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標題: 107建國中學 [打印本頁]

作者: 米斯蘭達    時間: 2018-4-26 15:10     標題: 107建國中學

小弟只有記得一點點題目,希望拋磚引玉,各位板友補充

1.四面體ABCD中,AD與底面ABC垂直,BD長為根號3,角BDC為60度。若三側面的面積平方和為10,求角ADB的sin值。

2.A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3,4},f的定義域為A,試問滿足f(f)的值域為B的f共有幾種?

3.四面體ABCD中,AB=5(?),BC=8(?),AC=9,AD=10,CD=11,BD=12,求平面ABC和ACD的兩面角之cos 值。

4.正整數x滿足x/61=0.b_1b_2......,已知b_35=2,b_67=3求數對(x,b_7). (數字沒有很確定)

5.x^2+y^2=4的圓內接四邊形,兩對角線垂直且交於(1,0),求此圓內接四邊形的最大面積。

-------
謝謝Carl大提供的電子檔補充!!

[ 本帖最後由 bugmens 於 2018-5-8 19:40 編輯 ]

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作者: Christina    時間: 2018-4-26 17:05     標題: 回復 1# 米斯蘭達 的帖子

請教第二題答案是1640嗎
作者: thepiano    時間: 2018-4-26 20:23     標題: 回復 1# 米斯蘭達 的帖子

第 2 題
f(x) 的值域是 B 嗎?
作者: zidanesquall    時間: 2018-4-26 21:10     標題: 回復 1# 米斯蘭達 的帖子

4.應該是b_37跟b_65,但是忘記哪一個是2哪個是3,最後是求(x,b_36)

記得的

1. \( A=\{z|z^{12}=1\},B=\{z|z^{16}=1\},C=\{z_1 z_2|z_1\in A,z_2\in B\}\),C有多少個元素

2. \( \displaystyle\sum^n_{k=1} \frac{k^2}{2^k}=\)
作者: Christina    時間: 2018-4-26 21:35     標題: 回復 4# zidanesquall 的帖子

b37=2,b65=3
作者: Christina    時間: 2018-4-26 21:37     標題: 回復 3# thepiano 的帖子

值域是B,回來後的算答案是864><
作者: jfy281117    時間: 2018-4-26 22:32

第二題我的想法是384,想法是5、6從值域裡面消失,因此f(5)、f(6)勢必是1、2、3或4,故各有四種選擇;而f(1)、f(2)、f(3)和f(4)勢必要對應到1、2、3、4 (onto) 否則值域會越來越小,故f(1)、f(2)、f(3)和f(4)的可能選擇為4!。

因此所有函數可能為4*4*4!=384

希望有人想法跟我一樣的可以幫我把它說的更完整,感謝!
作者: thepiano    時間: 2018-4-26 22:33     標題: 回復 6# Christina 的帖子

384 才對!
作者: Christina    時間: 2018-4-27 00:43     標題: 回復 7# jfy281117 的帖子

那有沒有可能f(6)=4,f(5)=6,所以第一次的情形是把A對映到{1,2,3,4,6}然後第二次才把{1,2,3,4,6}對映到{1,2,3,4}呢

再說明清楚我的問題,打擾老師們不好意思><

如果f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=4,f(5)=4,f(6)=5,那f(f(x))的值域也會是B,這樣的情形需要考慮嗎^_^

[ 本帖最後由 Christina 於 2018-4-27 08:32 編輯 ]
作者: Carl    時間: 2018-4-27 01:16

填充7.8數據沒把握,所以參考米大及綜合自身印象的數據。
計算2.3數據不大有把握,再請記得的版友補充了。

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作者: thepiano    時間: 2018-4-27 06:19     標題: 回復 9# Christina 的帖子

若 f(x) 的值域是 B 的話,由於 B 裡沒有 6,所以 f(5) 不會是 6

若照 Carl 老師分享的題目 f(x) 的對應域是 A 的話,您的答案 864 就是正確的

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-4-27 08:36 編輯 ]
作者: Christina    時間: 2018-4-27 11:17     標題: 回復 11# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師,因為題目只說了f(f(x))的值域為B,所以其實我也不太確定自己這樣想是否對的,提出來請大家幫忙解惑這樣^_^
作者: czk0622    時間: 2018-4-27 14:09     標題: 回復 11# thepiano 的帖子

印象很深,題目是Carl 老師分享的這樣
作者: lyingheart    時間: 2018-5-1 22:50

久沒做題目,能對一下答案嗎??
1. \( 48 \)

2. \( \displaystyle 6-\frac{n^2+4n+6}{2^n} \)

3. \( \displaystyle \frac{2509}{109} \)

