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標題: 107文華高中 [打印本頁]

作者: zidanesquall 時間: 2018-4-28 17:45 標題: 107文華高中

計算題三題，不確定有沒有記錯，再煩請大家提供～～

1. 五種顏色塗1x7的格子，依序為A~G，若A、G不同色，有多少種塗法？

2.\( f(x)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}}\)，若\(f(x)\)在實數域上是連續函數，，則\((a,b)\)為多少？

3.\(\Gamma : (x+3)(y-2)=-3\)，\(P(x_0,y_0)\)，若\(L\)為過\(P\)與\(\Gamma\)相切的直線，證明\(L,y=2,x=-3\)所產生的三角形面積為定值

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作者: d3054487667 時間: 2018-4-28 19:09

想先請教填充6與13，謝謝

作者: thepiano 時間: 2018-4-28 20:23 標題: 回復 2# d3054487667 的帖子

第13題
\(\begin{align}
& {{a}_{n}}=3{{n}^{2}}-3n-1 \\
& {{a}_{3n}}=27{{n}^{2}}-9n-1 \\
& {{a}_{2n}}=12{{n}^{2}}-6n-1 \\
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}}+\cdots +{{a}_{3n}}}-\sqrt[3]{{{a}_{2}}+{{a}_{4}}+{{a}_{6}}+\cdots +{{a}_{2n}}}}{n} \\
& =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{\frac{27\times \frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}-9\times \frac{n\left( n+1 \right)}{2}-1}{{{n}^{3}}}}-\sqrt[3]{\frac{12\times \frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}-6\times \frac{n\left( n+1 \right)}{2}-1}{{{n}^{3}}}} \\
& =\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{4} \\
\end{align}\)

作者: d3054487667 時間: 2018-4-28 20:43 標題: 回復 3# thepiano 的帖子

謝謝piano老師，自己列了前面三式居然沒想到後面的級數和...

作者: thepiano 時間: 2018-4-28 20:59 標題: 回復 2# d3054487667 的帖子

填充第 6 題
A(1，2，3)，B(-2，-1，2)
OA = √14，OB = 3，AB = √19
cos∠AOB = √14 / 21，sin∠AOB = √427 / 21

向量 OP = x * 向量 OA + y * 向量 OB

所求 = 2 * (1/2) * OA * OB * sin∠AOB * (2 - 1) * [1 - (-1)] = 2√122

作者: g112 時間: 2018-4-28 21:29

想請教9.10.11.14,謝謝

作者: d3054487667 時間: 2018-4-28 21:29 標題: 回復 5# thepiano 的帖子

謝謝thepiano老師！
高中課內好像問二維的，結果換到三維就不會變通...

另外想再請教填充10與11

作者: d3054487667 時間: 2018-4-28 21:34

第9題我的做法如下照片，第14題用黎曼和變成算定積分(剛好是圓的部分面積)

圖片附件: 31445012_1696047283796048_6124909211349417984_n.jpg (2018-4-28 21:34, 26.9 KB) / 該附件被下載次數 6222
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作者: swallow7103 時間: 2018-4-28 21:38 標題: 回復 1# zidanesquall 的帖子

計算第二題應該是
若
\( \displaystyle f(x) =\lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n-1} + ax^2+bx}{x^{2n}+1} \)
在實數域上是連續函數，試求數對\((a,b)\)的值。

還請各位高手指正。
回家赫然發現粗心算錯一題QQ

作者: thepiano 時間: 2018-4-28 23:12 標題: 回復 7# d3054487667 的帖子

第 10 題
z_1 在高斯平面上是圓 (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 2^2
z_2 在高斯平面上是圓 (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 1^2 或 (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 3^2
z_3 = kω + 2 = (2 - √3k) + ki，在高斯平面上是直線 x + √3y - 2 = 0
|z_2 - z_3| 的最小值出現在圓 (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 3^2 上一點到直線 x + √3y - 2 = 0 上一點的最小值
即點 (3，5) 到直線 x + √3y - 2 = 0 的距離再減 3

