用遞迴,七項的計算量應該還好
作者: 小姑姑    時間: 2018-5-4 01:40     標題: 回復 38# thepiano 的帖子

扇形著色已經練到都可以背出公式了,
可惜這一題當下根本難以連想到扇形著色,
慘念!
作者: thepiano    時間: 2018-5-4 10:04

計算第 2 題
整理一下,請參考附件

附件: 20180504.pdf (2018-5-4 10:05, 116.24 KB) / 該附件被下載次數 737
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4424&k=3244c2c866e8ac8233e0a9d3aa46c649&t=1569048643
作者: g112    時間: 2018-5-4 18:42

引用:
原帖由 ssdddd2003 於 2018-4-29 16:59 發表
填充第三題小弟有個想法

就是7面旗子加上兩條間隔線去做排列

答案是對的但不知道這樣的方法是否觀念上有錯誤

也想請問其他老師們是怎麼做這題的

4398 ...
我這樣做 先考慮每根旗子要掛多少 ,再來把旗子排好 依序填滿A,B,C

所以是 C ( 9,2)*7!/(2!2!3!)

類題:104桃園高中 第15題
作者: q1214951    時間: 2019-4-9 00:07     標題: 想請教填充5如何計算

想請教填充5如何計算,謝謝!
作者: koeagle    時間: 2019-4-9 00:41     標題: 回復 44# q1214951 的帖子

類題:99屏北高中(寸絲筆記 #507)。

圖片附件: 107文華高中填充5.png (2019-4-9 00:41, 79.14 KB) / 該附件被下載次數 146
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4866&k=7671fc9105bb74fbc00076b270563ef7&t=1569048643


作者: cefepime    時間: 2019-4-9 10:46

填充題 5

借用樓上 koeagle 老師的圖。


另解一: (不作輔助線)

面積比  △ACD / △ABD = x = 2/AB

⇒ AB = 2/x

△ABC 中,由餘弦定理:

(1+x)² =  1² + 4/x² + 2/x

⇒ (x+2)(x³-2) = 0

⇒ x = ∛2


另解二: (作輔助線)

過 D 作 DF // AC 並交 AB 於 F

由相似三角形,DF = 1 /(1+x)

⇒ AD = √3 /(1+x)

△ACD 中,由畢氏定理:

x² = 1 + 3 /(1+x)²

⇒ (x+2)(x³-2) = 0

⇒ x = ∛2

註: 另解二試圖把題目條件的 30° 納入直角三角形中以利簡化。依此構思,作 BP 垂直 CA 延長線於 P,或作 BQ 垂直 AD 延長線於 Q,亦可。
作者: q1214951    時間: 2019-4-10 00:09

45# koeagle  46# cefepime
感謝兩位老師清楚的解釋!




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