4. \( 864 \)

5. \( 11 \)

6. \( 7 \)

7. \( \displaystyle -\frac{311}{160\sqrt{22}} \)

8. \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)

9. \( 27 \)

10. \( (56,7) \) 或 \( (40,2) \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2018-5-1 22:52 編輯 ]
作者: litlesweetx    時間: 2018-5-1 23:45

請教老師7,8,10怎麼算
作者: lyingheart    時間: 2018-5-2 10:39     標題: 回復 15# litlesweetx 的帖子

第七題硬算
做DE垂直AC於E
過E做AC的垂線交BC於F
分別算出DE、EF、DF
然後用餘弦定理

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作者: lyingheart    時間: 2018-5-2 11:33

第八題,這圖好難想像
假設 \( AD=x,CD=y \)
做 \( AE \perp BD \) 於 \( E \)
那麼 \( \displaystyle AE=\sqrt{x^2-\frac{x^4}{3}} , DE=\frac{x^2}{\sqrt{3}} \)

做 \( CF \perp BD \) 於 \( F \)
那麼  \( \displaystyle CF=\frac{\sqrt{3}}{2}y , DF=\frac{1}{2}y \)

\( \displaystyle AC^2=AE^2+EF^2+CF^2=CD^2-AD^2 \)
\( \displaystyle y=2\sqrt{3} \)

\( \displaystyle (DAB)^2+(DAC)^2+(DBC)^2=10 \)
\( \displaystyle x^2(3-x^2)+x^2(12-x^2)+27=40 \)
\( \displaystyle 2x^4-15x^2+13=0 \)
\( \displaystyle x^2=1 \) 另一個大於3所以不合
作者: thepiano    時間: 2018-5-2 12:12     標題: 回復 14# lyingheart 的帖子

剛花了一小時做第 7 題
答案跟您一樣,真醜,會不會數據記錯了?
作者: lyingheart    時間: 2018-5-2 12:19     標題: 回復 18# thepiano 的帖子

這個結果我檢查了好幾次,還叫一個學生算一次,才確認的。
我是覺得也許是隨意出出,反正總是會算出答案,了不起叫他們數資班幾個同學確認一下就好。
作者: lyingheart    時間: 2018-5-2 12:42

第十題
每一位的數字是多少,取決於前一位的餘數,所以
\( \displaystyle a_{37}=2 \) 表示前一位除以 \( 61 \) 的餘數為 \( 13,14,15,16,17,18 \)

以下都做除以 \( 61 \)的餘數
\( \displaystyle 10^{36}x=13,14,15,16,17,18 \)
同理 \( \displaystyle 10^{64}x=19,20,21,22,23,24 \)

\( \displaystyle 10^{28}=(10^4)^7=(-4)^7=-64^2 \times 4=-36=25 \)
\( \displaystyle 25 \times (13,14,15,16,17,18)=(20,45,9,34,59,23) \)
所以可能的解有 \( (13,20) \) 以及 \( (18,23) \)

\( \displaystyle 10^{36}=(10^4)^9=(-4)^9=-(4^3)^3=-3^3=-27=34 \)
若 \( \displaystyle 10^{36}x=(13,18) \Rightarrow x=(56,40)   and   10^{35}x=(44,14) \)
故 \( \displaystyle a_{36}=(7,2) \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2018-5-2 13:03 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2018-5-2 12:49     標題: 回復 19# lyingheart 的帖子

所以您寶刀未老啦,請繼續造福學生...
作者: thepiano    時間: 2018-5-2 15:01     標題: 回復 15# litlesweetx 的帖子

第 7 題
請參考附件

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作者: peter0210    時間: 2018-5-3 21:24

填充8另解 有錯再請各位大師指正

圖片附件: 填充8.png (2018-5-3 21:24, 554.21 KB) / 該附件被下載次數 262
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4422&k=7733ad35e8af161723f5951b7ce4f84e&t=1563492477


作者: laylay    時間: 2018-5-4 15:47     標題:

7.   圖中的B'C'要改為B'D'

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-5-5 05:54 編輯 ]

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作者: peter0210    時間: 2018-5-4 17:13

填充4 有錯誤請各位大師指正

圖片附件: 填充4.png (2018-5-4 17:13, 410.48 KB) / 該附件被下載次數 280
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4429&k=ec6af9ac4789b664870a2687890e94a1&t=1563492477


作者: jim1130lc    時間: 2018-5-7 18:38     標題: 官方提供的題目

詳如附件

107.5.8版主補充
將檔案提到第一篇去
作者: jfy281117    時間: 2018-5-9 09:35

想請問各位老師填充第一題和第九題,謝謝!
作者: tsusy    時間: 2018-5-9 10:51     標題: 回復 27# jfy281117 的帖子