作者: thepiano 時間: 2018-4-29 06:48 標題: 回復 7# d3054487667 的帖子

第 11 題
今年平行六面體的題目，都是考觀念啊

|向量 a| = 4
|向量 c| = 5
|向量 b| = 3
向量 a․向量 c = 10

向量 a 和向量 c 的夾角是 60 度
由向量 a 和向量 c 張成的平行四邊形面積 = 10√3
平行六面體的高 = 2

|向量 a + 向量 c| = √(4^2 + 5^2 - 2 * 4 * 5 * cos120度) = √61

(向量 a + 向量 c)․向量 b 的最大值 = √61 * 3 * [√(3^2 - 2^2) / 3] = √305

作者: d3054487667 時間: 2018-4-29 10:36 標題: 回復 11# thepiano 的帖子

謝謝 thepiano老師，昨晚半夜安靜下來重新想一下發現真不該不會這題

作者: g112 時間: 2018-4-29 12:01

謝謝上面幾位老師的幫忙

作者: 小姑姑 時間: 2018-4-29 16:21 標題: 107文華高中計算題題目

107文華高中計算題題目，請參考附件。

附件: [107文華高中計算題題目] 107文華高中計算題題目.pdf (2018-4-29 16:21, 147.35 KB) / 該附件被下載次數 6630
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作者: 小姑姑 時間: 2018-4-29 16:25 標題: 請教計算題2

自己寫了也不知道是否正確，想求計算題的過程？
我的作法：
1°先討論\(x\)範圍的函數
2°再由連續，極限和函數存在且相等
得到\(a=0,b=1\)

作者: ssdddd2003 時間: 2018-4-29 16:59

填充第三題小弟有個想法

就是7面旗子加上兩條間隔線去做排列

WWWBBRR｜｜
\(\displaystyle \frac{9!}{3!2!2!2!}=7560\)

答案是對的但不知道這樣的方法是否觀念上有錯誤

也想請問其他老師們是怎麼做這題的

作者: 小姑姑 時間: 2018-4-29 16:59 標題: 請教計算題3

作法：
1°找出曲線中心O和貫軸的頂點並畫圖(了解之用，可略)
2°過點P設切線方程式，並求與兩直線x=-3及=y=2的交點A、B
3°計算三角形OAB面積
得到定值為6

作者: 小姑姑 時間: 2018-4-29 17:01 標題: 回復 16# ssdddd2003 的帖子

作法相同。
重複組合．同物排列
H(3,7)．(7！/3！2！2！)

作者: ssdddd2003 時間: 2018-4-29 18:18

想請教填充12與14

作者: thepiano 時間: 2018-4-29 19:04 標題: 回復 17# 小姑姑的帖子

平移一下，會比較好做

作者: thepiano 時間: 2018-4-29 19:30 標題: 回復 19# ssdddd2003 的帖子

第 14 題
\(\begin{align}
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{\sqrt{\left( 3n+k \right)\left( n-k \right)}}{{{n}^{2}}}} \\
& =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\sqrt{3-\frac{2k}{n}-{{\left( \frac{k}{n} \right)}^{2}}}} \\
& =\int_{0}^{1}{\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}} \\
\end{align}\)

\(y=\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}\)是圓\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{2}}\)的上半部
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{2}}\)的圓心 A(-1，0)，半徑 2
與 x 軸交於 B(1，0)，與 y 軸交於 C(0，√3)

所求 = 扇形 ABC - 直角△AOC = \(\displaystyle \frac{2}{3}\pi -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

作者: ssdddd2003 時間: 2018-4-29 19:46 標題: 回復 21# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師，考試時一直想用積分，但是配不出來 > <

作者: swallow7103 時間: 2018-4-30 09:28 標題: 回復 15# 小姑姑的帖子

計算二：我的算法也差不多，寫一些要補充的點

策略：此函數在大部分的區域都是連續的，因此只需處理可能不連續的點就好。
1. 將x的範圍分為： x<-1, -1<x<1, 1<x 三段討論，發現在個別區域都是連續函數
2. 因x=1, -1為可能不連續點，利用左右極限和函數值相等可得a=0, b=1

作者: thepiano 時間: 2018-4-30 12:24 標題: 回復 19# ssdddd2003 的帖子

第 12 題
請參考附件

附件: 20180430.pdf (2018-4-30 12:29, 127.46 KB) / 該附件被下載次數 5972
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4401&k=337a084ea861338f9edd12b7d02ba4fc&t=1732275347

作者: cefepime 時間: 2018-4-30 15:16

填充題 12

另解 1  利用 En 與 En₋₁ 的遞迴關係

由起始處找遞迴:  En = 1 + (1/6)*1 + (5/6)* En₋₁ = 7/6 + (5/6)* En₋₁ ，且 E₂ = 2

或者

由終止處找遞迴:  En = n*(5/6)ⁿ⁻² + En₋₁ - (n-1)*(5/6)ⁿ⁻² =  En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻² ，且 E₂ = 2