填充9.
移項倒數,原不等式等價於
\( n < \frac{1}{\sqrt[3]{220}-6} < n+1 \)

為了方便,令 \( a = \sqrt[3]{220} \),作分母有理化的可得

\( \frac{1}{\sqrt[3]{220}-6} = \frac{a^2+6a+36}{4} \)

對 \( a \) 作估計可知 \( 6 < a < 6.1 \),

故 \( \frac{108}{4} < \frac{a^2+6a+36}{4} < \frac{109.81}{4} \)

故 \( n=27 \)

填充 1.
\(  \frac1{12} : \frac1{16} :1 = 4:3:48 \)

所求  \( = \frac{48}{\gcd(4,3)} = 48 \)
作者: laylay    時間: 2018-5-9 12:10     標題: 回覆

27# , 下面的幅角,指的是圓周角的倍數,即還要乘以2PI

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-5-10 06:44 編輯 ]

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作者: jfy281117    時間: 2018-5-9 16:25     標題: 回復 29# laylay 的帖子

那想再請問第一題中:

為什麼可以知道 4i+3j 一定會填滿整個整數系呢?是用到什麼定理嗎?
作者: laylay    時間: 2018-5-10 06:37     標題: 回復 30# jfy281117 的帖子

例如想讓 4i+3j=17 只需令 i=17 , j=-17 即可
作者: jfy281117    時間: 2018-5-10 12:27

第三題 如圖

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作者: laylay    時間: 2018-5-10 12:59     標題: 回復 33# jfy281117 的帖子

謝啦!
原來是a^4+18^2=((a-6)a+18)(a(a+6)+18)!
作者: JOE    時間: 2018-5-11 10:59     標題: 回復 17# lyingheart 的帖子

請問此篇中

AC^2=AE^2+EF^2+CF^2=CD^2−AD^2

第二個等號是如何整理得來的,謝謝指導
作者: lyingheart    時間: 2018-5-11 11:51     標題: 回復 35# JOE 的帖子

畢氏定理
作者: JOE    時間: 2018-5-11 21:21     標題: 回復 35# lyingheart 的帖子

謝謝老師指點

想再請請教第一個等號是利用向量觀點得來的嗎
作者: lyingheart    時間: 2018-5-11 22:25     標題: 回復 36# JOE 的帖子

我跟向量不熟,我只用畢氏定理
把AF連起來,那麼AE垂直EF,所以AF^2=AE^2+EF^2
又AF垂直CF,所以AC^2=AF^2+CF^2=AE^2+EF^2+CF^2
作者: laylay    時間: 2018-5-15 14:01     標題: 填充

5.

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作者: z78569    時間: 2018-5-16 09:12

不好意思

想請教計算第一題 第二小題(希望可以給些提示)

以及計算第二題
作者: laylay    時間: 2018-5-16 09:58     標題: 回覆

#39

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-5-16 11:05 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2018-5-16 10:29     標題: 回復 39# z78569 的帖子

計算一 (2)
1994 AIME Problem 13
https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_13
這題考過很多次了
作者: z78569    時間: 2018-5-21 14:46     標題: 回復 40# laylay 的帖子

回復 41# thepiano 的帖子

感謝兩位老師的分享 ,受益良多!
作者: laylay    時間: 2018-5-21 18:50     標題: 回覆

#43   
    等號成立於 x=y=z  時

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-5-22 17:05 編輯 ]

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作者: 王重鈞    時間: 2018-5-26 15:02     標題: 回復 42# laylay 的帖子

設a^5+b^5=64為定值
則a,b都為2的時候平方和應該是

a,b,有一個是(-3/2)的平方和還要大
作者: laylay    時間: 2018-5-26 15:38     標題: 回復 44# 王重鈞 的帖子

計算3.
不好意思,我再修正,不過六數中 若有兩數2,則另四數無解

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-5-26 16:23 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2018-5-26 15:39

引用:
原帖由 laylay 於 2018-5-21 18:50 發表
#43   
    等號成立於 x=y=z  時
我用Mathematica檢驗"不等式"是否成立
它的結果沒有出現 : "true"

我都先用Mathematica檢驗不等式是否成立
"true"才證明,以免浪費不必要的時間

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2018-5-27 00:54 編輯 ]
作者: laylay    時間: 2018-5-26 23:45     標題: 回復 46# Ellipse 的帖子

我用excel 試了上千組亂正數數對(x,y,z) 都找不到一個反例,應該是成立的吧 !

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-5-26 23:46 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2018-5-27 00:56

引用:
原帖由 laylay 於 2018-5-26 23:45 發表
我用excel 試了上千組亂正數數對(x,y,z) 都找不到一個反例,應該是成立的吧 !
或許Mathematica還無法判斷這題是否是對的
事實上不等式也有可能是對的
作者: laylay    時間: 2018-5-27 06:23     標題: #45的修正

計算3.

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-5-27 06:52 編輯 ]

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作者: 王重鈞    時間: 2018-5-27 18:13     標題: 回復 49# laylay 的帖子

小弟的做法比較笨拙
所求最大值可以寫成函數
9x/4 + [(2 + (243x)/32)^2 * (6 - x)^3]^(1/5)
x=0,1,2,3,4,5,6
代入判斷最大值
作者: c90378    時間: 2018-8-9 07:50

想請教各位老師 官方版的第七題
作者: thepiano    時間: 2018-8-9 11:29     標題: 回復 51# c90378 的帖子

第7題
\(\begin{align}
  & P\left( 1,0 \right)\ ,\ \overline{OA}=\overline{OB}=2\ ,\ \overline{OM}=a\ ,\ \overline{ON}=b \\
& \overline{AC}=2\sqrt{4-{{a}^{2}}}\ ,\ \overline{BD}=2\sqrt{4-{{b}^{2}}} \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& ABCD=\frac{1}{2}\times \overline{AC}\times \overline{BD}=2\times \sqrt{4-{{a}^{2}}}\times \sqrt{4-{{b}^{2}}}\le 4-{{a}^{2}}+4-{{b}^{2}}=7 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-8-9 11:31 編輯 ]

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作者: satsuki931000    時間: 2018-8-9 11:47

想請問填充2
作者: thepiano    時間: 2018-8-9 16:39     標題: 回復 53# satsuki931000 的帖子

第2題
\(\begin{align}
  & \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k}{{{2}^{k}}}}=2-\frac{n+2}{{{2}^{n}}} \\
&  \\
& S=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{k}^{2}}}{{{2}^{k}}}=\frac{1}{2}+}\frac{{{2}^{2}}}{{{2}^{2}}}+\frac{{{3}^{2}}}{{{2}^{3}}}+\cdots +\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n}}} \\
& \frac{S}{2}=\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{{{2}^{2}}}{{{2}^{3}}}+\cdots +\frac{{{\left( n-1 \right)}^{2}}}{{{2}^{n}}}+\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}} \\
& S-\frac{S}{2}=\frac{S}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{{{2}^{2}}}+\frac{5}{{{2}^{3}}}+\cdots +\frac{2n-1}{{{2}^{n}}}-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2k-1}{{{2}^{k}}}-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}}} \\
& S=2\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2k-1}{{{2}^{k}}}-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}}} \right)=2\left( 2\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k}{{{2}^{k}}}-\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{2}^{k}}}}-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}}} \right) \\
& =2\left[ \left( 4-\frac{2n+4}{{{2}^{n}}} \right)-\left( 1-\frac{1}{{{2}^{n}}} \right)-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}} \right] \\
& =2\left( 3-\frac{{{n}^{2}}+4n+6}{{{2}^{n+1}}} \right) \\
& =6-\frac{{{n}^{2}}+4n+6}{{{2}^{n}}} \\
\end{align}\)
作者: c90378    時間: 2018-8-9 19:00

謝謝老師
作者: laylay    時間: 2018-8-10 10:10     標題: 回覆53#

填充2另解

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-8-10 15:54 編輯 ]

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作者: a841118    時間: 2018-9-11 14:57     標題: 想請教計算2.3

看了好久還是不懂計算2.3從何著手
作者: Starvilo    時間: 2018-10-19 13:12

參考來源ppt:FAlin 應該是數學國手
\(\displaystyle (x+x+y)(1+\frac{y}{x}+1)\ge (\sqrt{x}+2\sqrt{y})^2\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{2x+y}{(\sqrt{x}+2\sqrt{y})^2}\ge \frac{x}{2x+y} \)
\(\displaystyle \sum_{cyc}\frac{x(2x+y)}{z(\sqrt{x}+2\sqrt{y})^2}\ge \sum_{cyc} \frac{x^2}{yz+2xz}\ge \frac{(x+y+z)^2}{3xy+3yz+3zx}\ge 1 \)
倒數第二個柯西/權方和  最後一個

107.10.20版主補充出處
[url]https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1539880910.A.B47.html[/url]
作者: larson    時間: 2018-10-20 09:38     標題: 回復 49# laylay 的帖子

代課老師有去考試,第三題有要求n為自然數。
作者: france42    時間: 2018-11-1 14:42

想請教計算3 感謝各位高手




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