另解 2  利用幾何分配的結論

若題目條件為 "連續兩次擲出相同的點數即停止" (條件 A)，則所求 = 1 + 1/(1/6) = 7

現又多出 "投擲滿 n 次即停止" (條件 B)，故作以下調整:

投擲 n 次均未有連續兩次同點的機率 = (5/6)ⁿ⁻¹

若只有條件 A，則以下仍有 1/(1/6) = 6 次的投擲期望值;  但多了條件 B 後，使它 = 0。

故所求 = 7 - 6*(5/6)ⁿ⁻¹

作者: 小姑姑 時間: 2018-4-30 15:55 標題: 回復 19# ssdddd2003 的帖子

填14
1°先用黎曼和轉為定積分
2°積分過程中根號內會配方法形成圓的方程式
這樣你就會做了…

作者: 小姑姑 時間: 2018-4-30 16:00 標題: 回復 23# swallow7103 的帖子

感謝，一樣，我分5個範圍去討論函數，
再用連續的條件解a、b
謝謝。

作者: Christina 時間: 2018-4-30 16:17 標題: 回復 25# cefepime 的帖子

請教老師，\(E_2=2\)該怎麼算呢^_^

作者: yuhui1026 時間: 2018-4-30 17:24 標題: 填充15

請教各位老師，是否除了暴力解外有什麼技巧?謝謝！

作者: BambooLotus 時間: 2018-4-30 17:31

把原函數想成無窮等比，利用泰勒展開式然後比較係數就知道答案是7!
複查沒有變動的話最低錄取分數是62，小弟正是那最雖的第9名...差2分啊...
反正教檢也沒過，今年就當作旅遊+寫考卷~

作者: cefepime 時間: 2018-4-30 18:37

回復 28# Christina 的帖子

E₂ 表示: "投擲一骰子，若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 2 次即停止" 的投擲次數期望值。則必然是投擲 2 次。

回復 29# yuhui1026 的帖子

樓上 BambooLotus 老師的意思大概是利用:

x / (1-x²) = x + x³ + x⁵ + x⁷ + x⁹+... ⇒ 所求 = 7!

亦可利用 2*f(x) = 1/(1-x) - 1/(1+x) = (1-x)⁻¹ - (1+x)⁻¹，微分時就容易看出規律了。

作者: 小姑姑 時間: 2018-4-30 22:31 標題: 回復 29# yuhui1026 的帖子

填充15
1°用無窮等比數展開
2°再用泰勤展開式，在x=0處展開
3°對應比較係數
出來了，很快…千萬不要硬暴。

作者: a1d335 時間: 2018-4-30 23:49

想問填充化簡

像直線寫點斜式算錯嗎?

3(x+1)要展開嗎?

作者: Christina 時間: 2018-5-1 00:45 標題: 回復 31# cefepime 的帖子

謝謝老師，再請教從終止處找遞迴是怎麼想呢？^_^

作者: cefepime 時間: 2018-5-1 09:12

回復 34# Christina 的帖子

第 12 題

由終止處找遞迴:

En = 恰第 n 次結束的期望值 + [ 第 (n-1) 次之前(含)結束的期望值 ]

= n*P(投擲 n-1 次均無連續兩次同點) + [ En₋₁ - 投擲 n-1 次時因為已擲了 n-1 次而停止的期望值 ]

= n*(5/6)ⁿ⁻² + En₋₁ - (n-1)*(5/6)ⁿ⁻²

= En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻²

----------------------------

以上是當時發文時的原始想法。但鑒於最後的遞迴式型態簡單，故考慮找出更簡明的想法，如下:

En₋₁ 表示: "投擲一骰子，若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 n-1 次即停止" 的投擲次數期望值。

En 表示: "投擲一骰子，若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 n 次即停止" 的投擲次數期望值。

兩者差在哪?

在擲 n-1 次時，若該停止了，則基本上在擲 n 次時，也該停止了。只有一個例外:

" 投擲 n-1 次均無連續兩次同點時，前者必須終止，後者須再多擲 1 次(無論結果也須終止) "。這個機率是 (5/6)ⁿ⁻²。

故兩者差 1*(5/6)ⁿ⁻²，即 En = En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻²

作者: Christina 時間: 2018-5-1 12:08 標題: 回復 35# cefepime 的帖子

太感謝老師詳細的說明!!^^

作者: JOE 時間: 2018-5-3 18:32

想請教計算一如何討論，謝謝

作者: thepiano 時間: 2018-5-3 18:43 標題: 回復 37# JOE 的帖子

計算一
就是扇形著色問題
https://math.pro/db/thread-499-1-4.html

作者: JOE 時間: 2018-5-3 19:44 標題: 回復 38# thepiano 的帖子

謝謝老師指點

請問這個題目(僅七格)在計算題的處理方法

是否建議直接反覆使用遞迴關係迭代。

作者: thepiano 時間: 2018-5-3 22:17 標題: 回復 39# JOE 的帖子

不求一般項，直接用遞迴，七項的計算量應該還好

作者: 小姑姑 時間: 2018-5-4 01:40 標題: 回復 38# thepiano 的帖子

扇形著色已經練到都可以背出公式了，
可惜這一題當下根本難以連想到扇形著色，
慘念！

作者: thepiano 時間: 2018-5-4 10:04

計算第 2 題
\( f(x)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}}\)，若\(f(x)\)在實數域上是連續函數，則\((a,b)\)為多少？
[解答]
整理一下，請參考附件

112.7.5補充
已知\(a,b\)為正整數，設函數\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to \infty}\frac{2x^{2n+1}+ax^2+bx-1}{2x^{2n}+3}\)，若\(\forall x\in R\) \(f(x)\)為連續函數，則序對\((a,b)=\)　　　。
(112金門高中，https://math.pro/db/thread-3771-1-1.html)

附件: 20180504.pdf (2018-5-4 10:05, 116.24 KB) / 該附件被下載次數 6117
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4424&k=b896eb1e342144bbea209c98da4d2986&t=1732275347

作者: g112 時間: 2018-5-4 18:42

引用:

原帖由 ssdddd2003 於 2018-4-29 16:59 發表
填充第三題小弟有個想法

就是7面旗子加上兩條間隔線去做排列

答案是對的但不知道這樣的方法是否觀念上有錯誤

也想請問其他老師們是怎麼做這題的

4398 ...

我這樣做先考慮每根旗子要掛多少，再來把旗子排好依序填滿A,B,C

所以是 C ( 9，2)*7!/(2!2!3!)

類題:104桃園高中第15題

作者: q1214951 時間: 2019-4-9 00:07 標題: 想請教填充5如何計算

想請教填充5如何計算，謝謝！

作者: koeagle 時間: 2019-4-9 00:41 標題: 回復 44# q1214951 的帖子

類題：99屏北高中(寸絲筆記 #507)。

圖片附件: 107文華高中填充5.png (2019-4-9 00:41, 79.14 KB) / 該附件被下載次數 4116
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4866&k=f28ec4165d54fd1d5619a705a575ff39&t=1732275347

作者: cefepime 時間: 2019-4-9 10:46

填充題 5

借用樓上 koeagle 老師的圖。

另解一: (不作輔助線)

面積比 △ACD / △ABD = x = 2/AB

⇒ AB = 2/x

△ABC 中，由餘弦定理:

(1+x)² = 1² + 4/x² + 2/x

⇒ (x+2)(x³-2) = 0

⇒ x = ∛2

另解二: (作輔助線)

過 D 作 DF // AC 並交 AB 於 F

由相似三角形，DF = 1 /(1+x)

⇒ AD = √3 /(1+x)

△ACD 中，由畢氏定理:

x² = 1 + 3 /(1+x)²

⇒ (x+2)(x³-2) = 0

⇒ x = ∛2

註: 另解二試圖把題目條件的 30° 納入直角三角形中以利簡化。依此構思，作 BP 垂直 CA 延長線於 P，或作 BQ 垂直 AD 延長線於 Q，亦可。

作者: q1214951 時間: 2019-4-10 00:09

45# koeagle 46# cefepime
感謝兩位老師清楚的解釋！

作者: XINHAN 時間: 2021-3-29 21:05 標題: 分享手寫詳解

分享手寫詳解

附件: 107文華高中.pdf (2021-3-29 21:05, 696.67 KB) / 該附件被下載次數 5810
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5803&k=d70109cba9b69043645e5351c54ef3ee&t=1732275347

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